Frobeniuksen hajoaminen

Pidämme K - vektoriavaruutta E, jolla on äärellinen ulottuvuus, ja tämän avaruuden endomorfismia u . Frobenius hajoaminen on hajoaminen E osaksi suoraa summa ns syklinen aliavaruudet, siten, että vastaavat minimaalinen (tai ominaisuus ) polynomeja ja rajoitukset u tekijöistä ovat invariantti tekijöitä ja u . Frobeniuksen hajoaminen voidaan suorittaa millä tahansa kentällä : emme tässä olekaan, että K on algebrallisesti suljettu .

Johtava polynomi

Olkoon x vektorin E , joukko

Minäx={P∈K[X]∣P(u)(x)=0}{\ displaystyle I_ {x} = \ {P \ in K [X] \ keskellä P (u) (x) = 0 \}}

on K [ X ]: n ideaali , jota ei ole laskettu 0: ksi ( Cayley-Hamilton-lauseen mukaan tunnusomainen polynomi on nollasta poikkeava polynomi, joka kuuluu tähän ihanteeseen); se on siis syntyy ainutlaatuinen yhtenäinen polynomi , jota kutsutaan johtavan polynomi on u on x , tai joskus paikallinen minimaalinen polynomi, u on x . πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

Syklinen alatila

Olkoon x vektorin E , joukko

Sx={P(u)(x)∣P∈K[X]}{\ displaystyle S_ {x} = \ {P (u) (x) \ keskellä P \ K: ssä [X] \}}

on vektori aliavaruus on E vakaa mukaan u kutsutaan u syklisen aliavaruuden syntyy x , tai u -stabiili sulkeminen on x .

Tai meillä on, jos ja vain, jos . Siksi johtava polynomi on endomorfismin minimaalinen polynomi , jonka u indusoi alitilassa S x . P∈K[X]{\ displaystyle P \ muodossa K [X]}P∈Minäx{\ displaystyle P \ sisään I_ {x}}∀y∈Sx, P(u)(y)=0{\ displaystyle \ kaikki y \ muodossa S_ {x}, \ P (u) (y) = 0}πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

S x: n ulottuvuus on yhtä suuri kuin polynomin aste . πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}

U -tuen vektorit

Tahansa vektori x ja E , johtavan polynomi jakaa minimaalinen polynomi on u . Sanomme, että x on u- maksimi kun . Frobeniuksen hajoaminen perustuu kahteen seuraavaan tulokseen (osoitettu Wikikorkeakoulussa ): πu,x{\ displaystyle \ pi _ {u, x}}πu{\ displaystyle \ pi _ {u}} πu,x=πu{\ displaystyle \ pi _ {u, x} = \ pi _ {u}}

• mikä tahansa endomorfismi u sallii vektorin u- maksimin;
• mille tahansa vektorille u- maksimi x , S x antaa ylimääräisen vakauden u: lla .

Induktiolla etenemme sitten Frobeniuksen hajoamiseen .

Frobeniuksen hajoaminen

On olemassa vektorien sekvenssit on E siten, että x1,x2,...,xs{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {p}}

• E=Sx1⊕Sx2⊕⋯⊕Sxs{\ displaystyle E = S_ {x_ {1}} \ oplus S_ {x_ {2}} \ oplus \ dots \ oplus S_ {x_ {p}}}
• πu,xs∣⋯∣πu,x2∣πu,x1{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {p}} \ mid \ dots \ mid \ pi _ {u, x_ {2}} \ mid \ pi _ {u, x_ {1}}}

Polynomit eivät riipu valinnasta vektorit , ne ovat muuttumattomia tekijöitä ja u . Minimaalinen polynomi on ja tunnusomainen polynomi on . πu,xi{\ displaystyle \ pi _ {u, x_ {i}}}xi{\ displaystyle x_ {i}}πu=πu,x1{\ displaystyle \ pi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}}}χu=πu,x1πu,x2...πu,xs{\ displaystyle \ chi _ {u} = \ pi _ {u, x_ {1}} \ pi _ {u, x_ {2}} \ pisteitä \ pi _ {u, x_ {p}}}

Kaksi endomorfismia ovat samanlaisia vain ja vain, jos niillä on samat muuttumattomat tekijät.

Vaihtoehtoisesti voimme nähdä Frobenius-hajoamislauseen invarianttitekijälauseen välittömänä seurauksena tekemällä vastaavuus -vektori-avaruuden ja - -moduulin välillä, jolla on ulkoisen tuotteen määrittelemä . Muuttumattomien tekijöiden lause on kuitenkin paljon vaikeampi osoittaa yleisesti kuin tässä kuvattu todiste, jossa käytetään lineaarisia algebratekniikoita. K{\ displaystyle \ mathbb {K}}E{\ displaystyle E}K[X]{\ displaystyle \ mathbb {K} [X]} (E,u){\ displaystyle (E, u)}P⋅ux=P(u)(x){\ displaystyle P \ cdot _ {u} x = P (u) (x)}

U: n aiheuttamat endomorfismit ovat syklisiä endomorfismeja, joiden jäljellä on vain erityisten ominaisuuksien tutkiminen.

Syklinen endomorfismi

Sanotaan, että u on syklinen endomorphism jos on osa x on E siten, että S x = E .

Voimme luonnehtia syklinen endomorphisms monella tavalla: an endomorphism U on E on syklinen, jos ja vain jos:

• u: n minimipolynomin aste on yhtä suuri kuin E: n ulottuvuus  ;
• minimipolynomi ja u: n ominaispolynomi ovat samat (paitsi merkkiä);
• endomorfismi kulkee u: n kanssa (jos ja) vain, jos se on polynomi kohdassa u  ;
• on olemassa E : n perusta, jossa u: n matriisi on kumppanimatriisi . Sitten se on u: n minimipolynomin kumppanimatriisi .

Sovellukset

• Frobeniuksen hajoaminen antaa meille mahdollisuuden tutkia endomorfismin kommutanttia ja bikomutanttia .
• Se tarjoaa täydellisen neliömäisen matriisin samankaltaisuusvarianttien järjestelmän , joka osoittaa tyylikkäästi, että:
  • mikä tahansa neliömatriisi on samanlainen kuin sen transponointi (todistamme sen manuaalisesti kumppanimatriisille ja se riittää);
  • Jos kaksi neliömatriisia, joiden merkinnät ovat kappaleessa K, ovat samanlaisia inverttisen matriisin kautta, jonka kertoimet ovat K : n laajennuksessa , niin ne ovat myös käänteisen matriisin kautta, jonka kertoimet ovat K: ssa .

Viite

J. Fresnel, matriisien algebra , Hermann, 1997, § A 4.1, s. 139-141

Katso myös