Bilinaarinen interpolaatio

Bilineaarinen interpolaatio on menetelmä interpoloimalla funktioiden kaksi muuttujaa on säännöllisen ruudukon (in) . Se laskee funktion arvon missä tahansa pisteessä kahden lähimmän naapurinsa perusteella kumpaankin suuntaan. Se on menetelmä, jota käytetään laajasti digitaalisen kuvantamisen ja kuvan koon muuttaminen , mikä antaa paremman tuloksen kuin naapuriin interpolointi pysyessä kohtuullisen monimutkaisuutta.

Yleinen käytäntö

Toisin kuin nimestään käy ilmi, interpolointifunktio ei ole lineaarinen vaan neliöllinen muoto, joka voidaan laittaa muotoon:

{\ displaystyle f (x, y) = ax + by + cxy + d.}

Arvo $f ( x , y )$ on interpoloitu arvo koordinaattien $( x , y )$ pisteessä , ja $a , b , c , d$ ovat vakioita, jotka määritetään neljältä naapurilta $( x 1 , y 1 ), ( x 1 , y 2 ), ( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )$ pisteestä $( x , y ),$ jonka arvoa etsimme. Kun tiedämme näiden pisteiden arvot, voimme kirjoittaa 4 yhtälöjärjestelmän 4 tuntemattomalla :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f (x_ {1}, y_ {1}) = ax_ {1} + by_ {1} + cx_ {1} y_ {1} + d \\ f ( x_ {2}, y_ {1}) = ax_ {2} + by_ {1} + cx_ {2} y_ {1} + d \\ f (x_ {1}, y_ {2}) = ax_ {1} + by_ {2} + cx_ {1} y_ {2} + d \\ f (x_ {2}, y_ {2}) = ax_ {2} + by_ {2} + cx_ {2} y_ {2} + d \ end {matrix}} \ right.}

Bilinaarinen interpolointi voidaan tulkita kahden lineaarisen interpolaation peräkkäisenä , yksi kumpaankin suuntaan.

Järjestelmäratkaisu

Muuttujan muutos yksinkertaistaa huomattavasti ratkaistavaa järjestelmää. Harkitse seuraavia uusia muuttujia:

{\ displaystyle dx = x-x_ {1}, \ quad dy = y-y_ {1},}

missä $( x 1 , y 1 )$ ovat vasemman alakulman koordinaatit. Uusi bilinaarinen interpolaatiofunktio kirjoitetaan sitten:

{\ displaystyle f (dx, dy) = a \, dx + b \, dy + c \, dx \, dy + d.}

Esittämällä merkinnät ja käännetystä matriisista tulee: ${\ displaystyle \ Delta x = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta y = y_ {2} -y_ {1}}$

{\ displaystyle A = {\ aloita {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\\ Delta x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \ Delta y & 0 & 1 \\\ Delta x & \ Delta y & \ Delta x \ Delta y & 1 \\\ end {pmatrix}}}

Seuraavien merkintöjen käyttöönotto on jäljellä:

{\ displaystyle \ Delta f_ {x} = f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {1}), \ quad \ Delta f_ {y} = f (x_ {1 }, y_ {2}) - f (x_ {1}, y_ {1}),}

{\ displaystyle \ Delta f_ {xy} = f (x_ {1}, y_ {1}) + f (x_ {2}, y_ {2}) - f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {2}).}

Tällöin ongelman bilineaarisen interpolointitoiminnon ratkaisu tulee suoraan:

{\ displaystyle f (x, y) = \ Delta f_ {x} {\ frac {dx} {\ Delta x}} + \ Delta f_ {y} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + \ Delta f_ {xy} {\ frac {dx} {\ Delta x}} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + f (x_ {1}, y_ {1}).}

Viitteet

(in) Rafael C. Gonzalez ja Richard E. Woods, Digital Image Processing , Prentice Hall,2008, ”Kuvanäytteenotto ja kvantisointi”, s. 66.

Aiheeseen liittyvät artikkelit