Brownin retki

In todennäköisyysteoriasta , eli Brownin retki on stokastista prosessia , joka on läheistä sukua Wiener prosessi (tai Brownin liike ). Brownin retken toteutukset ovat olennaisesti tietyn Wiener-prosessin toteutuksia, jotka täyttävät tietyt ehdot. Erityisesti Brownin-retki on Wiener-prosessi, jonka ehdollistetaan olevan positiivinen ja ottamaan arvo 0 ajankohtana 1. Se voidaan määritellä myös Brownin sillaksi, joka on ehdollistettu positiiviseksi.

Määritelmä

Esitys Brownin retkestä Brownin liikkeellä W ( Paul Levyn takia ja Kiyoshi Ito ja Henry P.McKean, Jr) on annettu viimeisen kerran , kun W saavuttaa nollan ennen aikaa 1 ja ensimmäistä kertaa Brownin liike saavuttaa nollan ajan 1 jälkeen: $W$ ${\ displaystyle \ tau _ {-}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {+}}$ $W$

{\ displaystyle \ {e (t): \ {0 \ leq t \ leq 1} \} \ {\ stackel {d} {=}} \ \ left \ {{\ frac {| W ((1-t) \ tau _ {-} + t \ tau _ {+}) |} {\ sqrt {\ tau _ {+} - \ tau _ {-}}}}: \ 0 \ leq t \ leq 1 \ oikea \} .}

Jos on aika, jolloin Brownin silta saavuttaa miniminsä kohdassa [0, 1], Vervaat (1979) osoittaa, että ${\ displaystyle \ tau _ {m}}$ $W_ {0}$

{\ displaystyle \ {e (t): \ {0 \ leq t \ leq 1} \} \ {\ stackel {d} {=}} \ \ vasen \ {W_ {0} (\ tau _ {m} + t {\ bmod {1}}) - W_ {0} (\ tau _ {m}): \ 0 \ leq t \ leq 1 \ oikea \}.}

Huomautuksia ja viitteitä

Durrett, Iglehart, Brownin mutkittelun ja Brownin retken funktiot (1975)
Itô ja McKean (1974, sivu 75)

Bibliografia

Chung, Kai Lai (1975). “Maxima Brownin retkillä” . American Mathematical Societyn tiedote . 81 (4): 742-745. ISSN 0002-9904 . doi : 10.1090 / s0002-9904-1975-13852-3 .
Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). "Brownian mutkan ja Brownin retken funktionaalit" . Todennäköisyyden vuosikirjat (em inglês). 5 (1): 130–135. ISSN 0091-1798 . doi : 10.1214 / aop / 1176995896 .
Groeneboom, Piet (1983). "Brownin liikkeen kovera majorantti" . Todennäköisyyden vuosikirjat . 11 : 1016–1027. JSTOR 2243513 . MR 714964 . doi : 10.1214 / aop / 1176993450 .
Groeneboom, Piet (1989). "Brownian liike parabolisella ajelulla ja ilmavilla toiminnoilla" . Todennäköisyysteoria ja siihen liittyvät kentät . 81 : 79–109. MR 981568 . doi : 10.1007 / BF00343738 .
Itô, Kiyosi ; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Diffuusioprosessit ja niiden näytepolut . Matematiikan klassikot (toinen painos, korjattu toim.). Springer-Verlag, Berliini. ( ISBN 978-3540606291 ) . MR 0345224 .
Janson, Svante (2007). "Brownin retkialue, Wrightin vakiot graafien luettelossa ja muut Brownin alueet". Todennäköisyystutkimukset . 4 : 80–145. MR 2318402 . doi : 10.1214 / 07-ps104 .
Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). "Tail-arviot Brownian retkialueelle ja muille Brownian alueille." . Sähköinen todennäköisyyspäiväkirja . 12 : 1600–1632. MR 2365879 . doi : 10.1214 / ejp.v12-471 .
Kennedy, Douglas P. (1976). "Suurimman Brownin retken jakauma". J. Appl. Todennäköisyys . 13 : 371–376. JSTOR 3212843 . MR 402955 .
Lévy, Paul (1948). Stokastiset prosessit ja Brownin liike . Gauthier-Villars, Pariisi. MR 0029120 .
Louchard, Guy (1984). "Kacin kaava, Levyn paikallista aikaa ja Brownin retki". J. Appl. Todennäköisyys . 21 : 479–499. JSTOR 3213611 . MR 752014 .
Pitman, JW (1983). "Huomautuksia Brownin liikkeen kuperasta alaikäisestä". Progr. Probab. Tilast. 5 . Birkhauser, Boston: 219–227. MR 733673 .
Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Jatkuva Martingales ja Brownian Motion . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (kirja 293). Springer-Verlag, Berliini. MR 1725357 .
Vervaat, Wim (1979). "Suhde Brownin sillan ja Brownin retken välillä" . Todennäköisyyden vuosikirjat . 7 : 143–149. JSTOR 2242845 . MR 515820 . doi : 10.1214 / aop / 1176995155 .