Gaussin kvadratuurimenetelmät

Numeerisen analyysin matemaattisella kentällä kvadratuurimenetelmät ovat likiarvoja integraalin numeeriselle arvolle . Yleensä yksi integraalin laskennasta korvataan painotetulla summalla, joka otetaan tietyssä integraation kentän pisteessä (lisätietoja on integraalin numeerisessa laskennassa ). Gaussin kvadratuuri menetelmä , nimetty Carl Friedrich Gauss , on tarkka quadrature menetelmä, jolla polynomin aste 2 n - 1 n pistettä otettu domeenin integraatio.

Gaussin kaavoilla on keskeinen rooli äärellisen elementin menetelmässä .

Yleinen käytäntö

Haluamme arvioida numeerisesti integraalin

I = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varpi (x) \, {\ mathrm {d}} x.

Integraation ala $( a , b )$ kattaa useita tapauksia:

rajatut välit: kuten $[ a , b ]$ , $[ a , b [$ jne.
todellinen puoliviiva: $[ a , + \infty [$ , $] -\infty, b ]$ ,
koko todellinen viiva: ℝ.

Menetelmät ovat muodoltaan

I = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varpi (x) \, {\ mathrm d} x \ approx \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} \ omega _ {i } f (x_ {i})

missä on ehdottomasti positiivinen jatkuva painotustoiminto, joka voi varmistaa f: n integroitavuuden . Näitä kutsutaan kvadratuurikertoimiksi (tai painoksi). Pisteitä $x$ $i$ kutsutaan kvadratuurin solmuiksi. $\ varpi: (a, b) \ - {\ mathbb {R}} _ {+}$ $\ omega _ {i}$

Peruslause

Sillä annetaan $n$ :

$N$ solmut $x i$ ovat todellisia, erillisiä, ainutlaatuinen ja ovat juuret ja yksikön polynomin aste $n$ , ortogonaalisen että aliavaruuden asteluku on $n$ -1 varten pistetulo . ${\ displaystyle \ left \ langle h, g \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} h (x) g (x) \ varpi (x) \, \ mathrm {d} x}$
Kaikille $i$ , on yhtä suuri kuin missä $l$ $i$ on Lagrangen interpoloiva polynomi , jonka aste on $n$ -1, ottamalla arvon 1 $x$ $i$ : ssä ja 0 $x$ $k$ : ssä $k: lle, joka$ eroaa $i: stä$ . $\ omega _ {i}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} l_ {i} (x) \ varpi (x) \, \ mathrm {d} x}$
Polynomien osalta, joiden aste on pienempi tai yhtä suuri kuin 2 $n$ -1, välillä ja . ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varpi (x) \, \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ omega _ {i} f (x_ {i})}$

Esittely

Rajoitamme osoittamaan, että jos Gaussin kvadratuurikaava on pätevä, solmut ja painot kiinnitetään ainutlaatuisella tavalla ilmoitettuihin arvoihin. Oletetaan, että meillä on solmuja $x i$ ja painot sellaisia $\ omega _ {i}, i = 1, \ cdots, n$

Kaikille polynomille

P

, joiden aste on pienempi tai yhtä suuri kuin

2 n -1

\ int _ {a} ^ {b} P (x) \ varpi (x) \, {\ mathrm d} x \; = \; \ vasen \ langle P, 1 \ oikea \ rangle \; = \; \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} \ omega _ {i} P (x_ {i})

Joten kysytään . Hän tulee $P_ {n} = \ Pi _ {{i = 1}} ^ {n} (x-x_ {i})$

\ forall 0 \ leq k <n, \; \ left \ langle P_ {n}, x ^ {k} \ right \ rangle = \ left \ langle x ^ {k} P_ {n}, 1 \ right \ rangle = \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} \ omega _ {i} x_ {i} ^ {k} P_ {n} (x_ {i}) = 0

. Siten

P n

on ortogonaalinen mihin tahansa polynomiin, jonka astetta on matalampi kuin sen oma. Siksi se on ainoa asteen polynomien suhteen kohtisuoran suunnan yksikköpolynomi asteen polynomien vektoriavaruudessa . Artikkeli ortogonaaliset polynomit osoittaa, että

P-

n

n

eri juuret, ne ovat

x

i

i = 1, \ cdots, n-1

1, \ cdots, n

Tasa sovellettu $i$ antaa arvot mainostetaan. ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varpi (x) \, \ mathrm {d} x = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ omega _ {i} f (x_ {i})}$ $\ omega _ {i}$

Integraatioalue ja painotustoiminto määräävät Gaussin kvadratuurin tyypin. Seuraava taulukko esittää yhteenvedon yleisimmistä tilanteista.

Tärkeimmät Gaussin kvadratuurikokoonpanot

Integrointialue $( a , b )$	Painotustoiminto $\ varpi (x)$	Ortogonaalisten polynomien perhe
$[-1, 1]$	$1$	Legendre
$] -1, 1 [$	$(1-x) ^ {\ alpha} (1 + x) ^ {\ beta} \, \ \ alfa, \ beta> -1$	Jacobi
$] -1, 1 [$	${\ frac {1} {{\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$	Tšebyshev (ensimmäinen tyyppi)
$] -1, 1 [$	${\ sqrt {1-x ^ {2}}}$	Chebyshev (toinen tyyppi)
ℝ +	${\ mathrm {e}} ^ {{- x}}$	Sota
ℝ	${\ mathrm {e}} ^ {{- x ^ {2}}}$	Erakko

Kun valittu kvadratuurityyppi, kirjoitetaan kaava, jossa on n pistettä:

I (f) = \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} \ omega _ {i} f (x_ {i}).

Määrittelemme virhe . Tarkkuus kvadratuuri kaava on korkein aste perheen polynomien peruuttaa E ( f ). Meillä on seuraava tulos: n- pistekaava antaa tarkkuuden 2 n –1. $E (f) = | II (f) |$

Erikoistapaus suljettua aikaa

Integraatioalue $[ a , b ]$ voidaan muuttaa ( muuttujan muutoksella ) arvoon $[-1, 1]$ ennen Gaussin kvadratuurimenetelmien soveltamista. Muutos tapahtuu seuraavasti:

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {ba} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} f \ vasen ({\ frac {ba} {2}} x + {\ frac {a + b} {2}} \ oikea) \, \ mathrm {d} x.}

Integraalin arvon likiarvoksi tulee:

{\ displaystyle {\ frac {ba} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ omega _ {i} f \ vasen ({\ frac {ba} {2}} x_ {i} + {\ frac {a + b} {2}} \ oikea) ~.}

missä $x i$ on tässä suhteessa väliin $[-1, 1]$ .

Yleiset menetelmät

Gauss-Legendren menetelmä

Kaikkein klassisimmissa integraatio-ongelmissa käytetään Gauss- Legendre- menetelmää . Kyse on funktion f integroimisesta segmenttiin $[-1, 1]$ . N solmut ovat juuret n- th Legendren polynomi , $P n ( x )$ , ja kertoimet annetaan yksi tai toinen tasa:

\ omega _ {i} = {\ frac {-2} {(n + 1) P '_ {{n}} (x_ {i}) P _ {{n + 1}} (x_ {i})} } = {\ frac {2} {(1-x_ {i} ^ {2}) P '_ {n} (x_ {i}) ^ {2}}}.

Voimme myös huomata, että kertoimien summa on yhtä suuri kuin 2. Seuraava taulukko antaa kaikki tiedot I : n likimääräisen laskennan suorittamiseksi kaavoille, joissa on yksi, kaksi ja kolme pistettä.

Pisteiden lukumäärä, n	Paino $(\ omega _ {i})$	Pisteet $(x_ {i})$	Legendre-polynomi
1	2	0	x
2	1, 1	- √ 1/3 , √ 1/3	(3 x 2 - 1) / 2
3	5/9, 8/9, 5/9	- √ 3/5 , $0$ , √ 3/5	(5 x 3 - 3 x ) / 2

Esimerkki

Yritämme selvittää . Yritämme integroida asteen 2 polynomi, 2 pistettä riittää tarkan arvon saamiseksi. $\ int _ {{- 1}} ^ {1} (x + 1) ^ {2} {\ mathrm d} x$

\ int _ {{- 1}} ^ {1} (x + 1) ^ {2} {\ mathrm d} x = 1 \ vasen ({\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}} + 1 \ oikea) ^ {2} +1 \ vasen (- {\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}} + 1 \ oikea) ^ {2} = {\ frac 83}.

Voimme helposti varmistaa tämän tuloksen, koska tässä esimerkissä tunnetaan $( x + 1) 2$ : n antivivatiivi :

\ int _ {{- 1}} ^ {1} (x + 1) ^ {2} {\ mathrm d} x = \ vasemmalle [{\ frac {(x + 1) ^ {3}} {3}} \ right] _ {{- 1}} ^ {{1}} = {\ frac 83}.

Tämä esimerkki ei ole käytännöllinen tapaus. Pääsääntöisesti emme koskaan saa tarkkaa tulosta, emmekä tietenkään käytä näitä menetelmiä toiminnoille, joille tiedämme primitiivisen.

Gauss- Tšebyshev-menetelmä

Tämä kaava liittyy paino on $] -1, 1 [$ . N- pistekaavan solmut ovat $\ varpi (x) = (1-x ^ {2}) ^ {{- 1/2}}$

x_ {i} = \ cos \ vasen ({\ frac {(2i-1) \ pi} {2n}} \ oikea)

ja kertoimet:

w_ {i} = {\ frac {\ pi} n}.

Gauss- Laguerren menetelmä

Tämä kaava liittyy paino on $] 0, + \infty [$ . N solmut ovat n juuret n : nnen Laguerre polynomi L n , ja kertoimet ovat $\ varpi (x) = {{\ rm {e}}} ^ {{- x}}$

w_ {i} = {\ frac {1} {(n + 1) L '_ {{n}} (x_ {i}) L _ {{n + 1}} (x_ {i})}}.

Kertoimet ja solmut voidaan laskea analyyttisesti vain n pienelle. Esimerkiksi n = 2:

ei	$x_i \,$	$w_ {i} \,$
2	$2 \ pm {\ sqrt {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ mp {\ sqrt {2}}} {4}}}$

Nyt funktion $f$ integroimiseksi ℝ + : een meidän on pantava merkille se

\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} f (x) \, {\ mathrm d} x = \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {f (x)} {\ varpi (x)}} \ varpi (x) \, {\ mathrm d} x.

Sitten on vielä sovellettava kvadratuurikaavaa funktioon $g (x) = f (x) / \ varpi (x).$

Gauss-Hermite-menetelmä

Kohdassa ℝ Gauss- Hermite- kaavalle on ominaista painotus . Jotta n- piste kaava , $x$ $i$ lasketaan kuten n juuret n- th Erakon polynomin H n ; painotusten osalta ne saadaan $\ varpi (x) = {{\ rm {e}}} ^ {{- x ^ {2}}}$

w_ {i} = {\ frac {2 ^ {{n + 1}} n! {\ sqrt {\ pi}}} {[H_ {n} '(x_ {i})] ^ {2}}}.

Mitä tulee f : n integrointiin ℝ: iin, riittää, että kvadratuurikaavaa käytetään funktioon $f (x) {{\ rm {e}}} ^ {{x ^ {2}}}.$

Muut Gaussin kvadratuurimenetelmät

Gauss-Lobatton menetelmät

Gauss-Lobatto- kvadratuurimenetelmien (en) ollessa aikavälillä $[ a , b ]$ asetetaan $r + 1-$ kvadratuuripisteiden välille aikavälin kaksi päätä:

a = x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x _ {{r + 1}} = b.

Nelikulmajärjestyksessä $r$ sisäisistä kvadratuuripisteistä tulee sitten polynomin nollia, joka on johdettu $r -1$ : stä ortogonaalisesta polynomista:

\ kaikki i = 2, \ ldots, r \, \ P _ {{r-1}} '(x_ {i}) = 0.

Gauss-Radaun menetelmät

Gauss- Radau- kvadratuurimenetelmien ollessa aikavälillä $[ a , b ]$ asetetaan $r +1: n$ kvadratuuripisteiden joukkoon toinen pää:

a = x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x _ {{r + 1}}.

Symmetrialla voimme myös vahvistaa $b$ pisteenä.

Kun kvadratuurijärjestys $r$ , sisemmistä kvadratuuripisteistä tulee sitten polynomin nollia:

{\ frac {P _ {{r-1}} (x) + P_ {r} (x)} {xa}}.

Nelikulmapisteiden ja painojen laskeminen

Korkean asteen neliöpisteiden ja painojen saamiseksi on hyödyllistä tutustua Abramowitzin ja Stegunin työhön .

Huomautuksia ja viitteitä

Gauss julkaisi tämän menetelmän periaatteet julkaisussa Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi , Gœttingue , Heinrich Dietrich,1815.
Jean-Pierre Demailly, numeerinen analyysi ja differentiaaliyhtälöt , University Press of Grenoble ,1991, 309 Sivumäärä ( ISBN 2-7061-0421-X ) , s. 74
(in) Eric W. Weisstein , " Legendren-Gauss kvadratuuri " on MathWorld .
(in) Eric W. Weisstein , " Chebyshev-Gauss kvadratuuri " on MathWorld .
(in) Eric W. Weisstein , " Laguerre-Gauss kvadratuuri " on MathWorld .
(in) Eric W. Weisstein , " erakko-Gauss kvadratuuri " on MathWorld .
(in) Abramowitz ja Stegun , Handbook of Mathematical Functions ( lukea verkossa ) , s. 875 ja sitä seuraavat

Katso myös