Konfluentti hypergeometrinen toiminto
Konfluentti hypergeometrinen sarja (tai Kummer toiminto ) on:
jossa tarkoittaa Pochhammer symboli .
1F1(klo;vs.;z)=∑ei=0∞(klo)ei(vs.)eizeiei!{\ displaystyle _ {1} F_ {1} (a; c; z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ { n}}} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}(klo)ei{\ displaystyle (a) _ {n}}
Se on toisen asteen differentiaaliyhtälön ratkaisu :
zd2u(z)dz2+(vs.-z)du(z)dz-klou(z)=0{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - - (z) = 0 }Besselin funktioita , epätäydellinen gammafunktion , parabolinen sylinteri toiminnot (in) tai Hermiten polynomeja ja laguerren polynomi voidaan esittää käyttäen konfluentteja hypergeometrinen sarja (katso Slater). Whittaker esitteli toiminnot ja jotka myös liittyvät yhteen virtaavan hypergeometrinen sarja.
Mμ,v(z){\ displaystyle M _ {\ mu, \ nu} (z)}Wμ,v(z){\ displaystyle W _ {\ mu, \ nu} (z)}
Differentiaalikaavan ratkaisu
Yhtälö voidaan ratkaista Frobenius-menetelmällä , valitsemme ansatz:
zd2u(z)dz2+(vs.-z)du(z)dz-klou(z)=0{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - - (z) = 0 }
u(z)=∑ei=0+∞kloeizei+r,(klo0≠0),r∈R.{\ displaystyle u (z) = \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} z ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ kohteessa \ mathbb {R}.}Sieltä tulee yhtälö:
zr∑ei=0+∞kloei[((ei+r)(ei+r-1)+vs.(ei+r))zei-1-((ei+r)+klo)zei]=0{\ displaystyle z ^ {r} \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} [\ vasen ((n + r) (n + r-1) + c (n + r) \ oikea) z ^ {n-1} - \ vasen ((n + r) + a \ oikea) z ^ {n}] = 0}kenestä tulee
zr-1klo0rvs.+zr∑ei=0+∞kloei+1[((ei+r+1)(ei+r)+vs.(ei+r+1))zei]-kloei((ei+r)+klo)zei=0{\ displaystyle z ^ {r-1} a_ {0} rc + z ^ {r} \ summa _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n + 1} [\ vasen ((n + r + 1) (n + r) + c (n + r + 1) \ oikea) z ^ {n}] - a_ {n} \ vasen ((n + r) + a \ oikea) z ^ {n} = 0 }.
Koska summan jäsen ei voi peruuttaa edessä olevaa kerrointa , sen on oltava nolla, joten löydämme sen . Siksi löydämme toistokerroin kertoimien välillä:
zr-1{\ displaystyle z ^ {r-1}}r=0{\ displaystyle r = 0}
kloei+1=kloei(ei+klo)(ei+1)(ei+vs.){\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} (n + a)} {(n + 1) (n + c)}}}.
Valitsemme ja löydämme esimerkiksi:
klo0=1{\ displaystyle a_ {0} = 1}
klo1=klovs.klo2=klo(klo+1)2vs.(vs.+1)klo3=klo(klo+1)(klo+2)6vs.(vs.+1)(vs.+2)...kloei=(klo)ei(vs.)eiei!{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {a} {c}} \ quad a_ {2} = {\ frac {a (a + 1)} {2c (c + 1)}} \ quad a_ {3 } = {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {6c (c + 1) (c + 2)}} \ quad ... \ quad a_ {n} = {\ frac {(a ) _ {n}} {(c) _ {n} n!}}},
ja lopuksi mikä on hypergeometrinen toiminto.
u(x)=∑ei=0∞(klo)ei(vs.)eizeiei!{\ displaystyle u (x) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z ^ { n}} {n!}}}
Bibliografia
-
Edmund Taylor Whittaker , Ilmaus tietyistä tunnetuista toiminnoista yleistyneinä hypergeometrisinä toimintoina , Bull. Katkera. Matematiikka. Soc. Osa 10, numero 3 (1903), 125-134.
-
Lucy Joan Slater , Confluent hypergeometric functions in Handbook of Mathematical Functions , M. Abramowitz ja I. Stegun (toim.) P. 503 (Yhdysvaltain hallituksen painotoimisto, Washington, 1964)
-
Francesco Giacomo Tricomi (en) , Confluent hypergeometric functions , Memorial of Mathematics Sciences, n ° 140 (Gauthier-Villars, 1960)
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">