Lineaarinen funktio (analyysi)

Lineaarinen toiminto Käyrät, jotka edustavat toimintoja , ja .

{\ displaystyle x \ mapsto 2x}

{\ displaystyle x \ mapsto 0.5x}

{\ displaystyle x \ mapsto -0,2x}

Luokitus	${\ displaystyle-kirves}$
Vastavuoroinen	${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} x}$ jos $a \ neq 0$
Johdannainen	$klo$
Primitiivit	${\ displaystyle {\ frac {a} {2}} x ^ {2} + C}$

Pääasialliset tunnusmerkit

Määritelmä asetettu	$\ mathbb {R}$
Kuva asetettu	$\ mathbb {R}$ jos $a \ neq 0$
Pariteetti	outo

Erityiset arvot

Nolla-arvo	0

Erityispiirteet

Nollat	0
Kiinteät pisteet	0

Vuonna alkeet matematiikka , lineaarisia funktioita kuuluvat yksinkertaisin tehtävät että yksi täyttää. Nämä ovat lineaaristen sovellusten erikoistapauksia .

Ne heijastavat suhteellisuutta .

Esimerkiksi sanotaan, että täyden polttoainesäiliön hinta on lineaarinen funktio säiliöön asetettujen litrien lukumäärästä, koska:

nollasta litraa, maksat nolla euroa;
litralta maksamme 1,40 euroa;
2 litrasta maksat 2,80 euroa;
10 litrasta maksat 14 euroa;
100 litrasta maksamme 140 euroa;
ja N litrasta maksamme 1,4 × N euroa.

Huomautus : False ystävän kanssa Ranskan, Saksan termit Lineare Funktion ja Englanti lineaarinen funktio merkitsee affine toiminto .

Kuinka tunnistaa lineaarinen funktio?

Lineaarinen funktio määritellään seuraavasti:

{\ displaystyle f: x \ mapsto y}

jossa

y = kirves

missä luku $a$ on mikä tahansa reaaliluku . Tämä real A $on$ nimeltään verrannollisuuskerroin.

Alkaen yhtälöstä $y = ax$ , näemme, että muulle $x: lle$ kuin nollalle voimme jakaa kaksi jäsentä $x: llä$ . Joten se tulee:

{\ displaystyle a = {\ frac {y} {x}}.}

Nollasta poikkeava arvo $x$ ja sen kuva $y ovat$ siis riittävät määrittämään suhteellisuuskertoimen arvon.

Edustus suunnitelmassa

Funktion graafinen esitys on joukko pisteitä koordinaateilla $( x , y )$ siten, että $y = f ( x )$ .

Lineaariset funktiot, jotka on määritelty välillä ℝ - ℝ, on esitetty tasossa suoralla viivalla. Tämä suora kulkee koordinaattijärjestelmän alkupisteen läpi. Itse asiassa, jos M on graafisen esityksen piste siten, että $x = 0$ , se tulee välttämättä $y = 0$ .

Tärkeä graafinen elementti on linjan suuntauskerroin (tai kaltevuus) . Se vastaa lineaarisen funktion suhteellisuuskerrointa. Sitten löydämme yksinkertaisen tavan laskea tämä ohjauskerroin: jos $M ( x , y )$ on piste rivillä, joka eroaa alkuperästä, meillä on, kuten aikaisemmin $y = ax$ , jakamalla $x: llä$ (ei nollalla)

{\ displaystyle a = {\ frac {y} {x}}.}

On olemassa tapa lukea viivan kaltevuus kaaviosta: se on viivan kaltevuus x-akseliin nähden.

Esimerkiksi :

jos $a = 1$ , viiva muodostaa ortonormaalissa koordinaattijärjestelmässä 45 ° kulman abscissa-akselin kanssa (tämä on koordinaatistojärjestelmän ensimmäinen puolittaja , identiteettifunktion graafinen esitys);
jos $a = 2$ , viiva "nousee" jyrkemmin kuin $a = 1$ ;
jos $a = 0$ , viiva osuu x-akselin kanssa (nollafunktion graafinen esitys);
jos $a = -1$ , rivi "laskee".

Yhteenvetona :

jos $a > 0$ , rivi "nousee", kun se luetaan vasemmalta oikealle;
jos $a = 0$ , viiva osuu x-akselin kanssa;
jos $a <0$ , rivi "laskeutuu" lukemalla vasemmalta oikealle.

Yksikköruudukossa ohjauskerroin vastaa ordinaatti-akselilla kuljettujen neliöiden lukumäärää, kun liikutetaan yhtä laastaria (oikealle) absiksin kohdalla.

Toiminnot

Summa

Tarkastellaan kahta lineaarista funktiota $f$ ja $g, jotka$ määritetään mille tahansa todelliselle $x$ : lle seuraavasti:

{\ displaystyle f (x) = ax, \ qquad g (x) = bx.}

Joten kaikilla todellisilla $x: llä$ on

{\ displaystyle (f + g) (x) = ax + bx = (a + b) (x).}

Toisin sanoen kahden lineaarisen funktion summa on lineaarinen funktio.

Kertominen todellisella

Tarkastellaan lineaarista funktiota $f, joka on$ määritelty mille tahansa todelliselle $x$ : lle $f ( x ) = ax$ ja $k$ mikä tahansa reaali. Joten kaikilla todellisilla $x: llä$ on

{\ displaystyle (kf) (x) = kf (x) = kax.}

Siksi vakion lineaarisen funktion tulo on lineaarinen funktio.

Tuote

Tarkastellaan kahta lineaarista funktiota $f$ ja $g, jotka$ määritetään mille tahansa todelliselle $x$ : lle seuraavasti:

{\ displaystyle f (x) = ax, \ qquad g (x) = bx.}

Sitten meillä on:

{\ displaystyle (f \ kertaa g) (x) = ax \ kertaa bx = abx ^ {2}.}

Toisin sanoen, tuote kahden nollasta lineaarisia funktioita ei ole lineaarinen funktio, mutta toisen asteen funktio .

Johdannainen

Olkoon $f$ lineaarinen funktio. Funktion $f$ suoraa edustava tangentti on tämän suoran missä tahansa kohdassa, joten kaikilla todellisilla $x$ : llä on:

{\ displaystyle f '(x) = a.}

$F: stä$ johdettu funktio on siis vakiofunktio, joka määritetään ℝ: lle tällä yhtälöllä.

Integraali

Olkoon $f$ lineaarinen funktio, positiivinen aikavälillä $[ a , b ]$ . Voimme laskea $f$ : n integraalin $[ a , b ]: ssä$ käyttämällä trapetsin pinta-alan kaavaa (perustan summa kerrottuna korkeudella ja jaettuna 2: lla):

{\ displaystyle T = (ba) {\ frac {f (a) + f (b)} {2}}}

joko : ${\ displaystyle f (x) = \ alpha x}$

{\ displaystyle T = \ alpha (ba) {\ frac {a + b} {2}}.}

Primitiivit

Olkoon $f$ lineaarinen funktio, jonka $f ( x ) = ax määrittää$ . Sitten on olemassa tämän toiminnon primitiivien ääretön määrä; ne kaikki määritellään muotolausekkeilla:

{\ displaystyle g (x) = {\ frac {ax ^ {2}} {2}} + C}

missä $C$ on mikä tahansa todellinen vakio.

Pariteetti

Olkoon $f$ lineaarinen funktio, jonka $f ( x ) = ax määrittää$ . Kaikilla todellisilla $x$ : llä on:

{\ displaystyle f (-x) = - ax = -f (x).}

Joten lineaarinen funktio on aina pariton. On vain yksi lineaarinen funktio, joka on tasaisempi: se on nollafunktio , joka on vakio .

Tyypilliset ominaisuudet

Lineaarinen funktio tarkistaa aina ominaisuuden: Kaikille todellisille ja todellisille , $x$ $\ lambda$ ${\ displaystyle f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}$ Tämä ominaisuus on ominaista lineaariselle funktiolle, toisin sanoen että tämän ominaisuuden todentava numeerinen funktio on lineaarinen funktio, sen suhteellisuuskerroin $a$ on $f (1)$ .

Lineaarinen funktio tarkistaa aina ominaisuuden: Kaikille todellisille ja todellisille , $x$ $y$ ${\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$ Tämä ominaisuus, jota on tutkittu Cauchyn funktionaalisessa yhtälössä , on ominaista lineaariselle funktiolle niin kauan kuin se on täydennetty säännöllisyysedellytyksellä (jatkuva toiminto pisteessä tai lisääntynyt funktio nollasta poikkeavan pituuden tai monotonisen funktion välissä nollasta poikkeava pituus ...).

Katso myös