Wess-Zumino-Novikov-Witten malli

Vuonna teoreettinen fysiikka ja matematiikka , The Wess - Zumino - Novikov - Witten (WZNW) malli on yksinkertainen malli conformal field theory joiden ratkaisut on toteutettu affiinia Kac-Moody algebras .

Tämä malli on nimetty Julius Wess , Bruno Zumino , Sergei Novikov ja Edward Witten .

Toiminta

Olkoon G olla yksinkertaisesti kytketty kompakti Lien ryhmä ja g sen yksinkertainen Lie algebran . Olkoon γ kenttä, joka lähettää kompleksitason S2 kompaktiopisteen pisteet G: lle,

{\ displaystyle {\ displaystyle \ gamma: S ^ {2} \ - G}.}

Moderaattori WZNW on silloin epälineaarinen sigmamalli, jonka γ määrittelee toiminnolla

{\ displaystyle S_ {k} (\ gamma) = - \, {\ frac {k} {8 \ pi}} \ int _ {S ^ {2}} d ^ {2} x \, {\ mathcal {K }} (\ gamma ^ {- 1} \ osittainen ^ {\ mu} \ gamma \ ,, \, \ gamma ^ {- 1} \ osittainen _ {\ mu} \ gamma) +2 \ pi k \, S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma).}

missä $\partial μ = \partial / \partial x μ$ on osittainen johdannainen , metriikka on euklidinen ja Einsteinin summausmenetelmää sovelletaan toistuviin indekseihin. tarkoittaa tappaminen muodon päälle g; tämä ensimmäinen termi on standardi kineettinen termi kvanttikenttäteoriassa . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

S WZ tarkoittaa loppuun Wessin-Zumino ja voidaan kirjoittaa

{\ displaystyle S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma) = - \, {\ frac {1} {48 \ pi ^ {2}}} \ int _ {B ^ {3}} d ^ { 3} y \, \ epsilon ^ {ijk} {\ mathcal {K}} \ vasen (\ gamma ^ {- 1} \, {\ frac {\ partituali \ gamma} {\ osittainen y ^ {i}}} ,, \, \ left [\ gamma ^ {- 1} \, {\ frac {\ partial \ gamma} {\ partif y ^ {j}}} \ ,, \, \ gamma ^ {- 1} \, { \ frac {\ partituali \ gamma} {\ osaa y ^ {k}}} \ oikea] \ oikea)}

jossa [,] on kommutaattorin , $ε ijk$ on täysin anti-symmetrinen symboli , ja integroimista koordinaatit y i ja i = 1,2,3 tehdään pallon yksikön säteen B ³. Y: n domeenin laajennus mahdollistaa kentän määrittelemisen yksikköpallon sisällä. Tämä laajennus on mahdollinen, koska homotoopparyhmä π 2 ( G ), joka antaa ekvivalenssiluokan y, alun perin asetettu arvoon S2 = ∂ B3 , on triviaali Lie-ryhmälle, joka on yksinkertaisesti yhdistetty kompaktiksi G: ksi .

Kentän laajennus ei ole ainutlaatuinen; tarve fysiikan olla riippumaton laajennuksesta asettaa kvantisointiehdon kytkentäparametrille k, joka määritellään tasoksi. Antaa olla kaksi erillistä y: n laajennusta yksikkökuulan sisällä. Pallon kaksi toteutusta on liimattu niiden reunaan S ². Tästä toiminnasta saadaan topologinen 3-pallo; kukin pallo B3 muodostaa puolipallon S3: sta . Liitto kaksi laajennuksia γ kunkin pallon määrittelee sitten kartta S ³ → G . Nyt tässä tapauksessa minkä tahansa yksinkertaisesti yhdistetyn kompaktin Lie-ryhmän G kohdalla homotoopparyhmä on π 3 ( G ) = ℤ.

Kahden pallon B3 liimaaminen, jolloin saadaan kolme palloa S, merkitsee Wess-Zumino-termien vähentämistä samalla pallolla B3 . Tämä osoittaa sen
${\ displaystyle S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma) -S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma ') = n ~,}$
missä γ ja γ ' tarkoittavat kahta erillistä jatkoa yksikköpallossa, ja n , kokonaisluku, on kortin liimauksesta johtuvien käämien lukumäärä .

Mallin fysiikka on kuitenkin muuttumaton edellyttäen, että
${\ displaystyle \ exp \ left (i2 \ pi kS ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma) \ right) = \ exp \ left (i2 \ pi kS ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma ') \ oikea) ~.}$
Sitten topologisten näkökohtien avulla voimme päätellä, että tason k on oltava kokonaisluku, kun G on kompakti Lie-ryhmä, joka on yksinkertaisesti yhdistetty. Puoliksi yksinkertaisen tai yhdistämättömän Lie-ryhmän tapauksessa taso muodostaa kokonaisluvun yksinkertaiselle ja yhdistetylle komponentille.

Yleistykset

Esimerkki osoittaa malli WZNW määriteltävä Riemannin pallo S ². On mahdollista tehdä yleistys siitä, missä y-kenttä asuu kompaktilla Riemannin pinnalla .

Nykyinen algebra

WZNW-mallin nykyinen algebra on Kac-Moody-algebra . Stressienergia -tensorin antaa Sugarawan rakentaminen .

Viitteet

(en) J. Wess ja B. Zumino , " Epänormaalien seurakunnan identiteettien seuraukset " , Physics Letters B , Voi. 37,1971, s. 95 ( DOI 10,1016 / 0370-2693 (71) 90582-X , Bibcode 1971PhLB ... 37 ... 95W )
(in) E. Witten , " Global näkökohdat nykyisen algebran " , Nuclear Physics B , voi. 223, n ° 21983, s. 422-432 ( DOI 10,1016 / 0550-3213 (83) 90063-9 , Bibcode 1983NuPhB.223..422W )
(sisään) E. Witten , " Non-abelian bosonization in two dimension " , Communications in Mathematical Physics , Voi. 92, n o 4,1984, s. 455-472 ( DOI 10.1007 / BF01215276 , Bibcode 1984CMaPh..92..455W )
(sisään) Novikov, SP, " Moniarvoiset toiminnot ja funktiot. Morse-teorian analogi ” , Sov. Math., Dokl. , voi. 24,yhdeksäntoista kahdeksankymmentäyksi, s. 222–226; (en) SP Novikov , " Hamiltonin formalismi ja Morse-teorian moniarvoinen analogi " , Russian Mathematical Surveys , voi. 37, n o 5,1982, s. 1-9 ( DOI 10,1070 / RM1982v037n05ABEH004020 , Bibcode 1982RuMaS..37 .... 1 N )