Kovariaattinen ja kontravariantti (lineaarinen algebra)
In lineaarialgebraa , adjektiiveista covariant ja contravariant käytetään kuvaamaan tapaa, jolla määrät vaihtelevat aikana muutoksen perusteella . Nämä määrät sanotaan olevan covariant kun ne vaihtelevat, kuten vektorit pohjan, ja contravariant kun ne vaihtelevat vastakkaisella tavalla.
Käsite liittyy läheisesti kaksinaisuuden käsitteeseen : tukiaseman kovariaattikoordinaatit vastaavat käytännössä kaksoisperustan ristiriitaisia koordinaatteja ja päinvastoin.
Vuonna differentiaaligeometrian , huomioon ottaminen tangenttiavaruus mahdollistaa pidentää kaksi käsitettä perheille toimintoja määritelty ero manifolds .
Kovariittisten ja epäsuotuisien määrien manipulointia helpottaa Einsteinin summausmenetelmä , jota käytetään laajasti tässä artikkelissa.
Määritelmä
Olkoon vektoritila, jolla on äärellinen ulottuvuus , samoin kuin kaksi perustaa ja sellainen, että jakeen pohjan muutos kirjoitetaan:
V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}ei{\ displaystyle n}e=(e1,e2,...,eei){\ displaystyle \ mathbf {e} = (\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n})}e′=(e′1,e′2,...,e′ei){\ displaystyle \ mathbf {e '} = (\ mathbf {e'} _ {1}, \ mathbf {e '} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e'} _ {n})}e{\ displaystyle \ mathbf {e}}e′{\ displaystyle \ mathbf {e '}}
e′i=ATijej{\ displaystyle \ mathbf {e '} _ {i} = A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}
missä kertoimet muodostavat kulkumatriisin .
ATij{\ displaystyle A_ {i} ^ {j}}
Olkoon tällöin olla perheen toimintoja, kunkin kohti vektorin tilaa samalla alalla kuin .
X=(X(i))i=1...ei{\ displaystyle X = (X (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}Vei{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}V{\ displaystyle {\ mathcal {V}}}
Vektoriperheet ja merkitään sitten vastaavasti ja .
(X(i)(e′))i=1...ei{\ displaystyle (X (i) (\ mathbf {e} ')) _ {i = 1 \ ldots n}}(X(i)(e))i=1...ei{\ displaystyle (X (i) (\ mathbf {e})) _ {i = 1 \ ldots n}}(x′(i))i=1...ei{\ displaystyle (x '(i)) _ {i = 1 \ ldots n}}(x(i))i=1...ei{\ displaystyle (x (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}
X{\ displaystyle X}sanotaan olevan vaihteleva, kunx′(i)=∑j=1eiATijx(j){\ displaystyle x '(i) = \ summa _ {j = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x (j)}
Sitten vihje on merkitty alareunaan ja Einsteinin sopimusta voidaan käyttää niin, että se kirjoitetaan:
xi′=ATijxj{\ displaystyle x_ {i} '= A_ {i} ^ {j} x_ {j}}
X{\ displaystyle X}sanotaan olevan ristiriitaisia milloinx(j)=∑i=1eiATijx′(i){\ displaystyle x (j) = \ summa _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x '(i)}
Sitten vihje on merkitty yläosaan ja Einsteinin sopimusta voidaan käyttää niin, että se kirjoitetaan:
xj=ATijx′i{\ displaystyle x ^ {j} = A_ {i} ^ {j} x '^ {i}}
Pienellä kielen väärinkäytöllä termejä kovarianssi ja kontravariantti sovelletaan myös vektori-perheisiin ja oletetaan riippuvuutta perustan valinnasta.
(xi)i=1...ei{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(xi)i=1...ei{\ displaystyle (x ^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
Esimerkkejä
Hajoaminen pohjassa
Lause ja määritelmä -
Vektorin ainutkertaisen hajoamisen kertoimet perustana muodostavat sopusointuisen skalaariperheen , jota kutsutaan kontravarianttikoordinaateiksi , ja jotka on siten merkitty korkealla indeksillä.
x=xiei{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}
Esittely
Antaa olla vektori ja perusta .
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(ei)i=1...ei{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
x{\ displaystyle \ mathbf {x}} on kirjoitettu ainutlaatuisella tavalla:
x=∑i=1eix(i)ei{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} x (i) \ mathbf {e} _ {i}}Skalaarikerrointen sitten muodostavat perheen mato toimintoja .
(x(i))i=1...ei{\ displaystyle (x (i)) _ {i = 1 \ ldots n}}Vei{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Pohjassa on kirjoitettu:
(ei′)i=1...ei{\ displaystyle (\ mathbf {e} '_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}
x=∑i=1eix′(i)ei′{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} x '(i) \ mathbf {e}' _ {i}}Siksi:
x=∑i=1eix′(i)ATijej=∑j=1ei(∑i=1eix′(i)ATij)ej{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j} = \ summa _ {j = 1} ^ {n} (\ summa _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j}) \ mathbf {e} _ {j}}Ja siksi, kun otetaan huomioon pohjan hajoamisen ainutlaatuisuus :
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(ej)j=1...ei{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {j}) _ {j = 1 \ ldots n}}
x(j)=∑i=1eix′(i)ATij=∑i=1eiATijx′(i){\ displaystyle x (j) = \ summa _ {i = 1} ^ {n} x '(i) A_ {i} ^ {j} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {j} x '(i)}∎
Pistetuotteet pohjassa
Lause ja määritelmä - Vektorin skalaariset tulot emäksen vektoreiden avulla muodostavat kovariaattisen skalaarien perheen, joita kutsutaan kovariaattikoordinaateiksi , jotka on siis merkitty matalalla indeksillä.
xi=x⋅ei{\ displaystyle x_ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}
Esittely
Vektorin pistetulokset perustan vektorien avulla voidaan kirjoittaa:
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}(ei)i=1...ei{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
x(i)=x⋅ei{\ displaystyle x (i) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}Nämä skalaarit muodostavat perheen matofunktioista .
Vei{\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Sitten meillä on:
x′(i)=x⋅ei′=x⋅(ATijej)=ATijx⋅ej=ATijx(j){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} x '(i) & = & \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e}' _ {i} \\ & = & \ mathbf {x} \ cdot ( A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}) \\ & = & A_ {i} ^ {j} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} \\ & = & A_ {i} ^ {j} x (j) \ loppu {taulukko}}}Siksi perhe on hyvin vaihteleva.
x(i){\ displaystyle x (i)}∎
Suunnatut johdannaiset
On vektori analyysi , on mahdollista määritellä suuntaava johdannainen operaattori suunnan mukaisesti seuraavasti:
d{\ displaystyle \ mathbf {d}}
∂d:EV→EVf↦(x↦limϵ→0f(x+ϵd)-f(x)ϵ){\ displaystyle {\ begin {array} {rccl} \ osa _ {\ mathbf {d}}: & {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {V}} & \ oikeanpuoleinen nuoli ja {\ mathcal {E}} ^ {\ mathcal {V}} \\ & f & \ mapsto & (\ mathbf {x} \ mapsto \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + \ epsilon \ mathbf {d}) -f (\ mathbf {x})} {\ epsilon}}) \ end {taulukko}}}
Lause - Suuntajohdannan operaattorit perustan vektorien määrittelemien suuntien mukaan muodostavat kovariaattorien operaattoriperheen, joka on siten merkitty matalalla indeksillä.
∂i=∂ei{\ displaystyle \ osittainen _ {i} = \ osittainen _ {\ mathbf {e} _ {i}}}
Esittely
Se on suora seuraus suuntaavan johdon operaattorin lineaarisuudesta suunnan mukaan.
∂ei′=∂ATijej=ATij∂ej{\ displaystyle \ osittainen _ {\ mathbf {e} '_ {i}} = \ osittainen _ {A_ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} = A_ {i} ^ {j} \ osittainen _ {\ mathbf {e} _ {j}}}∎
∂if{\ displaystyle \ osittainen _ {i} f}joskus todetaan .
f,i{\ displaystyle f _ {, i}}
Ominaisuudet
Yhteys kaksoisalustoihin
Jos on äärellinen ulottuvuus - tai - vektoriavaruus, niin ja sen duaali ovat isomorfisia . Näin ollen, jokainen vektori ja vastaa ainutlaatuisen vektori on , ja joskus tunnistaa kaksi. Seuraavassa lausunnossa toinen tasa-arvo on siis ymmärrettävä vastaavuutena eikä tasa-arvona.
E{\ displaystyle E}R{\ displaystyle \ mathbf {R}}VS{\ displaystyle \ mathbf {C}}E{\ displaystyle E}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}E{\ displaystyle E}x∗{\ displaystyle \ mathbf {x ^ {*}}}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}
Lisäksi mitä "pistetuotteella" tarkoitetaan seuraavassa lausunnossa ja sen todisteena, on itse asiassa ja ja , eli lineaarisen muodon soveltamisen tulos .
x⋅ei{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}}ei{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}ei(x){\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} (\ mathbf {x})}ei{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}x{\ displaystyle \ mathbf {x}}
Lause - Kovariaattikoordinaatit emäksessä ovat kaksoiskannan kiistanalaiset koordinaatit ja päinvastoin.
x=(x⋅ei)ei=(x⋅ei)ei{\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}) \ mathbf {e} _ {i} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ mathbf {e} ^ {i}}
Tarkoittaen:
xi=x⋅eix=xiei{\ displaystyle {\ begin {array} {c} x ^ {i} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e ^ {i}} \\\ mathbf {x} = x_ {i} \ mathbf {e } ^ {i} \ end {array}}}
Esittely
Meillä on vektorin koordinaattien määrittely :
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}
x=xiei{\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}Kaksoisperustan määritelmän perusteella meillä on siis laskemalla skalaarinen tulo seuraavasti :
ei⋅ej=5ij{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = \ delta _ {i} ^ {j}}ej{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {j}}
x⋅ej=xiei⋅ej=xi5ij=xj{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = x ^ {i } \ delta _ {i} ^ {j} = x ^ {j}}Ja niin:
xj=x⋅ej{\ displaystyle x ^ {j} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j}}Tarkoittaen:
x=(x⋅ei)ei{\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i}) \ mathbf {e} _ {i}}∎
Esittely
x{\ displaystyle \ mathbf {x}}on kirjoitettu kaksoispohjaan :
ei{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i}}
x=x~(i)ei{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ tilde {x}} (i) \ mathbf {e} ^ {i}}Piste-tuote antaa:
ej{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}
x⋅ej=x~(i)ei⋅ej=x~(i)5ji=x~(j){\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (i) \ mathbf {e} ^ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (i) \ delta _ {j} ^ {i} = {\ tilde {x}} (j)}ja niin:
x⋅ej=x~(j){\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = {\ tilde {x}} (j)}Mistä:
x=(x⋅ei)ei{\ displaystyle \ mathbf {x} = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ mathbf {e} ^ {i}}∎
Sopimustuote
Lause ja määrittely -
Antaa
ja olla kaksi vastaavasti contravariant ja covariant perheet, joiden arvot käytettäessä assosiatiivinen algebran . Ilmaisu
(kloi)i=1...ei{\ displaystyle (a ^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(bi)i=1...ei{\ displaystyle (b_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}
kloibi{\ displaystyle a ^ {i} b_ {i}}
ei riipu käytetyn emäksen valinnasta, ja sitä kutsutaan sopimukseksi .
Esittely
Toteamalla ja lausekkeet kaksi perhettä alustaan , se tulee:
(klo′i)i=1...ei{\ displaystyle (a '^ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}(bi′)i=1...ei{\ displaystyle (b '_ {i}) _ {i = 1 \ ldots n}}ei=1...ei′{\ displaystyle \ mathbf {e} '_ {i = 1 \ ldots n}}
klo′ibi′=klo′i(ATijbj)=ATijklo′ibj=(ATijklo′i)bj=klojbj{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} a '^ {i} b' _ {i} & = & a '^ {i} (A_ {i} ^ {j} b_ {j}) \\ & = & A_ {i} ^ {j} a '^ {i} b_ {j} \\ & = & (A_ {i} ^ {j} a' ^ {i}) b_ {j} \\ & = & a ^ {j} b_ {j} \ end {array}}}∎
Jatko differentiaaligeometriassa
In ero geometria , tilat katsotaan, että on sanoen ero pakosarjat , ei ole vektori tila rakenne ja siten käsitteet kovarianssi ja contravariance eivät ole suoraan sovellettavissa. Eri jakotukit ovat kuitenkin paikallisesti rinnastettavissa vektoritiloihin tangenttitilojen kautta . Luonnolliset vastaavuudet antavat siis mahdollisuuden määritellä edellä esitetyt käsitteet enää suhteessa perustan muutokseen, vaan suhteessa koordinaattien muutokseen .
x′μ(xμ){\ displaystyle x '^ {\ mu} (x ^ {\ mu})}
Paikallisesti nämä koordinaatit vaihtelevat erojen mukaan:
dx′μ=∂x′μ∂xvdxv=∂vx′μdxv=ATvμdxv{\ displaystyle dx '^ {\ mu} = {\ frac {\ partituali x' ^ {\ mu}} {\ osittainen x ^ {\ nu}}} dx ^ {\ nu} = \ osittainen _ {\ nu} x '^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = A _ {\ nu} ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}Sitten erot muodostavat pohjan tangenttitilassa, kun taas osittaiset johdannaiset muodostavat kulkumatriisin.
dxμ{\ displaystyle dx ^ {\ mu}}
Siksi, kun joukko toimintoja vaihtelee kuten erot, toisin sanoen milloin
Tμ{\ displaystyle T ^ {\ mu}}
T′μ=∂vx′μTv{\ displaystyle T '^ {\ mu} = \ osittainen _ {\ nu} x' ^ {\ mu} T ^ {\ nu}}
sitten sanotaan olevan vaihtelevaa "indeksille" (tai "mukaan") indeksille .
T{\ displaystyle T}μ{\ displaystyle \ mu}
Kun joukko vaihtelee päinvastoin, eli milloin
Tv{\ displaystyle T _ {\ nu}}
Tv=∂vx′μTμ′{\ displaystyle T _ {\ nu} = \ osittainen _ {\ nu} x '^ {\ mu} T' _ {\ mu}}
tai
,
T′μ=∂xv∂x′μTv=∂μxvTv{\ displaystyle {T '} _ {\ mu} = {\ frac {\ partituali x ^ {\ nu}} {\ osittain x' ^ {\ mu}}} T _ {\ nu} = \ osittainen _ {\ mu} x ^ {\ nu} T _ {\ nu}}
sitten sanotaan olevan ristiriitaisia "indeksille" (tai "mukaan") indeksille .
T{\ displaystyle T}v{\ displaystyle \ nu}
T{\ displaystyle T}voi hyvinkin olla kovariaalinen joillekin indekseille ja ristiriitainen toisille. Sitten kirjoitetaan yleisin muutos:
T′v1...vkμ1...μl=∂v1x′a1...∂vkx′ak∂β1xμ1...∂βlxμlTa1...akβ1...βl{\ displaystyle {T '} _ {\ nu _ {1} \ ldots \ nu _ {k}} ^ {\ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {l}} = \ osittainen _ {\ nu _ { 1}} {x '} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots \ osittainen _ {\ nu _ {k}} {x'} ^ {\ alpha _ {k}} \ osittainen _ {\ beta _ { 1}} x ^ {\ mu _ {1}} \ ldots \ osittainen _ {\ beta _ {l}} x ^ {\ mu _ {l}} T _ {\ alpha _ {1} \ ldots \ alpha _ {k}} ^ {\ beta _ {1} ... \ beta _ {l}}}
Tämä muodostaa tensorin käsitteen yksinkertaistetun määritelmän .
Jotkut kirjoittajat, kuten Sean M.Carroll (vrt. Bibliografia), mieluummin sijoittavat alkusymbolin indekseihin eikä tensoriin. He huomauttavat seuraavasti:
Tv1′...vk′μ1′...μl′=∂v1′xμ1...∂vk′xμk∂v1xμ1′...∂vlxμl′Tμ1...μkv1...vl{\ displaystyle T _ {\ nu _ {1} '\ ldots \ nu _ {k}'} ^ {\ mu _ {1} '\ ldots \ mu _ {l}'} = \ osittainen _ {\ nu _ {1} '} {x} ^ {\ mu _ {1}} \ ldots \ osittainen _ {\ nu _ {k}'} {x} ^ {\ mu _ {k}} \ osittainen _ {\ nu _ {1}} x ^ {\ mu _ {1} '} \ ldots \ osittainen _ {\ nu _ {l}} x ^ {\ mu _ {l}'} T _ {\ mu _ {1} \ ldots \ mu _ {k}} ^ {\ nu _ {1} ... \ nu _ {l}}}
Termin muut käytöt
Kovarianssin ja ristiriitaisuuden käsitteet löytyvät muilta aloilta, kuten tietojenkäsittelytieteestä, erityisesti tietojen kirjoittamisesta . Näiden eri käyttötapojen välinen yhteys heijastaa abstraktempaa yhteistä rakennetta, joka kuuluu olennaisesti kategoriateorian piiriin .
Bibliografia
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">