Äärellisen ryhmän luonne

Vuonna matematiikka , joka on luonteeltaan rajallinen ryhmä on käsite liittyy ryhmän teoriassa .

Luonne on rajallinen ryhmä G on morfismi ryhmien ja G multiplikatiivisessa ryhmä ℂ * on ei-nolla kompleksilukuja .

Tämä käsite asettaa G: n kaksoisryhmän , joka koostuu kaikista G: n merkeistä . Se on äärellisten abeliryhmien harmonisen analyysin perusta .

Tämä käsite vastaa tiettyä tapausta äärellisen ryhmän edustuksen luonteesta .

Määritelmät ja ensimmäiset ominaisuudet

Määritelmät

Koko artikkeli, G merkitsee äärellinen joukko järjestyksessä g , ℂ alalla kompleksilukujen, ℂ * multiplikatiivisessa ryhmä nollasta kompleksilukuja ja U g alaryhmä on g g : nnen juuret yhtenäisyyden . Ryhmä G on merkitty kertomalla ja käänteistä elementin s on G on merkitty s -1 . Konjugaatti kompleksiluvun z merkitään z .

• Hahmo G: stä on morfismi ryhmille G -. *.

Merkki vastaa siis tiettyä äärellisen ryhmän edustustapausta  : se on tämän ryhmän 1 asteen kompleksisen esityksen luonne .

• G: n merkistöjoukkoa kutsutaan G: n kaksoisryhmäksi, ja sitä merkitään yleensä Ĝ: llä.

Sen ryhmärakenne selvitetään seuraavassa kappaleessa.

Ominaisuudet

• Mikä tahansa merkki G arvot saadaan alaryhmä U g n gth ykkösenjuuresta.

Itse asiassa "Lagrangen lause" osoittaa, että jos s on G: n alkuaine , niin s g = 1; päätellään, että merkki s on merkki g: n juuri -yksikkö.

• Χ merkkitarkistukset:

∀s∈Gχ(s-1)=χ(s)¯.{\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ chi (s ^ {- 1}) = {\ overline {\ chi (s)}}.}

Tämä johtuu edellisestä ominaisuudesta tai minkä tahansa kompaktin ryhmän merkin ominaisuuksista .

• Kertolasku antaa G: n duaalille rajallisen abelin ryhmärakenteen .

Todellakin, kahden ja G on tietyssä tapauksessa joukko morphisms ja G käytettäessä Abelin ryhmä H (ja tässä H = U g ). Nyt tällainen joukko on aina Abelin ryhmä, kuten alaryhmä Abelin tuotteen ryhmä H G (koostuu karttoja G on H ja joka on varustettu kertominen arvot H ). Lisäksi, jos G ja H ovat rajalliset sitten H G liikaa.

Esimerkkejä

• Tarkastellaan tapausta, jossa G on indeksin n symmetrinen ryhmä . Allekirjoitus sovellus on merkki arvojen U 2 = {-1, 1}.
• Dual on syklisen ryhmän järjestyksen g on isomorfinen ryhmän U g (myös syklisiä järjestyksessä g ). Itse asiassa, jos x on generaattori G , The kanoninen arviointi morfismi on x , on välillä G on U g , josta mikä tahansa merkki χ assosioi kompleksi χ ( x ), on bijektio (tämä bijectivity on osoitettu juuri kuten l tutkimuksessa endomorphisms syklisen ryhmän ).

Kommutatiivinen tapaus

Dual

• Äärellisen abeliryhmän G kaksio on isomorfinen G: n kanssa.

Tämä tulos on johdettavissa syklinen tapauksessa käyttäen Kroneckerin lause , jonka mukaan äärellinen Abelin ryhmä on äärellinen tuote sykliset ryhmät, ja siitä yleinen ominaisuus tällaisen tuotteen  :

Olkoon ( G i ) ryhmien perhe ja H abelilainen ryhmä. Morfismiryhmä ∑ G i: stä H: hen on kanonisesti isomorfinen ryhmien Hom ( G i , H ) tulolle .

Kaksinkertainen

Analogisesti rajallisten ulottuvuuksien vektoritilojen kanssa , isomorfismi rajallisen abeliryhmän G ja sen kaksoisjoukon välillä ei ole kanoninen, mutta G: n ja sen kaksoisosien (ts. Sen kaksoisosien) välillä on kanoninen isomorfismi .

• G: n kanoninen injektiomorfismi kaksinkertaisessa, jonka määrittelee seuraava tasa-arvo, on isomorfismi, jos G on rajallinen abelilainen ryhmäφ{\ displaystyle \ varphi}∀s∈G∀χ∈G^φ(s)(χ)=χ(s).{\ displaystyle \ forall s \ in G \ quad \ forall \ chi \ in {\ widehat {G}} \ quad \ varphi (s) (\ chi) = \ chi (s).}

Todellisuudessa G: llä ja sen kaksoisosalla on sama järjestys.

Harmoninen analyysi rajalliselle abelilaiselle ryhmälle

Lopullisen abeliryhmän puitteissa on mahdollista määritellä Fourier-muunnos ja konvoluutiotulo . Teoria harmoninen analyysi on rajallinen Abelin ryhmä on analoginen että kentän reals . Me todistaa Parseval tasa , Plancherel lause , Pontryagin n kaksinaisuus ja Poissonin summattu kaavaa .

Ryhmäalgebra

Hermiittinen avaruus ℂ G

G: n duaali sisältyy karttojen vektoritilaan ℂ G G: stä ℂ. Tämä tila on varustettu Hermitian-tuotteella <| > määritetään seuraavalla kaavalla:

∀x,y∈VSG⟨x|y⟩=1g∑s∈Gx(s)¯y(s).{\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathbb {C} ^ {G} \ quad \ langle x | y \ rangle = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} {\ yliviivat {x (s)}} y (t).}

• G: n kaksoisryhmä on ortonormaali perhe .
• Jos G on Abelin, kahden ryhmän G on pohja on ℂ G .

Nämä kaksi ehdotusta vastaavat rajallisen ryhmän tai yleisemmin kompaktin ryhmän esitysten teorian erityistapauksia  ; ne näytetään yksinkertaisesti tässä tapauksessa:

Esittely

• G: n kaksoisryhmä on ortonormaali perhe.

Huomaa ensin, että kaikkien merkkien χ 1 ja χ 2 kohdalla <χ 1 | χ 2 > = <1 | χ 1 χ 2 > = <1 | χ 1 -1 χ 2 > ja että <1 | 1> = 1. Siksi on vielä osoitettava, että minkä tahansa muun merkin χ kuin 1, <1 | χ> on nolla. Kaikille t ∈ G: lle meillä on

χ(t)<1|χ> =χ(t)1g∑s∈Gχ(s)=1g∑s∈Gχ(ts)=1g∑u∈Gχ(u)= <1|χ>.{\ displaystyle \ chi (t) <1 | \ chi> = \ chi (t) {\ frac {1} {g}} \ summa _ {s \ G-muodossa \ chi (s) = {\ frac {1 } {g}} \ summa _ {s \ G} \ chi (ts) = {\ frac {1} {g}} \ summa _ {u \ G} \ chi (u) = <1 | \ chi >.}Valitsemalla t siten, että χ ( t ) ≠ 1, päätellään, että <1 | χ> on nolla.

• Jos G on Abelin, dual ryhmä G on emäksinen ℂ G .

Kaksoisryhmä on siis ortonormaali perhe, joten se on vapaa . Jos ryhmä G on abelinen, sen kaksoisryhmän järjestys on yhtä suuri kuin G eli vektoritilan ℂ G ulottuvuus .

(Jos G ei ole abelilainen, G: n duaali , joka on kanonisesti identifioitu abelianisoidun G ab: n duaalilla , on vain perustila alitilalle - isomorfinen to G ab: lle -, joka koostuu G : n kartoista ℂ: ssä, jotka on otettu huomioon kirjoittanut G ab .)

Algebra ℂ [ G ]

• On monimutkainen algebran ℂ [ G ] ja lopullinen ryhmä , joka koostuu ℂ tilaa G varustettu konvoluutio, keskus koostuu keskeisten toimintojen , joten se sisältää kaksi ja G .
• Voidaan myös huomata, että vektoritila ℂ G identifioi luonnollisesti sen kaksoisarvon: mikä tahansa G : n sovellus ℂ: ssä on ainutlaatuisesti lineaarinen muoto ℂ G: llä . Tässä tunnistuksessa G : n merkit vastaavat invludivisen algebran ℂ [ G ] merkkejä , ts. ℂ [ G ]: n nollasta poikkeavia morfismeja ℂ.

Viitteet

Toimii

• Michel Demazure , algebran kurssi: primaarisuus , jaettavuus , koodit [ yksityiskohdat painoksista ]
• Jean-Pierre Serre , aritmeettinen kurssi ,1970[ yksityiskohdat painoksista ]
• André Warusfel , Äärelliset algebralliset rakenteet , Hachette, 1971
• Gabriel Peyré, Fourier-muunnoksen diskreetti algebra , Ellipses , 2004

Ulkoinen linkki

Diskreetti Fourier-muunnoksen matematiikka , C. Bachoc, Bordeaux'n yliopisto I.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">