Äärellinen morfismi

Vuonna algebrallinen geometria , joka on äärellinen tyyppiä morfismi voidaan ajatella perheen algebraic manifolds parametrisoituina pohja järjestelmään. Se on yksi yleisimmin tutkituista morfismityypeistä.

Määritelmä

Antaa olla morfismi kaavioita . Sanomme, että on äärellinen tyyppiä jos jostain affiinia avoimia ja , on lähes kompakti (eli äärellinen liitto Affiininen aukkoja), ja että jostain Affiininen auki sisältämien , kanoninen morfismi on äärellinen tyyppiä . f:X→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}f{\ displaystyle f}V{\ displaystyle V}Y{\ displaystyle Y}f-1(V){\ displaystyle f ^ {- 1} (V)}U{\ displaystyle U}f-1(V){\ displaystyle f ^ {- 1} (V)}OY(V)→OX(U){\ displaystyle O_ {Y} (V) \ - O_ {X} (U)}

Osoitamme, että tämä ominaisuus vastaa seuraavaa, mikä on helpommin todennettavissa: affiniaalisten aukkojen välillä on päällekkäisyys siten , että kukin on rajallisen määrän affiinisten aukkojen yhdistelmä rajallista tyyppiä. Y{\ displaystyle Y}Vi{\ displaystyle V_ {i}}f-1(Vi){\ displaystyle f ^ {- 1} (V_ {i})}Uij{\ displaystyle U_ {ij}}OY(Vi)→OX(Uij){\ displaystyle O_ {Y} (V_ {i}) \ - O_ {X} (U_ {ij})}

Tulemme myös sanoa, että on äärellinen tyyppinen järjestelmä päälle . Milloin sanomme myös, että se on äärellistä tyyppiä . X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}Y=Ssevs.AT{\ displaystyle Y = \ mathrm {Spec} A}X{\ displaystyle X}AT{\ displaystyle A}

Esimerkkejä

• Jos rengasmorfismi on äärellinen tyyppi , niin siihen liittyvä kaavamorfismi on rajallinen tyyppi. Erityisesti, jos on kenttä ja äärellinen tyyppi algebran yli , niin on algebrallinen lajike yli .AT→B{\ displaystyle A \ - B}Ssevs.B→Ssevs.AT{\ displaystyle \ mathrm {Spec} B \ to \ mathrm {SpecA}}AT=k{\ displaystyle A = k}B{\ displaystyle B}AT{\ displaystyle A}Ssevs.B{\ displaystyle \ mathrm {SpecB}}k{\ displaystyle k}

• Projektiiviset tila on tyypin rajallinen päälle .PATei{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {A} ^ {n}}AT{\ displaystyle A}

Yhdistä algebrallisiin lajikkeisiin

Korjaamme rungon . k{\ displaystyle k}

Antaa olla äärellinen tyyppinen järjestelmä . Antaa olla osajoukko suljetuista pisteistä , joilla on topologia, jonka indusoi tämä ja me merkitsemme kanonista osallisuutta. Sitten pari on paikallisesti rengastettu tila, joka on isomorfinen algebralliselle jakotukille . X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}X0{\ displaystyle X ^ {0}}X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}i:X0→X{\ displaystyle i: X ^ {0} \ - X}(X0,i-1OX){\ displaystyle (X ^ {0}, i ^ {- 1} O_ {X})}

Tämä prosessi määrittelee functor päässä olevia äärellisen tyyppi järjestelmistä luokkaan algebrallinen lajikkeiden . Osoitamme, että tämä funktori on luokkien vastaavuus . Siten äärellisten tyyppikaavioiden ja algebrallisten lajikkeiden näkökulmat ovat olennaisesti samanarvoisia. k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

Ominaisuudet

• Suljettu upotus on äärellisen tyyppinen morfismi.

• Avoin upotus Noetherian järjestelmään on äärellisen tyyppinen.

• Äärellisen tyyppisten morfismien koostumus on rajallinen.

• Jos ja ovat rajallinen mukaan, sitten kuitu tuote on rajallinen tyyppiä.X→Z{\ displaystyle X \ - Z}Y→Z{\ displaystyle Y \ - Z} X×ZY→Z{\ displaystyle X \ kertaa _ {Z} Y \ - Z}

• Jos on äärellinen tyyppi ja jos on morfismi kaavioita, sitten emäksen muutos on rajallinen tyyppiä.X→Y{\ displaystyle X \ - Y}Z→Y{\ displaystyle Z \ - Y} X×YZ→Z{\ displaystyle X \ kertaa _ {Y} Z \ Z}

• Erityisesti mistä tahansa kohdasta kuitu on rajallista tyyppiä jäännöskentässä , joten se on algebrallinen lajike . Siten voidaan nähdä algebrallisten jakotukkien perhe, joka on parametroitu pisteillä ja mahdollisesti vaihtelevilla peruskentillä.y∈Y{\ displaystyle y \ sisään Y}Xy=X×YSsevs.k(y){\ displaystyle X_ {y} = X \ kertaa _ {Y} \ mathrm {Spec} k (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}k(y){\ displaystyle k (y)}X→Y{\ displaystyle X \ - Y} Xy{\ displaystyle X_ {y}}Y{\ displaystyle Y}

• Jos skeemojen morfismi on rajallinen , niin se on äärellinen tyyppi. Erityisesti kahden algebrallisen lajikkeen välinen morfismi on automaattisesti äärellisen tyyppinen.f:X→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}S{\ displaystyle S}f{\ displaystyle f}

Jos ajatellaan , että kuidut ovat affiini linjat (kuitu sen kohdan yläpuolella, joka vastaa nolla ihanteellinen ) ja (kuitu sen kohdan yläpuolella, joka vastaa suurinta ihanteellinen on ) varten alkulukuja . Tavallaan se koodaa linjat, jotka affinoituvat kaikkiin alkukenttiin. Ssevs.(Z[T])→Ssevs.Z{\ displaystyle \ mathrm {Spec} (\ mathbb {Z} [T]) \ to \ mathrm {Spec} \ mathbb {Z}}ATQ1{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {1}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}ATFs1{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {{\ mathbb {F}} _ {p}} ^ {1}}sZ{\ displaystyle p \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}s{\ displaystyle p}Ssevs.(Z[T]){\ displaystyle \ mathrm {Spec} (\ mathbb {Z} [T])}

Bibliografia

A. Grothendieck ja J. Dieudonné: Algebrallisen geometrian elementit , luku I. Springer Verlag, 1971. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften; 166 ).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">