Jordanian lemma
On matematiikka , Jordan lemman on lemman käytetään pääasiassa laskenta integraaleja , että residylause . Se kantaa keksijänsä, matemaatikon Camille Jordanin nimeä . Jordanian lemmoja on kolme, ja ilmaisu "Jordanian lemma" viittaa yhteen seuraavista kolmesta lauseesta.
Ensimmäinen lausunto
Jordan lemma I - Antaa olla holomorfinen funktio verkkotunnuksessa . Jos taipumus on 0, kun se pyrkii äärettömään, niin integraali, joka on otettu pitkin alueen ympyrän C (0, r) osaa, pyrkii 0: een, kun säde r on ääretön:
f{\ displaystyle f}
D.⊂VS{\ displaystyle D \ osajoukko \ mathbb {C}}
|zf(z)|{\ displaystyle | zf (z) |}
|z|{\ displaystyle | z |}
D.{\ displaystyle D}![D.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
limr→∞∮VS(0,r)∩D.f(z)dz=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) dz = 0}![\ lim _ {{r \ to \ infty}} \ anint _ {{C (0, r) \ cap D}} f (z) dz = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0162eb50b30542ba78d92b4641c2b02715aa34f8)
.
Esittely
Meillä on
∮VS(0,r)∩D.f(z)dz=∮VS(0,r)∩D.zf(z)dzz.{\ displaystyle \ vo _ {C (0, r) \ cap D} f (z) dz = \ ken _ {C (0, r) \ cap D} zf (z) {\ frac {dz} {z} }.}
F: n hypoteesin mukaan taipumus on 0, kun ympyrän säde pyrkii äärettömään. Joten poseeraamalla|zf(z)|{\ displaystyle | zf (z) |}
z=reiθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}
|∮VS(0,r)∩D.zf(z)dzz|⩽∫02π|zf(z)|rdθr=2πenintz∈VS(0,r)|zf(z)|→0{\ displaystyle \ left | \ voide _ {C (0, r) \ cap D} zf (z) {\ frac {dz} {z}} \ oikea | \ leqslant \ int _ {0} ^ {2 \ pi } | zf (z) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {z \ C: ssä (0, r)} | zf (z) | \ to 0}![\ vasen | \ voit _ {{C (0, r) \ korkki D}} zf (z) {\ frac {dz} {z}} \ oikea | \ leqslant \ int _ {0} ^ {{2 \ pi }} | zf (z) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {{z \ C: ssä (0, r)}} | zf (z) | \ to 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3db5bb482c7de2e7e399d64b24e37f1dbc4756)
.
Toinen lausuma
Puolipyörässä on tietty versio Jordanian lemmasta, jonka voidaan aina olettaa olevan ylempi puoliympyrä.
Jordan lemma II - Olkoon f meromorfinen funktio D-alueella kokonaan suljetussa ylemmässä puolitasossa, jatkuva todellisella akselilla ja muodossa,
jossa a on ehdottomasti positiivinen todellinen.
f(z)=eiklozg(z){\ displaystyle f (z) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} az} g (z)}![{\ displaystyle f (z) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} az} g (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9d4ee93c5d2ddbbf1d5ff15f5fbb2da6fa8259)
Jos useampi yleensä 0, kun r on ääretön, niin
enintθ∈[0,π]|g(reiθ)|{\ displaystyle \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ vasen | g (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}) \ oikea |}![{\ displaystyle \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ vasen | g (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}) \ oikea |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5baf6b9f8460b17132c04d546c5e87645a5ce2)
limr→∞∮VS(0,r)∩D.f(z)dz=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5573b75ef4faee505f0c5b0cf2a3a5085c09a66f)
.
Esittely
Asetamme ja meillä on kutsumalla ja harkittujen kulmien ääriarvot ,
z=reiθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}
θ1(r){\ displaystyle \ theta _ {1} (r)}
θ2(r){\ displaystyle \ theta _ {2} (r)}
VS(0,r)∩D.{\ displaystyle C (0, r) \ korkki D}![C (0, r) \ korkki D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3ebc25d91981894cd11f6db9c196add771fb7f)
|∫VS(0,r)∩D.f(z)dz|⩽∫VS(0,r)∩D.|f(z)|dz⩽∫θ1(r)θ2(r)|g(reiθ)|eklor(icosθ-syntiθ)reiθ|dθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {C (0, r) \ cap D} | f (z ) | \, dz \ leqslant \ int _ {\ theta _ {1} (r)} ^ {\ theta _ {2} (r)} | g (re ^ {i \ theta}) | e ^ {ar ( i \ cos \ theta - \ sin \ theta)} re ^ {i \ theta} | \, d \ theta}![\ vasen | \ int _ {{C (0, r) \ cap D}} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {{C (0, r) \ cap D}} | f ( z) | \, dz \ leqslant \ int _ {{\ theta _ {1} (r)}} ^ {{\ theta _ {2} (r)}} | g (re ^ {{i \ theta}} ) | e ^ {{ar (i \ cos \ theta - \ sin \ theta)}} re ^ {{i \ theta}} | \, d \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc6e0c358f573c706c93e44effb9cf69a5a3327)
.
Siksi
|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽∫0π|g(reiθ)|e-klorsyntiθ rdθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | g (re ^ {i \ theta}) \ right | e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta}![\ vasen | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ oikea | \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ pi} \ vasen | g (re ^ {{i \ theta}}) \ right | e ^ {{- ar \ sin \ theta}} \ r \, d \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e212e569d4b484cd9b4b9b0417cf5be00692591)
.
Joko
saamme lisäyksen
M(r)=enintθ∈[0,π]|g(reiθ)|{\ displaystyle M (r) = \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ vasen | g (re ^ {i \ theta}) \ oikea |}![M (r) = \ max _ {{\ theta \ in [0, \ pi]}} \ vasen | g (re ^ {{i \ theta}}) \ oikea |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86e4744835eaeb2e24649c708f4f135ace28aa0)
|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽M(r)∫0πe-klorsyntiθ rdθ=2M(r)∫0π/2e-klorsyntiθ rdθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta = 2M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta}![\ vasen | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ oikea | \ leqslant M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {{- ar \ sin \ theta}} \ r \, d \ theta = 2M (r) \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} e ^ {{- ar \ sin \ theta}} \ r \, d \ teeta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1271bbde2dd4ce4365ea3371d0c3712eac7ce4)
.
Pienennämme siniä sointujen eriarvoisuudella:
syntiθ⩾2θπ,0⩽θ⩽π2{\ displaystyle \ sin \ theta \ geqslant {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}, \ quad 0 \ leqslant \ theta \ leqslant {\ frac {\ pi} {2}}}
ja saamme
|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽2M(r)∫0π/2e-2klorθ/π rdθ=πklo(1-e-klor)M(r){\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant 2M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} e ^ {- 2ar \ theta / \ pi} \ r \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {a}} (1-e ^ {- ar}) M (r)}![\ vasen | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ oikea | \ leqslant 2M (r) \ int _ {0} ^ {{\ pi / 2}} e ^ { {-2ar \ theta / \ pi}} \ r \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {a}} (1-e ^ {{{- ar}}) M (r)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebcb23efc9b3709abc0c5d740d78ce917c16698)
.
Siksi
limr→∞|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽πklolimr→∞M(r)=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ vasen | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant {\ frac {\ pi} {a}} \ lim _ {r \ to \ infty} M (r) = 0}![\ lim _ {{r \ to \ infty}} \ vasen | \ int _ {{C (0, r)}} f (z) \, dz \ oikea | \ leqslant {\ frac {\ pi} {a} } \ lim _ {{r \ to \ infty}} M (r) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b685ad3875922361ddcbca66bdcf8461c81f3877)
.
Merkintä
Samanlainen epätasa voidaan saada alemman puoli-levy samoissa olosuhteissa paitsi <0 .
Käyttämällä samalla tavalla sointunepon eriarvoisuutta kosinille saadaan myös tällä kertaa voimassa oleva ”Jordan-lemma” pystysuorassa puolilevyssä.
Tämä versio on erityisen hyödyllinen laskettaessa Fourier- tai Laplace-muunnoksia.
Kolmas lausuma
Tarkkaan ottaen on oikeastaan toinen lemman (Lemma I), joka on samanlainen ja on raportoitu hyvin kuluessa 1 s Division 1878-1879:
Jordan III Lemma - Lemma I: Olkoon f (a) sellainen funktio, että (za) f (z) pyrkii nollaan, kun z yleensä a.
Integraali
∫VSf(z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}![\ int _ {C} f (z) dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027c835f196f75213b4337f813e0254c35c87d8)
otettuna pitkin ympyrää, jonka ympärillä on kuvattu äärettömän pieni säde, pyrkii nollaan. Itse asiassa tämä integraali on kirjoitettu
∫VSf(z)(z-klo)dzz-klo.{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}}.}
Se on pienempi kuin M, joka pyrkii kohti nollaa; sen vuoksi se on nolla.
M2πrr<2πM.{\ displaystyle M {\ frac {2 \ pi r} {r}} <2 \ pi M.}![M {\ frac {2 \ pi r} {r}} <2 \ pi M.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398062281e4244b450b38e5a6a197c55e8f416d9)
Esittely
Kysymällä z=klo+reiθ{\ displaystyle z = a + re ^ {i \ theta}}
|∮VS(klo,r)f(z)(z-klo)dzz-klo|⩽∫02π|f(z)(z-klo)|rdθr=2πenintz∈VS(0,r)|f(z)(z-klo)|→0{\ displaystyle \ left | \ anint _ {C (a, r)} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {2 \ pi } | f (z) (za) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {z \ C: ssä (0, r)} | f (z) (za) | \ kohteeseen 0}![\ vasen | \ voit _ {{C (a, r)}} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}} \ oikea | \ leqslant \ int _ {0} ^ {{2 \ pi }} | f (z) (za) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {{z \ C: ssä (0, r)}} | f (z) (za ) | \ - 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665516dc2e376b6c3b1b5f5161d23083adcc37db)
.
Historia
Lemma Jordan ilmaistaan hyvin aikana analyysin ammattikorkeakoulun Camille Jordan ( 1 st jako 1882-1883, sivu 57):
"Lemma II: Olkoon f sellainen funktio, että zf (z) lähestyy nollaa, kun z kasvaa loputtomasti; integraali otetaan pitkin ympyrää, jonka säde pyrkii nollaan. Meillä on
∫VSf(z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}![\ int _ {C} f (z) dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027c835f196f75213b4337f813e0254c35c87d8)
∫VSf(z)dz=∫VSzf(z)dzz<M2πRR=2πM{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {C} zf (z) {\ frac {dz} {z}} <M {\ frac {2 \ pi R} {R}} = 2 \ pi M}![{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {C} zf (z) {\ frac {dz} {z}} <M {\ frac {2 \ pi R} {R}} = 2 \ pi M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c671b791350920a64f740a7761118a188103586)
.
M: llä taipumus olla 0, on myös tämä raja. "
∫VSf(z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}![\ int _ {C} f (z) dz](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027c835f196f75213b4337f813e0254c35c87d8)
Mutta tämä lemma ei ole aikana 1 st jako 1878-1879. Vuonna 3 rd painos tilavuus 2 (1913) tehdyn analyysin tietenkin École polytechnique.Seudun on Gauthier-Villars, "Jordan lemman" korvataan koko joukko pieniä lemmas samanlaisia (osa 2, luku VI: monimutkainen integraalit, s. 306-311).
Kirjoittajien mukaan lemmaan viitataan yhdessä tai toisessa muodossa, toisinaan edes nimeä Jordan.
Näin se näkyy Favardin ammattikorkeakoulun analyysikurssilla.
"Olkoon f (z) funktio, joka on määritelty haluamallemme säteen R koko ympyrän koko tai osalle C, joka on keskitetty kiinteään pisteeseen a; /
|∫VSf(z)dz|⩽2πRenint|(z-klo)f(z)|,{\ displaystyle \ left | \ int _ {C} f (z) dz \ right | \ leqslant 2 \ pi R \ max | (za) f (z) |,}
päätellään, että kun | (za) f (z) | tasaisesti taipuu nollaan 1 / R: n kanssa integraali pyrkii nollaan.
Se on sama, kun joudumme integroimaan f (z) pitkin haluamamme pienen säteen r ympyrää tai sen osaa keskelle a, ja että | (za) f (z) | pyrkii kohti nollaa tällä ympyrällä, jota pitkin integroimme f (z). "
mainitsematta Jordanian nimeä.
Katso myös
Huomautuksia ja viitteitä
-
Favard, ammattikorkeakoulun analyysikurssi , Gauthier-Villars, T2, 1960, s. 252-253.
- Camille Jordan, Analysis Course ammattikorkeakoulu , 1 kpl Division, vuonna 1882-1883, moniste.
- Camille Jordan, analyysikurssi École-ammattikorkeakoulussa , Gauthier-Villars, Pariisi, 3 osaa, 1909-1913-1915
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">