Ehrenfest Urns -malli

Vaaliuurnilla malli on stokastinen malli esiteltiin vuonna 1907, jonka Ehrenfest pari kuvaamaan joitakin ”paradokseja”, joka ilmestyi perustan orastavan tilastollinen mekaniikka . Pian sen jälkeen, kun Boltzmann julkaisi lauseensa H , erityisesti Loschmidt , sitten Zermelo , muotoili voimakasta kritiikkiä , ja Boltzmannia syytettiin "kyseenalaisen matematiikan" harjoittamisesta.

Tätä mallia kutsutaan joskus myös " koiran ja kirppukuvaksi ". Matemaatikko Mark Kac kirjoitti hänestä olevansa:

"... luultavasti yksi opettavimmista malleista koko fysiikassa ..."

Uurnan malli

Tarkastellaan kahta urnaa A ja B sekä N palloa numeroituna 1: stä N: ään . Aluksi kaikki pallot ovat uurna . Tähän liittyvä stokastinen prosessi koostuu seuraavan toiminnan toistamisesta:

Piirrä satunnaisesti luku i välillä 1 - N , ota pallo n ° i , siirrä se urnaan, missä sitä ei ollut.

Sopimuksen mukaan ensimmäinen hetki on . ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$

Mallidynamiikka

Tässä mallissa seuraamme ajan mittaan t (diskreetti) urna A: ssa olevien pallojen n (t) kokonaismäärää . Saamme käyrän, joka alkaa aluksi n: stä (0) = N ja alkaa pienenemällä kohti keskiarvoa N / 2 , kuten voidaan odottaa "hyvälle" termodynaamiselle järjestelmälle, joka on aluksi tasapainosta ja rentoutuu spontaanisti kohti tasapainoa.

Mutta tämä lasku on epäsäännöllistä: keskiarvon N / 2 ympärillä on vaihteluja , jotka voivat joskus tulla hyvin suuriksi (tämä on erityisen näkyvää, kun N on pieni).

Erityisesti, riippumatta määrä palloja N päättynyt, on vielä uusiutumista alkutilaan, jossa kaikki pallot takaisin urn jälkeen äärellisen kestoisena. Mutta koska kahden peräkkäisen toistumisen välinen keskimääräinen aika kasvaa hyvin nopeasti N: n kanssa , nämä toistumat eivät näytä meille, kun N on hyvin suuri.

"Koirien ja kirppujen malli" -versio

Tässä versiossa kaksi urnaa korvataan kahdella koiralla ja N palloa N pelimerkillä, hyppäämällä koiralta toiselle.

Toistumiset ja Kacin lause (1947)

Toistumiset alkutilassa

Alkutilassa on toistumia , joille on tunnusomaista laskettavissa oleva sarja äärellisiä hetkiä , joille kaikki pallot palaavat urnaan A , toisin sanoen meillä on: (sopimuksen mukaan asetamme ). Voimme sitten määrittää uuden laskettavissa olevan sarjan rajallisia kestoja kahden peräkkäisen toistumisen välillä. ${\ displaystyle \ {t_ {n} \} _ {n = 1,2, \ pisteet}}$ ${\ displaystyle n (t_ {n}) = N}$ ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle \ tau _ {n} = t_ {n} -t_ {n-1}}$

Kacin lause (1947)

On mahdollista laskea kahden peräkkäisen toistumisen välinen keskimääräinen kesto alkutilassa:

{\ displaystyle \ langle \ \ tau \ \ rangle \ = \ \ lim _ {p \ to \ infty} \ {\ frac {1} {p}} \ \ sum _ {n = 1} ^ {p} \ \ sinulla on yksi}}

Meillä on seuraava lause [Kac - 1947]:

{\ displaystyle \ langle \ tau \ rangle \ = \ 2 ^ {N}}

Lisäksi voimme osoittaa, että kestojen hajonta keskiarvonsa ympärillä, jolle on tunnusomaista keskihajonta σ , on samaa suuruusluokkaa:

{\ displaystyle \ sigma = {\ sqrt {\ \ lim _ {p \ to \ infty} {\ frac {1} {(p-1)}} \ summa _ {n = 1} ^ {p} \, \ vasen [\, \ tau _ {n} \, - \, \ langle \ tau \ rangle \, \ right] ^ {2} \}} \ \ sim \ \ langle \ tau \ rangle}

Katso esimerkiksi [Kac-1957].

Tarkka liuos

Katso esimerkiksi: [Kac-1947] ja: [Kac-1957]
Samalla tavalla Mark Kac tutki mallin kiinteää mittausta sekä lähentymisen nopeutta kohti kiinteää mittausta : katso
- Ehrenfestin uurnien malli ja
- Spektriteoria (Ehrenfestin urns-mallin tapaus) .

Yhdistä satunnaiseen kävelyyn

Ehrenfestin urnamalli on muodollisesti samanlainen kuin ei-isotrooppinen satunnainen kävely hilalla , jonka jatkuva raja yhtyy elastisesti sitoutuneen hiukkasen Brownin-liikkeeseen . Todennäköisesti puhumme lähentymisestä kohti Ornstein-Uhlenbeck- prosessia, stokastista prosessia, jonka määrittelee stokastinen differentiaaliyhtälö : ${\ mathbb {Z}}$

{\ displaystyle dx_ {t} = \ theta (\ mu -x_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}. \,}

Katso esimerkiksi: [Kac-1947] ja: [Kac-1957]

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Bibliografia

Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-lause , Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.
Mark Kac; Satunnainen kävely ja Brownian liikkeen teoria , American Mathematical Monthly 54 (7) (1947), 369-391. Teksti pdf- muodossa . Tämä artikkeli on yksi kuudesta julkaisusta: Selected Papers on Noise & Stochastic Processes , Charles Proteus Steinmetz & Nelson Wax (toim.), Dover Publishing, Inc. (1954). Julkaistu uudelleen Phoenix-kokoelmassa (2003), ASIN 0486495353.
Mark Kac; Fysiikan todennäköisyys ja siihen liittyvät aiheet , luennot soveltavassa matematiikassa, sarja 1a , American Mathematical Society (1957), ( ISBN 0-8218-0047-7 ) .
Gérard Emch & Chuang Liu; Lämpötilastollisen fysiikan logiikka , Springer-Verlag (2002), ( ISBN 3-540-41379-0 ) .
Enrico Scalas, Edgar Martin & Guido Germano; Ehrenfestin urna palasi: Pelin pelaaminen realistisella nestemallilla , Physical Review E 76 (2007), 011104. ArXiv: cond-mat / 0512038 .
Nils Berglund: "Onko universumimme peruuttamaton? »- Matematiikan kuvat, CNRS, 2013 .

Huomautuksia

Tilastomekaniikan käsitteellisen perustan tarkastelemiseksi tällä hetkellä voimme lukea klassisen artikkelin (julkaistu alunperin saksaksi vuonna 1912): Paul & Tatiana Ehrenfest; Mekaniikan tilastollisen lähestymistavan käsitteelliset perustukset , Dover, Inc. (1990), ( ISBN 0-486-66250-0 ) . Toisen vaiheen yliopistotaso.
Englanninkielisestä " koira-kirppumalli ".
Mark Kac , Random Walk and Theory of Brownian Motion , American Mathematical Monthly 54 (7) (1947), 369-391. Teksti pdf- muodossa .