Monotoninen luokan lemma

Monotoninen luokka Lemman vuoksi Wacław Sierpiński ja suosituksi Dynkin , mahdollistaa osoittaa, taloudellisesti , tasa kahden todennäköisyyden lakeja : juuri kahtena lineaarikuvaus kausiksi pohjalta osuvat koko avaruuden yli kaksi todennäköisyys toimenpiteitä, jotka yhtyvät on π-järjestelmä , samaan aikaan on heimo syntyy tämän π-järjestelmä.

Joissakin teoksissa yksitoikkoinen luokan lemma esiintyy nimellä "Dynkinin pi-lambda-lause".

Monotoninen luokka ja π-järjestelmä

Määritelmä -

Luokka osien joukko Ω kutsutaan π-järjestelmä , jos tämä luokka on stabiili rajallinen risteys: $\ mathcal {C}$

\ {A \ in {\ mathcal {C}} {\ text {et}} B \ in {\ mathcal {C}} \} \ Rightarrow \ {A \ cap B \ in {\ mathcal {C}} \} .

Luokka osien joukko Ω kutsutaan λ-järjestelmän tai monotoninen luokka , jos tämä luokka sisältää Ω ja on vakaa erotuksen, ja lisäämällä union: ${\ mathcal {M}}$

{\ aloita {tasattu} \ {A \ {{mathcal {M}} {\ text {ja}} B \ {{mathcal {M}} {\ text {ja}} A \ osajoukko B \} \ quad & \ Rightarrow \ quad \ {B \ setminus A \ in {\ mathcal {M}} \}, \\\ {\ kaikki n \ geq 0, \ quad \ {A _ {{n}} \ in {\ mathcal M} {\ text {et}} _ {{n}} \ osajoukko A _ {{n + 1}} \} \} \ quad & \ Rightarrow \ quad \ left \ {\ bigcup _ {{n \ geq 0}} _ {{n}} \ \ muodossa {\ mathcal M} \ oikea \}. \ Loppu {tasattu}}

Esimerkkejä π-järjestelmistä:

aikavälien luokka: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1} = \ {] - \ infty, \, x] \ | \ x \ sisään \ mathbb {R} \}.}$
singletonien luokka: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {2} = \ {\ {x \} \ | \ x \ in \ Omega \} \ \ kuppi \ \ \ \ tyhjentys \}.}$
kivilaattojen luokka: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {3} = \ {A \ kertaa B \ | \ A, B \ muodossa {\ mathcal {P}} (\ Omega) \}.}$

Esimerkki yksitoikkoisesta luokasta:

Antaa olla kaksi todennäköisyysmittaa ja määritelty luokassa Luokka on monotoninen luokka . $\ mathbb {P}$ $\ mathbb {Q}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {B}}).}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ {A \ muodossa {\ mathcal {B}} \ | \ \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {Q} (A) \}}$

Lausunto ja todiste monotonisesta luokan lemmasta

Monotonista luokka Lemma - pienin monotoninen luokka sisältää π-järjestelmä on heimo syntyy mukaan $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}.}$

Esittely

Merkitään joukko monotonisia luokkia , kuten Katsotaanpa ensin, että elementti on pienempi (ts. Sisältyy) kaikkiin muihin (tämä elementti on myös ainutlaatuinen). Todellakin : ${\ displaystyle \ mathbb {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ osajoukko {\ mathcal {M}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M}}$

${\ displaystyle \ mathbb {M}}$ ei ole tyhjä, koska se sisältää ryhmän kaikki osat ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Omega),}$ ${\ displaystyle \ Omega \;}$
siten kaikkien elementtien leikkauspiste on hyvin määritelty ja ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ \ osajoukko \ {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}},}$
toisaalta minkä tahansa monotonisten luokkien perheen risteys on edelleen yksitoikkoinen luokka, joten se on yksitoikkoinen luokka ja kuuluu siksi ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M},}$
vihdoin on rakenteeltaan sisällytetty mihin tahansa elementtiin ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M}.}$

Siksi luokka on pienin elementti ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M}.}$

Merkitään heimon tuottaman Kuten kuka tahansa heimo on monotoninen luokka, on monotoninen luokka siksi sisältävien $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}.}$ $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}} \ subset \ sigma ({\ mathcal {C}}).}$

Ylimääräisessä mielenosoituksessa yritämme osoittaa, että se on heimo (mikä johtaa siihen ). Käytämme seuraavaa ehdotusta: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) \ osajoukko {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$

Lausunto - Monotoninen luokka, joka on vakaa risteyksessä, on heimo. Siten mikä tahansa λ-järjestelmä, joka on myös π-järjestelmä, on heimo.

Esittely

Todellakin mikä tahansa monotoninen luokka sisältää ja on stabiili siirtymällä komplementaariseen (koska stabiili eron ja sisällön mukaan ). Jos lisäksi se on vakaa risteyksessä, De Morganin lakien asetettu versio tarkoittaa, että se on vakaa liittoutumalla: ${\ mathcal {M}}$ $\ Omega$ $\ Omega$ ${\ mathcal {M}}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ {A, B \ in {\ mathcal {C}} \} & \ Rightarrow \ {{\ overline {A}}, {\ overline {B}} \ in {\ mathcal {C}} \} \\ & \ Rightarrow \ {{\ overline {A}} \ cap {\ overline {B}} \ in {\ mathcal {C}} \} \\ & \ Rightarrow \ {{\ overline {{\ overline {A}} \ cap {\ overline {B}}}} (= A \ cup B) \ muodossa {\ mathcal {C}} \}. \ end {tasattu}}}

Sillä on selvä induktio, liitto rajallinen perheen elementtejä on edelleen osa Olkoon sitten numeroituva perheen elementtejä totesi olkaamme ${\ mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}},}$ ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 1}.}$

B _ {{n}} = \ bigcup _ {{1 \ leq k \ leq n}} \ A _ {{k}}.

Sitten on kasvava sekvenssi elementtejä näin ollen ${\ displaystyle (B_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}},}$

\ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ B _ {{n}} \ \ sisään \ {\ mathcal {M}},

mutta toisaalta voimme osoittaa sen esimerkiksi kaksinkertaisen osallisuuden avulla

\ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ B _ {{n}} \ = \ \ bigcup _ {{n \ geq 1}} \ A _ {{n}},

Ehdotus on siis osoitettu.

Meidän on vain osoitettava, että se on vakaa risteyksessä, jotta voidaan päätellä, että heimo on. Tämän jonakin of esitämme: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ $AT$ ${\ displaystyle \ Omega,}$

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {A} = \ vasen \ {B \ sisään {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}} \ | \ B \ cap A \ sisään {\ mathcal { M}} _ {\ mathcal {C}} \ oikea \}.}

On helppo osoittaa toisaalta, että monotonisen luokan kaksi viimeistä ominaisuutta täyttävät, koska ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {A}}$

(B _ {{1}} \ korkki A) \ taaksepäin viiva (B _ {{2}} \ korkki A) \ = \ (B _ {{1}} \ taaksepäiviiva B _ {{2}}) \ korkki A \ quad {\ text {et}} \ quad \ bigcup _ {{n \ geq 0}} (B _ {{n}} \ cap A) \ = \ \ left (\ bigcup _ {{n \ geq 0} } B _ {{n}} \ oikea) \ korkki A,

Toisaalta, että jos silloin Siten on monotoninen luokka heti päättely on sitten 2 vaihetta: ${\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle \ Omega \ paikassa {\ mathcal {D}} _ {A}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {A}}$ ${\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}.}$

jos tällöin vakaus leikkaamalla merkitsee sitä, että siis määrittelemättömän elementin stabiilisuus on joko vastaavalla tavalla, ${\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {C}},}$ $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ osajoukko {\ mathcal {D}} _ {A},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}} \ subset {\ mathcal {D}} _ {A},}$ ${\ displaystyle B \ muodossa {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle B \ paikassa {\ mathcal {D}} _ {A},}$ ${\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {D}} _ {B} \;}$
siis jokaisella elementillä meillä on ja lopulta toisin sanoen ${\ displaystyle B \ muodossa {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ osajoukko {\ mathcal {D}} _ {B},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}} \ osajoukko {\ mathcal {D}} _ {B} \:}$

\ kaikki \, B, B ^ {{\ prime}} \, \ in {\ mathcal {M}} _ {{{\ mathcal {C}}}}, \ qquad B \ korkki B ^ {{\ prime} } \ kohteessa {\ mathcal {M}} _ {{{\ mathcal {C}}}}.

Ehdotuksen perusteella on siis heimo. Kuten sisältää päättelemme, että ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) \ osajoukko {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}.}$

Sovellukset

Todennäköisyys mittaa lemmaa

Monotonisella luokan lemmalla on välitön seuraus

Lemma ainutlaatuisuus todennäköisyys toimenpiteet - kaksi todennäköisyys toimenpiteitä ja määriteltävä probabilistisen tila ja samaan aikaan on π-järjestelmä myös osuvat on synnyttämää kenttää : $\ mathbb {P}$ $\ mathbb {Q}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ osajoukko {\ mathcal {A}},}$ $\ mathcal {C}$

\ {\ kaikki A \ muodossa {\ mathcal {C}}, \ quad {\ mathbb {P}} (A) = {\ mathbb {Q}} (A) \} \ quad \ Rightarrow \ quad \ {\ forall A \ sisään \ sigma ({\ mathcal {C}}), \ quad {\ mathbb {P}} (A) = {\ mathbb {Q}} (A) \}.

Esittely

Me poseeraa

{\ mathcal {M}} = \ {A \ muodossa {\ mathcal {A}} \, | \, {\ mathbb {P}} (A) = {\ mathbb {Q}} (A) \}.

Varmistamme helposti, että se on yksitoikkoinen luokka. Kuten sisältää monotoninen luokka sisältää pienimmän sisältävän monotonisen luokan, nimittäin ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}).}$

Lainataan ainutlaatuisuuden lemman monien tärkeiden sovellusten joukosta kenties tärkein:

Seuraus - Tästä seuraa, että:

kaksi todennäköisyysmittaa ja määritelty arvolla on yhtä suuri, jos niillä on sama jakautumistoiminto ; $\ mathbb {P}$ $\ mathbb {Q}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$
kaksi satunnaismuuttujaa ja jopa laki, jos niillä on sama jakautumistoiminto . $X$ $Y$

Esittely

Me poseeraa

{\ mathcal {C}} = \ {] - \ infty, \, x] \, | \, x \ sisään \ mathbb {R} \}.

Luokka on π-järjestelmä, ja koska molemmat todennäköisyysmittaajat ja niillä on sama jakautumistoiminto , ts $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) = {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}).}$ $\ mathbb {P}$ $\ mathbb {Q}$

\ forall x \ sisään \ mathbb {R}, \ qquad {\ mathbb {P}} (] - \ infty, \, x]) = {\ mathbb {Q}} (] - \ infty, \, x]) ,

$\ mathbb {P}$ ja siksi osuvat määritelmän mukaan kahteen todelliseen satunnaismuuttujaan, ja niillä on sama jakautumistoiminto, jos niiden todennäköisyyslait, ja niillä on sama jakautumistoiminto : $\ mathbb {Q}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) = {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}).}$ $X$ ${\ displaystyle Y,}$ $\ mathbb {P} _X$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Y},}$

\ forall A \ muodossa {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}), \ quad {\ mathbb {P}} _ {X} (A) = {\ mathbb {P}} (X \ in A) , \ qquad {\ text {ja}} \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad {\ mathbb {P}} _ {X} (] - \ infty, \, x]) = {\ mathbb { P}} (X \ leq x).

Siten, jos ja jakelutoiminto on sama , ja yhtenevät siten $X$ ${\ displaystyle Y,}$ $\ mathbb {P} _X$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Y}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = \ mathbb {P} _ {Y}.}$

Selitetään lyhyesti miksi : ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) = {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ on määritelmän mukaan heimo, jonka avoimet sukulaiset muodostavat $\ mathbb {R},$
avoin ja on numeroituva avoimien välein, koska jonka tiheys on meillä ${\ mathcal {O}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R},$

{\ mathcal {O}} = \ bigcup _ {{(a, b) \ in E}}] a, b [, \ qquad {\ text {with}} \ qquad E = \ {(a, b) \ ryhmässä \ mathbb {Q} ^ {2} \, | \, a <b, \] a, b [\ osajoukko {\ mathcal {O}} \},

ja avoimet välit kuuluvat (siksi avoimet kuuluvat siis sisältää ), koska $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}),}$ $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

] a, b [=] - \ infty, a] ^ {c} \, \ cap \, \ left (\ bigcup _ {{n \ geq 1}}] - \ infty, b - {\ tfrac 1n}] \ oikea).

Jos haluat sisällyttää vastakkaiseen suuntaan ( sisältää ), huomaa, että heimo, jonka kaikki suljetut tuottavat , kun taas jotkut vain suljetut muodostavat . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ $\ mathbb {R},$ $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ $\ mathbb {R}$

Riippumattomuuskriteerit

Esimerkiksi,

Kriteerit - Olkoon X ja Y kaksi todellista satunnaismuuttujaa, jotka määritetään todennäköisyysavaruudessa ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}$

Jos minkä tahansa reaalilukuparin (x, y) kohdalla,

{\ mathbb {P}} \ vasen (X \ leq x {\ text {et}} Y \ leq y \ right) \ = \ {\ mathbb {P}} \ left (X \ leq x \ right) \ kertaa {\ mathbb {P}} \ vasen (Y \ leq y \ oikea),

sitten X ja Y ovat toisistaan riippumattomia .

Jos Y: llä on arvoja ja jos, mihin tahansa pariin ${\ displaystyle \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle (x, n) \ in \ mathbb {R} \ kertaa \ mathbb {N},}$

{\ mathbb {P}} \ vasen (X \ leq x {\ text {ja}} Y = n \ oikea) \ = \ {\ mathbb {P}} \ vasen (X \ leq x \ right) \ kertaa { \ mathbb {P}} \ vasen (Y = n \ oikea),

sitten X ja Y ovat toisistaan riippumattomia .

Tietenkin, jos X: llä ja Y: llä on arvoja ja jos, mihin tahansa pariin ${\ displaystyle \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle (m, n) \ sisään \ mathbb {N} ^ {2},}$

{\ mathbb {P}} \ vasen (X = m {\ text {et}} Y = n \ oikea) \ = \ {\ mathbb {P}} \ vasen (X = m \ oikea) \ kertaa {\ mathbb {P}} \ vasen (Y = n \ oikea),

sitten X ja Y ovat toisistaan riippumattomia .

Viimeisen kriteerin todistaminen ei vaadi yksitoikkoista luokan lemmaa, mutta tämä lemma on erittäin hyödyllinen kahden ensimmäisen kriteerin todistamiseksi. Toista kriteeriä voidaan käyttää osoittamaan esimerkiksi, että hylkäysmenetelmässä iteraatioiden määrä on riippumaton näiden iteraatioiden lopussa muodostetusta satunnaisesta kohteesta (usein satunnaisluku). Näiden kriteerien todistamiseksi sekä ryhmittelylemman todistamiseksi tarvitaan seuraava määritelmä ja ehdotus.

Määritelmä - Kun todennäköisyys tila äärellinen perhe luokkia sisältyvät on riippumaton perheen , jos ja vain jos ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}),}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {C}} _ {i}) _ {i \ sisään I}}$ ${\ mathcal {A}}$

\ forall (C_ {i}) _ {{i \ in I}} \ in \ prod _ {{i \ in I}} {\ mathcal {C}} _ ​​{i}, \ qquad {\ mathbb { P}} \ vasen (\ bigcap _ {{i \ in I}} C_ {i} \ right) = \ \ prod _ {{i \ in I}} \ {\ mathbb {P}} (C_ {i} ).

Ehdotus - Jos, on todennäköisyys tilaan äärellinen perhe on π-järjestelmien mukana on itsenäinen perhe, sitten perhe on perhe riippumaton heimojen . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}),}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {C}} _ {i}) _ {i \ sisään I}}$ ${\ mathcal {A}}$ ${\ displaystyle \ left (\ sigma ({\ mathcal {C}} _ {i}) \ right) _ {i \ in I}}$

Esittely

Me poseeraa

{\ mathcal {A}} _ {j} = \ vasen \ {A \ sisään {\ mathcal {A}} \, \ vasen | \, \ kaikki (A_ {i}) _ {{i \ in I \ taaksepäin \ {j \}}} \ sisään \ prod _ {{i \ in I \ taaksepäin vinoviiva \ {j \}}} {\ mathcal {C}} _ ​​{{i}}, \ quad {\ mathbb {P }} \ left (A \ cap {\ big (} \ bigcap _ {{i \ in I \ backslash \ {j \}}} A_ {i} {\ big)} \ right) = {\ mathbb {P} } (A) \ kertaa \ prod _ {{i \ I-nuoloviivalla \ {j \}}} {\ mathbb {P}} (A_ {i}) \ right. \ Right \}.

Varmistamme helposti, että se on yksitoikkoinen luokka. Kuten on sisältää monotoninen luokka sisältää pienimmän sisältää monotoninen luokka eli uusi perhe π-järjestelmien saadaan korvaamalla , jonka perheessä on siis edelleen käsittää itsenäisiä π-järjestelmiä. Saman päättelyn voimme peräkkäin korvata jokaisen jonka perheen ilman tätä perhettä menettää omaisuutta itsenäisyyden. Huomaa, että heimo, ja erityisesti kukin, on myös välttämättä π-järjestelmä. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {j},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {j},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {j} ^ {\ prime} = \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {j}).}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {j} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {C}} _ {i}) _ {i \ sisään I}}$ ${\ mathcal {C}} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {i} ^ {\ prime} = \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {i}),}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {C}} _ {i}) _ {i \ in I},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {i} ^ {\ prime},}$

Sovellukset:

Let ja sitten, ensimmäisen kriteerin oletusten mukaisesti, ja ovat itsenäisiä π-järjestelmiä. Ehdotuksen mukaan, ja sitten ovat itsenäisiä heimoja. Mutta ja mitä takaa riippumattomuuden pari (X, Y) . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1} = \ {X ^ {- 1} (] - \ infty, \, x]) \ | \ x \ sisään \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {2} = \ {Y ^ {- 1} (] - \ infty, \, y]) \ | \ y \ sisään \ mathbb {R} \}. }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {1})}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {2})}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {1}) = \ sigma (X)}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {2}) = \ sigma (Y),}$
Let ja Under toisen kriteerin oletuksissa ja ovat itsenäisiä π-järjestelmiä. Lisäksi, ja päätämme kuten aiemmin. Kolmannen kriteerin todistamiseksi käytämme tätä aikaa ja ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {3} = \ {X ^ {- 1} (m) \ | \ m \ sisään \ mathbb {N} \} \ kuppi \ {\ tyhjentys \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {4} = \ {Y ^ {- 1} (n) \ | \ n \ sisään \ mathbb {N} \} \ cup \ {\ tyhjentys \}. }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {4}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {1}) = \ sigma (X)}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}} _ {4}) = \ sigma (Y),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {4}.}$

Katso myös

Huomautuksia ja viitteitä

1928, Yleinen sarja sarjaa perheistä, rahasto. Matematiikka, 12, 206-210 ,
(in) Eugene Dynkin ( toim. ) ( Trans. DE Brown), teoria Markovin prosessit , Dover Publications,31. tammikuuta 2008( 1 st ed. 1961), 224 s. ( ISBN 978-0-486-45305-7 ja 0-486-45305-7 , lue verkossa ) , luku . 1, s. 1-2.
Määritelmän mukaan (katso syntynyt heimo ) on pienin (sisällytettäväksi) heimo, kun taas se sisältää heimon. Siksi on pienempi (sisällytettäväksi) kuin toisin sanoen ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}),}$ $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}.}$ $\ sigma ({\ mathcal {C}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}},}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) \ osajoukko {\ mathcal {M}} _ {\ mathcal {C}}.}$
(en) Olav Kallenberg (en) , Modernin todennäköisyyden perusteet , 2 ja toim. [ yksityiskohdat painoksesta ], todiste kehitetty lauseen 1.1, sivu 2 todistuksesta.
(en) Olav Kallenberg (en) , Modernin todennäköisyyden perusteet , 2 ja toim. [ yksityiskohdat painoksesta ], Lemma 3.6, sivu 50.

Bibliografia

(en) Olav Kallenberg, Modernin todennäköisyyden säätiöt , New York, Springer, coll. "Todennäköisyys ja sen sovellukset",1997( uusintapaino 2001), 638 Sivumäärä ( ISBN 0-387-95313-2 , lue verkossa )

Linkitetyt sivut