Kompleksiluvun argumentti

Argumentti on ei-nolla kompleksiluvun z on toimenpide (in radiaaneina , siis modulo 2π) ja kulman välillä puoli-line- positiivisten todellinen määrä (jäljempänä x - akselin ) ja joka johtuu alkuperä ja ohi pisteen jota edustaa z (katso vastakkaista kuvaa).

Määritelmä

Annetaan nollasta kompleksiluvun $z$ , argumentti $z$ on toimenpide (radiaaneina, siis modulo 2π) kulma:

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, \; {\ overrightarrow {OM}})}

missä $M$ on $z$ : n kuva kompleksitasossa , ts. kiinnityskohta $z$ .

Vastaavasti $z:$ n argumentti on reaaliluku , joka: $\ theta$

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ Re (z)} {| z |}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin \ theta = {\ frac {\ Im (z)} {| z |}}}

missä , ja ovat vastaavasti reaali- ja imaginaariosan osat ja moduuli on $z$ . $\ Re (z)$ $\ Im (z)$ ${\ displaystyle \ vasen | z \ oikea |}$

Usein merkitsemme kompleksiluvun $z$ argumentin yksinkertaistetulla tavalla seuraavasti:

{\ displaystyle \ arg z = \ theta}

tai tarkemmin:

{\ displaystyle \ arg z \ equiv \ theta {\ bmod {2 \ pi}}}

Huom: Englanti, joskus kutsutaan vaiheessa tai amplitudi kompleksiluvun: . ${\ mathrm {ph}} (z)$

Laskentakaavat

Jos $z$ ei ole puhdas kuvitteellinen , jossa on konjugaatti on $z$ ja sen vuoksi: ${\ displaystyle \ tan (\ arg z) = {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} = {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm {i} \ vasen (z + {\ palkki {z}} \ oikea)}}}$ ${\ palkki {z}}$ jos , . ${\ displaystyle \ Re (z)> 0}$ ${\ displaystyle \ arg z \ equiv \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} \ equiv \ arctan {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm { i} \ vasen (z + {\ bar {z}} \ oikea)}} {\ bmod {2 \ pi}}}$
Yleisemmin nollan ulkopuolisen kompleksiluvun $z$ argumentti voidaan määrittää kokonaan seuraavasti: ${\ displaystyle \ arg z = {\ aloita {tapaukset} 2 \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z) + \ vasen | z \ oikea |}}} ja {\ teksti {si}} z \ notin \ mathbb {R} _ {-} \\\ pi & {\ text {si}} z \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} {\ text {.}} \ end { tapaukset}}}$

Ominaisuudet

Olkoon $z$ , $z$ 1 ja $z$ 2 kompleksit, jotka eivät ole nollia. Meillä on : ${\ displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}$

{\ displaystyle \ arg (z_ {1} z_ {2}) \ equiv \ arg z_ {1} + \ arg z_ {2}}

Erityisesti :

sillä millä tahansa reaalilla $on$ nolla: ${\ displaystyle \ arg (az) \ equiv {\ begin {cases} \ arg z & {\ text {si}} a> 0 \\ (\ arg z) + \ pi & {\ text {si}} a < 0 {\ text {;}} \ end {cases}}}$
kaikki suhteellinen kokonaisluku $n$ : . ${\ displaystyle \ arg (z ^ {n}) \ equiv n \ arg z}$

Geometriset sovellukset

Jos A , B , C ja D ovat neljä pistettä kaksi toisistaan erillään vastaavien kiinnitysten a , b , c ja d kompleksitasosta , niin:

{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}}, \; {\ overrightarrow {CD}}) \ equiv \ arg {\ frac {dc} {ba}} {\ bmod {2 \ pi}}}

Huomautuksia ja viitteitä

(in) Matematiikan sanakirja , 2002, "vaihe".
(in) Konrad Knopp ja Frederick Bagemihl, teorian tehtäviä osat I ja II , Dover Publications,1996, 150 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-69219-7 ) , s. 3.

Aiheeseen liittyvät artikkelit