Hetkien menetelmä (numeerinen analyysi)

On numeerinen analyysi , menetelmä hetkiä on menetelmä numeerinen resoluutio lineaarisen ongelmia reunaehdot . Menetelmä koostuu ongelman pienentämisestä lineaariseksi järjestelmäksi.

Menetelmän kuvaus

Diskretisointi

Momenttimenetelmän avulla voidaan ratkaista tyypin epähomogeeniset yhtälöt:

{\ displaystyle L (f) = g}

missä $L$ on lineaarinen operaattori , $f$ ja $g$ kaksi funktiota. Yleensä yksi nimet funktio $g$ termi magnetointi tai lähde , ja $f$ termi on kentän tai vastaus , tuntematon joista yksi on tarkoitus määrittää.

Funktio $f$ voidaan hajottaa funktioiden perusteella : ${\ displaystyle (f_ {i})}$

{\ displaystyle f = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} f_ {i}}

missä kertoimet ovat vakioita. Operaattori $L$ on lineaarinen, joten meillä on: $\ alpha _ {n}$

{\ displaystyle \ summa _ {i = 1, n} \ alfa _ {i} L (f_ {i}) = g}

Se määrittelee myös sisäisen tuotteen ominaisuusalueessa (yleensä Hilbert-avaruudessa ) sekä testitoiminnot $w j$ käyttäjän $L alueella$ . Ottamalla edellisen yhtälön pistetulo kullekin $w j$ : lle saadaan:

{\ displaystyle \ summa _ {i = 1, n} \ alpha _ {i} \ langle w_ {j}, L (f_ {i}) \ rangle = \ langle w_ {j}, g \ rangle}

Tämä yhtälösarja voidaan kirjoittaa uudelleen matriisimuodossa:

{\ displaystyle \ mathrm {L} [\ alpha] = [g]}

tai

{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ begin {pmatrix} \ langle w_ {1}, L (f_ {1}) \ rangle & \ langle w_ {1}, L (f_ {2}) \ rangle & \ cdots & \ langle w_ {1}, L (f_ {n}) \ rangle \\\ langle w_ {2}, L (f_ {1}) \ rangle & \ langle w_ {2}, L (f_ {2} ) & \ cdots & \ langle w_ {2}, L (f_ {n}) \ rangle \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ langle w_ {n}, L (f_ {1}) \ rangle & \ langle w_ {n}, L (f_ {2}) \ rangle & \ cdots & \ langle w_ {n}, L (f_ {n}) \ rangle \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle [\ alpha] = \ vasen ({\ begin {matrix} \ alpha _ {1} \\\ alpha _ {2} \\\ vdots \ end {matrix}} \ right), \ [g] = \ left ({\ begin {matrix} \ langle w_ {1}, g \ rangle \\\ langle w_ {2}, g \ rangle \\\ vdots \\\ langle w_ {n}, g \ rangle \ end { matriisi}} \ oikea)}

Jos matriisi $L$ on käänteinen, kertoimet voidaan laskea seuraavasti: $\ alpha_i$

{\ displaystyle [\ alpha] = \ mathrm {L} ^ {- 1} [g]}

Menetelmä hetkiä

Momenttimenetelmä koostuu testitoimintojen joukon valinnasta $w i = x i -1$

Erityistapaus: Galerkine-menetelmä

Kun testitoiminnot $w i$ valitaan siten, että $w i = f i$ , tämä menetelmä tunnetaan nimellä Galerkine-menetelmä , joka on nimetty venäläisen matemaatikon Boris Galerkinen mukaan .

Katso myös

Viitteet

(en) R. Harrington, " Peltolaskennan hetkien menetelmän alkuperä ja kehitys " , IEEE-antennit ja levityslehti ,Kesäkuu 1990.
(en) R. Harrington, ” Matrix Methods for Field Problems ” , Proc. of IEEE , voi. 55, n ° 2Helmikuu 1967.