Theil-indeksi

Luonto	Tuloerojen mittaaminen ( in )

Theil indeksi on indeksi mitta epätasa perustuvat Shannonin entropia .

Indeksi 0 osoittaa absoluuttisen tasa-arvon.
Indeksi 0,5 osoittaa eriarvoisuutta, jota edustaa yhteiskunta, jossa 74 prosentilla yksilöistä on 26 prosenttia resursseista ja 26 prosentilla yksilöistä 74 prosenttia resursseista.
Indeksi 1 osoittaa eriarvoisuutta, jota edustaa yhteiskunta, jossa 82,4 prosentilla yksilöistä on 17,6 prosenttia resursseista ja 17,6 prosentilla yksilöistä 82,4 prosenttia resursseista.

Kaava

Kaava Theil-indeksille : $\ displaystyle {} T.$

$EI$ : Kvantiilien lukumäärä
$E_i$ : kvantiilin i resurssit ,
$Omistaa}$ : tehokas kvantiilissa i ,
$E _ {{\ mathrm {yhteensä}}}$ : resurssit kaikille yhteiskunnan kvantiileille (kansakunnalle jne.),
$A _ {{\ mathrm {total}}}$ : yrityksen (kansakunnan jne.) työvoima.

$T_ {T} = \ ln {{\ frac {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}} {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}}}} - {\ frac {\ summa _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} _ {i}} \ ln {{\ frac {{A} _ {i}} {{E} _ {i}}}}} {{ E} _ {{\ mathrm {yhteensä}}}}}$

Jos ja : ${{E} '_ {i}} = E_ {i} / E _ {{\ text {total}}}$ ${{A} '_ {i}} = A_ {i} / A _ {{\ text {total}}}$
$\ color {Harmaa} T_ {T} = 0 - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{A} '_ {i}} {{E}' _ {i}}}}} {1}} = \ summa _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{E} '_ {i}} {{A}' _ {i}}}}$

Se on eriarvoisuutta suhteessa resursseihin. Vasen osa on yhteiskunnan suurin entropia (myös resursseihin viitaten) ilman jakautuvaa eriarvoisuutta. Oikealla on yhteiskunnan todellinen entropia, jonka aiheuttaa kyseisen yhteiskunnan jakautuva eriarvoisuus. Viitaten informaatioteoriaan, tällainen ero on redundanssi .

Eriarvoisuus väestön suhteen:

$T_ {L} = \ ln {{\ frac {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}} {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}}}} - {\ frac {\ summa _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} _ {i}} \ ln {{\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}}}} {{ A} _ {{\ mathrm {total}}}}}$

Jos ja : ${{E} '_ {i}} = E_ {i} / E _ {{\ text {total}}}$ ${{A} '_ {i}} = A_ {i} / A _ {{\ text {total}}}$
$\ color {Harmaa} T_ {L} = 0 - {\ frac {\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{E} '_ {i}} {{A}' _ {i}}}}} {1}} = \ summa _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} '_ {i}} \ ln {{\ frac {{A} '_ {i}} {{E}' _ {i}}}}$

Theil-indeksien normalisointi on $\ displaystyle 1-e ^ {{- T}}$

Theil-indeksi ja Hoover-indeksi

Näiden kahden kaavan keskiarvo on symmetrinen indeksi:

$T_ {s} = {{\ frac {1} {2}}} \ summa _ {{i = 1}} ^ {N} \ väri {Sininen} \ ln {\ frac {E_ {i}} {A_ { i}}} \ vasen (\ color {Musta} {\ frac {{E} _ {i}} {E _ {{\ text {total}}}}} - {\ frac {A_ {i}} {A_ {{\ text {total}}}}}} väri {sininen} \ oikea) \ väri {musta}$

Keskiarvo on erittäin sopiva verrattuna yksinkertaisimpaan eriarvoisuusindeksiin: Hoover-indeksiin . Ero ilmaistaan sinisellä värillä.

$H = {\ frac {1} {2}} \ summa _ {{i = 1}} ^ {N} \ väri {Sininen} \ vasen | \ väri {Musta} {\ frac {E_ {i}} {E_ {{\ text {total}}}}} - {\ frac {A_ {i}} {A _ {{\ text {total}}}}}} väri {sininen} \ oikea | \ väri {musta}$

Hajoaminen

Jos Theil-alaindeksit tunnetaan alaryhmille : $k$ $T_ {T} = \ ln {{\ frac {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}} {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}}}} - {\ frac {\ summa _ {{i = 1}} ^ {N} {{E} _ {i}} \ vasemmalle (\ ln {{\ frac {{A} _ {i}} {{E} _ {i}}}} -T _ {{T_ {i}}} \ oikea)} {{E} _ {{\ mathrm {yhteensä}}}}}$

$T_ {L} = \ ln {{\ frac {{E} _ {{\ mathrm {total}}}}} {{A} _ {{\ mathrm {total}}}}}}} - {\ frac {\ summa _ {{i = 1}} ^ {N} {{A} _ {i}} \ vasemmalle (\ ln {{\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}}} -T _ {{L_ {i}}} \ oikea)} {{A} _ {{\ mathrm {yhteensä}}}}}$

$T_ {s} = {{\ frac {1} {2}}} \ summa _ {{i = 1}} ^ {N} \ ln {\ frac {E_ {i}} {A_ {i}}} \ vasen ({\ frac {{E} _ {i}} {E _ {{\ text {total}}}}} - {\ frac {A_ {i}} {A _ {{\ text {total}}} }} \ oikea) + {\ frac {{E} _ {i}} {E _ {{\ text {total}}}}}} T _ {{T_ {i}}} + {\ frac {{A} _ {i}} {A _ {{\ text {total}}}}} T _ {{L_ {i}}}$

Wellness-toiminto

On mahdollista laskea Amartya Senin ja James A.Fosterin (1996) ehdottama hyvinvointitoiminto tällä kaavalla:

${\ displaystyle {W _ {\ text {Theil-L}} = {\ yliviiva {tulo}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- T_ {L}} = {\ frac {E _ {\ mathrm {yhteensä }}} {A _ {\ mathrm {yhteensä}}}} {\ text {}} \ mathrm {e} ^ {- T_ {L}} = \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} {{A} _ {i}} \ vasemmalle (\ ln {\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}} - T_ {L_ {i} } \ oikea)} {{A} _ {\ mathrm {total}}}} = = prod _ {i = 1} ^ {N} \ vasen ({\ frac {{E} _ {i}} {{A } _ {i}}} \ \ mathrm {e} ^ {- T_ {L_ {i}}} \ oikea) ^ {\ frac {{A} _ {i}} {{A} _ {\ mathrm {yhteensä }}}}}}$

Epätasa-arvoisissa yhteiskunnissa olevan henkilön keskimääräiset tulot eivät kuvaa suurimman osan kansalaisten tuloja . Hyvinvointitoiminto voi korvata mediaanin . Hyvinvointitoiminnon arvo on aina pienempi kuin keskimääräinen tulo. $E_i$

Jos otamme € kokonaistuloista tämän yrityksen, tämä € tulee olemaan osa tuloista on suurempi kuin keskimääräinen tulotaso: $E_i$

${\ displaystyle {W _ {\ text {Theil-T}} ^ {- 1} = {\ yliviiva {tulot}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {T_ {T}} = {\ frac {E _ { \ mathrm {total}}} {A _ {\ mathrm {total}}}}} {\ text {}} \ mathrm {e} ^ {T_ {T}} = \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ summa _ {i = 1} ^ {N} {{E} _ {i}} \ vasemmalle (\ ln {\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}} + T_ {T_ {i}} \ oikea)} {{E} _ {\ mathrm {total}}}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ vasemmalle ({\ frac {{E} _ {i}} {{A} _ {i}}} {\ text {}} \ mathrm {e} ^ {T_ {T_ {i}}} \ oikea) ^ {\ frac {{E} _ {i}} {{E } _ {\ mathrm {yhteensä}}}}}}$

Viitteet

Esimerkki (katso myös: Pareto-periaate ): 82,4%: lla ihmisistä on 17,6% resursseista ja 17,6%: lla 82,4% kaikista resursseista: http: //www.poorcity.richcity .org / calculator /? Quantiles = 82.4, 17,6% 7C17,6,82,4
E ja A ovat sellaisina Lionnel Maugisin käyttämät: matalan matemaattisen ohjelmoinnin eriarvoisuustoimenpiteet lentoliikenteen virtauksen hallinnan ongelmalle reittikapasiteetilla (IFORS 96), 1996 ( CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, Ranska)
ISO / IEC DIS 2382-16: 1996
Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: Taloudellisen eriarvoisuuden kehitys EU-maissa 1990-luvulla , 2005
Elhanan Helpman: Taloudellisen kasvun mysteeri , 2004, ( ISBN 0-674-01572-X ) (Nämä kaksi kaavaa sivulle 150 ja ovat samanlaisia kuin kaavat sivulla 150.) $T_ {T}$ $T_ {L}$
James E.Foster und Amartya Sen, 1996, Taloudellisesta eriarvoisuudesta , laajennettu painos liitteineen, sivu 129, ( ISBN 0-19-828193-5 )

Katso myös

Kirjallisuus

Amiel, Y.: Ajattelemme eriarvoisuutta , Cambridge 1999.
Cowell, Frank A. (2002, 2003): Theil, epätasa-arvo ja tulonjaon rakenne , Lontoon kauppakorkeakoulu ( Kolm- indeksien luokassa )
Sen, Amartya : Taloudellisesta eriarvoisuudesta (Laajennettu painos, merkittävä liite "Taloudellisesta eriarvoisuudesta" neljännesvuosisadan jälkeen James Fosterin kanssa) , Oxford 1997, ( ISBN 0-19-828193-5 )
Tsui, Kai-Yuen (1995): Suhteellisen ja absoluuttisen eriarvoisuuden indeksien moniulotteiset yleistykset: Atkinson - Kolm - Sen lähestymistapa . Journal of Economic Theory 67, 251-265.

Ulkoiset linkit

Käytettävissä olevien tulojen jakauma (jakelu kotitalouksien tuloluokittain, Lähde: Insee. Tietojen vuosi: 2004, verotulotutkimus) ja epätasa-arvo