Virhetoiminto

On matematiikka , virhefunktio (kutsutaan myös Gaussin virhe toiminto ) on kokonaisluku funktio käyttää analyysissä . Tätä toimintoa merkitään erf: llä ja se on osa erikoistoimintoja . Sen määrittelee:

erf⁡(x)=2π∫0xe-t2dt.{\ displaystyle \ operaattorinimi {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t.}

Erf-toiminto puuttuu säännöllisesti todennäköisyyksien ja tilastojen kentälle sekä diffuusio-ongelmiin ( lämmön tai aineen ).

Tämän toiminnon etu

Todennäköisyys ja tilastot

Todennäköisyys, että alennettu keskitetty normaali muuttuja X saa arvon on aikaväli [- z , z ] on:

erf⁡(z2)=P(X∈[-z,z]).{\ displaystyle \ operaattorin nimi {erf} \ vasen ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ oikea) = \ mathbb {P} (X \ muodossa [-z, z]).}

Kertymäfunktio on X , tai jakeluun funktiona normaalin lain , jota yleensä merkitään Φ, liittyy virhe toiminto, erf nimeämä suhde:

Φ(z)=∫-∞z12πe-t22dt=12[1+erf⁡(z2)]=P(X≤z),{\ displaystyle \ Phi (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {z} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \, \ pi}}} \, \ mathrm {e} ^ {- { \ frac {t ^ {2}} {2}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operaattorin nimi {erf} \ left ({\ frac { z} {\ sqrt {2}}} \ oikea) \ oikea] = \ mathbb {P} (X \ leq z),}

tai jopa :

erf⁡(z)=2Φ(z2)-1.{\ displaystyle \ operaattorin nimi {erf} (z) = 2 \, \ Phi \! \! \ vasen (z {\ sqrt {2}} \ oikea) -1.}

Diffuusiokysymykset

Virhetoiminto on mukana lämpöyhtälön tai diffuusioyhtälön ratkaisujen ilmaisemisessa , esimerkiksi kun alkutilat annetaan Heaviside-funktiolla .

Harkita erityisesti puoli-space x ≥ 0 käytössä kiinteää ainetta, jolla lämpötilan diffuusiokertoimen κ ja aluksi tasainen lämpötila T 1 . Jos ajankohtana t = 0 rajansa x = 0 on tuonut pidettiin sitten lämpötilassa T 2 , lämpötila T ( x , t ), milloin tahansa t> 0 ja milloin tahansa x > 0 on:

T(x,t)=T2-(T2-T1)erf⁡(x2κt).{\ displaystyle T (x, t) = T_ {2} - (T_ {2} -T_ {1}) \ operaattorin nimi {erf} \ vasen ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {\ kappa t} }}} \ oikea).}

Numeerinen laskenta

Integraalia ei voida saada suljetusta kaavasta, vaan kokonaislukusarjan (äärettömän konvergenssisäteen) integroidulla termillä termillä,

erf⁡(z)=2π∑ei=0∞(-1)ei(2ei+1)×ei!z2ei+1=2π(z-z33+z510-z742+O(z9)).{\ displaystyle \ quad \ operaattorinimi {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) \ kertaa n!}} \, z ^ {2n + 1} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ vasemmalle (z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} - {\ frac {z ^ {7}} {42}} + O (z ^ {9}) \ oikea).}

On taulukoita, joissa integraalien arvot ovat z: n funktioita , mutta nykyään useimmat numeeriset ohjelmistot ( laskentataulukot , Scilab ) tai CAS (kuten Maple tai MuPAD ) sisältävät erf- laskurutiinin (x) ja sen vastavuoroisen bijektion , inverf (x), joka on vielä hyödyllisempi todennäköisyyksien laskemisessa .

Seuraavat likiarvot voivat kuitenkin olla hyödyllisiä:

• Sisään (virhe alle 6 × 10 –4, kun x <0,5)v(0),erf⁡(x)=2πe-x2(x+23x3+415x5)+o(x6e-x2){\ displaystyle v (0), \ quad \ operaattorin nimi {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- x ^ {2}} \ vasen (x + { \ frac {2} {3}} \, x ^ {3} + {\ frac {4} {15}} \, x ^ {5} \ oikea) + o (x ^ {6} \, e ^ { - x ^ {2}})}}
• In (jossa virhe on vähemmän kuin 2 x 10 -4 ja x > 1,75)v(+∞),erf⁡(x)=1-e-x21π.(1x-12x3+34x5-158x7)+o(x-8e-x2){\ displaystyle v (+ \ infty), \ quad \ operaattorin nimi {erf} (x) = 1-e ^ {- x ^ {2}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}}. \ vasen ({\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {2x ^ {3}}} + {\ frac {3} {4x ^ {5}}} - {\ frac {15} { 8x ^ {7}}} \ oikea) + o (x ^ {- 8} e ​​^ {- x ^ {2}})}
• Sillä x>0,1-e-x2≤erf⁡(x)≤1-e-4x2/π{\ displaystyle x> 0, \ quad {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ leq \ operaattorin nimi {erf} (x) \ leq {\ sqrt {1-e ^ {- 4x ^ {2} / \ pi}}}}

(viitekehys, jonka ehdotti JT Chu, 1955; yläraja lähestyy funktiota erf kaikkialla 7 × 10 −3 ).

• Sillä x>0,erf⁡(x)≃1-e-1,9x1,3{\ displaystyle x> 0, \ quad \ operaattorin nimi {erf} (x) \ simeq 1-e ^ {- 1,9x ^ {1,3}}}

(lähentäminen ehdottama E. Robert, 1996, se lähestyy funktiota erf kaikkialla kuluessa 2,2 x 10 -2 . Approksimaatio parantaa vähemmän kuin 10 -2 varten ). x≥1{\ displaystyle x \ geq 1}

• Funktio on ratkaisu differentiaaliyhtälölle, jolla arvo 0 on 0 ja johdannainen on 0.x↦erf⁡(x)×ex2{\ displaystyle x \ mapsto \ operaattorin nimi {erf} (x) \ kertaa e ^ {x ^ {2}}}y″-2xy′-2y=0{\ displaystyle y '' - 2x \, y'-2y = 0}2π{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}}}

Laajennukset

Sattuu, että yleisempi funktio, jonka määrittelee: Eei{\ displaystyle E_ {n}}

Eei(z)=ei!∫0ze-ζeidζ{\ displaystyle E_ {n} (z) = n! \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- \ zeta ^ {n}} \, \ mathrm {d} \ zeta}

käytetään ja E 2 kutsutaan integraalivirheeksi.

Muut analyysissä käytetyt virhetoiminnot, mukaan lukien:

• Täydentävät virhe funktio huomattava ERFC ja määritellään:

erfc⁡(z)=1-erf⁡(z)=2π∫z∞e-ζ2dζ{\ displaystyle \ operaattorin nimi {erfc} (z) = 1- \ operaattorin nimi {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {z} ^ {\ infty} e ^ {- \ zeta ^ {2}} \, \ mathrm {d} \ zeta}

• Ierfc- funktio (vastakohta) komplementaarisen virhetoiminnon erfc integraalille  :

ierfc⁡(z)=e-z2π-z⋅erfc⁡(z){\ displaystyle \ operaattorin nimi {ierfc} (z) = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} - z \ cdot \ operaattorin nimi {erfc} (z)}

• Kuvitteellinen virhefunktio huomattava erfi on määritelty:

erfi⁡(z)=erf⁡(iz)i=2π∫0zeζ2dζ{\ displaystyle \ operaattorinimi {erfi} (z) = {\ frac {\ operaattorin nimi {erf} (iz)} {i}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0 } ^ {z} e ^ {\ zeta ^ {2}} \, \ mathrm {d} \ zeta}

Se määritellään usein vain joissakin tietokonealgebraohjelmistoissa, kuten Mathematica ja Maple . Sitä voidaan kuitenkin kuvata käyttämällä kokonaislukusarjan laajennusta  :

erfi⁡(z)=2π∑ei=0∞1(2ei+1)×ei!z2ei+1=2π(z+z33+z510+z742+O(z9)).{\ displaystyle \ quad \ operaattorinimi {erfi} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( 2n + 1) \ kertaa n!}} \, Z ^ {2n + 1} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ vasemmalle (z + {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + O (z ^ {9}) \ oikea).}

Vastavuoroinen toiminta

Käänteisvirhetoiminto on joskus mukana tilastokaavoissa . Se voidaan kuvata sarjalaajennuksella:

erf-1⁡(z)=∑k=0∞vs.k2k+1(π2z)2k+1{\ displaystyle \ operaattorinimi {erf} ^ {- 1} (z) = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ vasen ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ oikea) ^ {2k + 1}}

missä ja vs.0=1{\ displaystyle c_ {0} = 1}

vs.k=∑m=0k-1vs.mvs.k-1-m(m+1)(2m+1)={1,1,76,12790,...}{\ displaystyle c_ {k} = \ summa _ {m = 0} ^ {k-1} {\ frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = \ vasen \ {1,1, {\ frac {7} {6}}, {\ frac {127} {90}}, \ ldots \ oikea \}}

Saamme seuraavan kehityksen:

erf-1⁡(z)=12π(z+π12z3+7π2480z5+127π340320z7+4369π45806080z9+34807π5182476800z11+⋯){\ displaystyle \ operaattorin nimi {erf} ^ {- 1} (z) = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \ vasen (z + {\ frac {\ pi} {12} } z ^ {3} + {\ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + \ cdots \ right) }

( Tämän sarjan konvergenssisäteen arvo on 1, se antaa hyvät likimääräiset arvot vain esimerkiksi esimerkiksi z | <1/2).

Viite

1. tästä aiheesta Liouvillen lause .
2. (in) Eric W. Weisstein , "  Erfi  " päälle MathWorld .

• (en) Milton Abramowitz ja Irene Stegun , Käsikirja matemaattisista funktioista kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla [ painoksen yksityiskohdat ] ( lue verkossa ) , luku .  7

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Normaali laki
• Fresnelin kiinteä osa
• Täydentävä virhetoiminto

Ulkoiset linkit

• (en) Eric W. Weisstein , “  Erf  ” , MathWorldissa
• (en) Eric W. Weisstein , “  Erfi  ” , MathWorldissa
• Steven G.Johnson ja Joachim Wuttke, libcerf , C-toteutus monimutkaiselle argumentille.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">