Cauchyn kaava peräkkäiseen integraatioon
Cauchyn kaava peräkkäisten integraatio , totesi Augustin Louis Cauchy , kondensoituu n integroinnin yhteen. Se on yleistynyt murtolukuanalyysissä .
Skalaarikotelo
Olkoon f olla jatkuva todellinen toiminto . Mukaan ensimmäinen perus- lause analyysi , n : nnen Integraalifunktio of f on:
x↦∫klox∫kloσ1⋯∫kloσei-1f(σei)dσei⋯dσ2dσ1{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {n-1}} f (\ sigma _ {n}) \, \ mathrm {d} \ sigma _ {n} \ cdots \, \ mathrm {d} \ sigma _ {2} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} }![{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {n-1}} f (\ sigma _ {n}) \, \ mathrm {d} \ sigma _ {n} \ cdots \, \ mathrm {d} \ sigma _ {2} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5cd19b7544ab12ad9790aeefa67249098f5749)
.
Sen tiivistetty versio yhtenä kokonaisuutena on:
f[ei](x)=1(ei-1)!∫klox(x-y)ei-1f(y)dy{\ displaystyle f ^ {[n]} (x) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ vasen (xy \ oikea) ^ {n- 1} f (y) \, \ mathrm {d} y}![{\ displaystyle f ^ {[n]} (x) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ vasen (xy \ oikea) ^ {n- 1} f (y) \, \ mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70db66bbd4c92ecb2918ceee5a282e7524fba0c5)
.
Todiste voidaan antaa toistumisella . Alustamista ( n = 1) varten ei ole mitään todistettavaa, koska yllä olevat kaksi lauseketta yhtyvät.
Jotkut laskelmat ( Beardon 2000 ) johtavat meidät:
ddxf[ei](x)=f[ei-1](x){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f ^ {[n]} (x) = f ^ {[n-1]} (x)}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f ^ {[n]} (x) = f ^ {[n-1]} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43cdadef6a6ccc941ab545a1480edaa61cce24b)
.
Lisäksi f [ n ] katoaa a: sta . Induktio hypoteesi, se on siis : s primitiivinen ja f alun perin määritetty.
Viitteet
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">