Schur-kupera toiminto

Matematiikan, joka on Schur-kupera (tai kupera merkityksessä Schur) funktio, jota kutsutaan myös S-kupera , isotoninen toiminto tai tilauksen säilyttäminen funktio on funktio siten, että se säilyttää, jotta suhteet: kaikki siten, että $x$ on rajoittuu mukaan $y$ , $f$ tyydyttää $f$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $($ $y$ $)$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x, y \ sisään \ mathbb {R} ^ {d}}$

Issai Schurin mukaan nimettyjä Schur-kuperia funktioita käytetään majorisaation tutkimuksessa . Kaikki funktiot, jotka ovat kuperia ja symmetrisiä, ovat myös Schur-kuperia, mutta käänteinen implikaatio ei ole aina totta. Toisaalta mikä tahansa Schur-kupera funktio on symmetrinen (sen argumenttien permutaatioiden suhteen).

Schur-kovera toiminto

Funktion $f$ sanotaan olevan kovera, jos sen vastakohta - $f$ on Schur-kupera.

Schur-Ostrowskin kriteeri

Jos $f$ on symmetrinen ja sillä on osittaisia johdannaisia, niin $f$ on Schur-kupera vain ja vain, jos kaikille 1 ≤ i ≠ j ≤ d ja missä tahansa seuraavista pisteistä : $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) \ vasen ({\ frac {\ partis f} {\ osittain x_ {i}}} - {\ frac {\ osittainen f} {\ osallinen x_ {j} }} \ oikea) \ geq 0}

Esimerkkejä

${\ displaystyle f (x) = \ min (x)}$ on Schur-kovera ja Schur-kupera (tämä johtuu nopeasti toimintojen määritelmästä). ${\ displaystyle f (x) = \ max (x)}$
Shannonin entropia toiminto on Schur-kovera. ${\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} \ cdot \ log _ {2} {\ frac {1} {P_ {i}}}}}$
Rényi entropia toiminto on myös Schur-kovera.
Pikemminkin luonnollisesti funktiot ovat kaikki Schur-kuperia arvolle $k$ $\geq 1$ . ${\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}}$
Toiminto on Schur-kovera verkkotunnuksessa . Samoin elementaariset symmetriset funktiot ovat Schur-koveria . ${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$
Luonnollinen tulkinta majorisaatiosta on, että jos sitten $x$ on enemmän hajautunut kuin $y$ . Siksi on luonnollista kysyä, ovatko tilastolliset vaihteluvälit Schur-kuperat. Sekä varianssi että keskihajonta ovat Schur-kuperia funktioita, mutta poikkeamien absoluuttinen arvo ei ole. ${\ displaystyle x \ succ y}$
Jos $g$ on todellisella aikavälillä määritelty kupera funktio, niin se on Schur-kupera. ${\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$
Esimerkki todennäköisyydestä: jos on vaihdettavissa olevia satunnaismuuttujia, odotusfunktio on Schur-kupera multi-indeksin funktiona , edellyttäen että odotus on olemassa. ${\ displaystyle X_ {1}, \ pisteet, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen (\ prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}} \ oikea)}$ ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ pistettä, a_ {n})}$
Gini-kerroin on tiukasti Schur-kovera.

Viitteet

(in) A. Wayne Roberts ja Dale E. Varberg , kupera toimintoja , New York, Academic Press ,1973, 299 Sivumäärä ( ISBN 978-0-08-087372-5 , lue verkossa ) , s. 258.
(in) Josip E. Peajcariaac ja Y. L. Tong , kupera toiminnot, Osittainen orderings ja Tilastollinen Applications , Academic Press,1992, 467 Sivumäärä ( ISBN 978-0-08-092522-6 , lue verkossa ) , s. 333.

Katso myös

Lähes kupera toiminto