Erdős-Turán arveluja on ratkaisematon ongelma on lisäaine lukuteoria , aiheutti vuonna 1941 Paul Erdős ja Pál Turán artikkelissa on Sidonin ongelma .
Artikkelin lopussa Erdős ja Turán ilmoittavat funktion f ( n ) = n: n esitysten lukumäärä tietyn luonnollisten kokonaislukujen B joukon kahden (ei välttämättä erillisen) summan summana kaksi oletusta . Toinen on:
"Jos f ( n )> 0, kun n > n 0 , niin lim f ( n ) = ∞. "Hypoteesi “ f ( n )> 0 riittävän suurelle n: lle ” muotoillaan uudelleen sanomalla, että B on järjestyksen 2 additiivinen (asymptoottinen) perusta.
Tämä ongelma on kiinnittänyt asiantuntijoiden huomion, mutta on edelleen ratkaisematta.
Tässä ratkaisemattomassa arvailussa on kuitenkin tapahtunut merkittäviä edistysaskeleita.
Voimme ensin pidentää ongelma tilauksesta 2 Tilauksen h : me sanomme, että joukko B luonnon kokonaislukuja on lisäaine (asymptoottinen) tilauksen perusteella h jos joku tarpeeksi suuri kokonaisluku kirjoitetaan summa h elementtejä B , toisin sanoen jos siihen liittyvä funktio (joka h = 2 on Erdősin ja Turánin funktio f )
tarkista, onko n tarpeeksi suuri:
Perusperuste osoittaa kuitenkin, että meillä on aina
Tästä seuraa, että jos B on kertaluvun h perusta, niin kortti ( B ∩ [1, n ]) = Ω ( n 1 / h ) .
Erdős onnistui vuonna 1956 vastaamaan myönteisesti (vaikkakaan ei nimenomaisesti) Sidonin yli kaksikymmentä vuotta sitten esittämään kysymykseen : onko olemassa luokan 2 lisäainepohjaa B siten, että kaikille ε> 0, r 2, B ( n ) = o ( n ε ) ? Tarkemmin sanottuna hän osoitti Borel-Cantelli-lauseen toistuvalla käytöllä kahden vakion c 3 ja c 2 > 0 olemassaolon siten, että melkein mille tahansa äärettömälle joukolle luonnollisia kokonaislukuja B meillä on riittävän suuria n :
mikä sai hänet esittämään kysymyksen: onko luonnollisten kokonaislukujen joukossa B ääretön joukko siten, että R2: lla, B ( n ) / log ( n ): llä on nollasta poikkeava raja?
Vuonna 1986, Eduard Wirsing osoitti, että suuressa luokassa lisäaineen emäksistä B , mukaan lukien alkulukuja , on olemassa osa B , joka on vielä lisäaine, pohja, mutta joka on merkittävästi "hienompi" kuin B (tarkoitettu asymptoottinen vertailu r- funktioista ).
Vuonna 1990 Erdős ja Tetali laajensivat Erdősin vuoden 1956 tuloksen mielivaltaisen järjestyksen perusteella.
Vuonna 2000 Van H. Vu osoitti, että Waring- emäksillä on ”hienot” alatukiasemat käyttäen Hardy-Littlewood -ympyrämenetelmää ja hänen polynomipitoisuustuloksiaan.
Vuonna 2006 Borwein , Choi ja Chu osoittivat, että minkä tahansa perusteella B : n järjestys 2, sup ( r 2, B ( n )) ≥ 8.