Moninaisuus (matematiikka)

Vuonna matematiikan määrittelemme tiettyjen ominaisuuksien moninaisuus on arvo, jolla tämä ominaisuus. Tämä on yleensä koko joukko , joka osoittaa "kuinka monta kertaa" arvo on ominaisuus. Tämä on yleensä merkityksetöntä (omistaa kiinteistön tai sitä ei ole), mutta joissakin tapauksissa on olemassa luonnollinen tulkinta. Yleensä, ominaisuus, jonka monikerrat on määritelty määrittää monijoukko arvojen sijaan yksiä.

Polynomin juuren moninaisuus

Tunnetuin tapaus on polynomin ei-nollan P juuren moninaisuus . Joukko r on juuri P , jos P ( r ) = 0 , ja tässä tapauksessa voimme kirjoittaa P = ( X - r ) Q . Voi tapahtua, että r on edelleen Q: n juuri , ja tässä tapauksessa voimme kirjoittaa P = ( X - r ) m R, kun m ≥ 2 , ja suurin m , jolle se on mahdollista, on määritelmän mukaan r: n kertalukuisuus P: n juurena .

Juurien moninkertaisuusjärjestyksen käyttö on välttämätöntä, jos haluamme tyydyttää kertoimien ja juurien väliset suhteet .

Ominaisarvon moninaisuus

In lineaarialgebraa , jos on ominaisarvo , joka endomorphism u on vektori tila E on äärellinen ulottuvuus n , geometrinen useita järjestys on on ulottuvuus liittyvän eigen aliavaruus, ja algebrallinen moninaisuus järjestys on ulottuvuus liittyvän ominaisuuden aliavaruuden . Järjestys algebrallinen moninaisuus on myös sama kuin järjestys moninaisuus juuren on tunnusomainen polynomi on u . λ{\ displaystyle \ lambda} λ{\ displaystyle \ lambda}mλ{\ displaystyle m _ {\ lambda}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Jos vektoriavaruuteen on olemassa sellainen perusta , että tähän perusteeseen liittyvä U: lla merkitty matriisi on kolmiomainen (mikä on aina tapana, jos kenttä K on algebrallisesti suljettu ), niin u: n ominaispolynomi on molemmissa yhtä suuri kohtaan , missä ovat u: n ominaisarvot , ja kohtaan . Siksi, ja (toisin sanoen, on kertojen määrä, jolloin ominaisarvo näkyy matriisin diagonaalissa ). E{\ displaystyle E}u{\ displaystyle u}∏i=1m(X-λi)mλi{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {m} {(X- \ lambda _ {i}) ^ {m _ {\ lambda _ {i}}}}}λ1,...,λm{\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {m}}∏j=0ei(X-Ujj){\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {n} (X-U_ {jj})}ei=∑i=1mmλi{\ displaystyle n = \ summa _ {i = 1} ^ {m} m _ {\ lambda _ {i}}}mλ=#{j:(U)jj=λ}{\ displaystyle m _ {\ lambda} = \ # \ {j: (U) _ {jj} = \ lambda \}}mλ{\ displaystyle m _ {\ lambda}}λ{\ displaystyle \ lambda}U{\ displaystyle U}

Moninaisuus ja erillinen arvostusrengas

Moninaisuuden käsite esiintyy luonnollisesti erillisissä arvostusrenkaissa . Tällaisessa renkaassa on pelkistämätön elementti t, jota kutsutaan yhdenmukaistajaksi siten, että renkaan mille tahansa elementille a on olemassa käänteinen elementti b ja kokonaisluku n siten , että kirjoitus on ainutlaatuinen. n on kutsutaan järjestys elementin ja ei ole mikään muu kuin suuruusluokkaa useita t hajoamiseen osaksi pelkistymätön elementtejä. klo=btei{\ displaystyle a = bt ^ {n}}

Tämä tilanne käytetään määrittämään järjestyksessä useita napa tai nolla on järkevä osa . Otetaan yhtenäistävä elementti X - a . Tässä yhteydessä käännettävä elementti on rationaalinen murtoluku, joka on määritelty a: ssa ja joka ei poistu a: sta . Jos järkevä osa f hajoaa muodossa , jossa g käännettävissä, on nolla f moninaisuus n , jos n > 0, ja on napa f moninaisuus -n , jos n <0. Voimme edetä vertailukelpoiseen tapa määritellä holomorfisen funktion nollan tai meromorfisen funktion nollan tai napan kertaluvun järjestys . f=(X-klo)eig{\ displaystyle f = (Xa) ^ {n} g}

Algebrallisen käyrän monipiste

Tarkastellaan taso-affiinista algebrallista käyrää (V) yhtälöllä ja olkoon P tämän käyrän piste. Oletetaan muuttujien muutoksella, että P on yhtä suuri kuin piste (0,0). F kirjoitetaan homogeenisten polynomien summana ja pienintä indeksiä k , joka on nollasta poikkeava, kutsutaan F: n moninkertaistamisjärjestykseksi P. Jos k = 1, sanotaan, että P on yksi käyrän piste, jos k = 2, puhumme kaksinkertaisesta pisteestä, jos k = 3 kolmoispisteestä jne. Jos otamme huomioon ensimmäisen asteen tekijät, kukin näistä tekijöistä määrittää tangentin käyrälle P: ssä. F(X,Y)=0{\ displaystyle F (X, Y) = 0} F=∑k=meiFm{\ displaystyle F = \ summa _ {k = m} ^ {n} F_ {m}}Fk{\ displaystyle F_ {k}}Fm{\ displaystyle F_ {m}}

Vastakkaisessa esimerkissä meillä on ja . Pisteen (0,0) moninkertaistamisjärjestys on siis 2. Käyrä antaa kaksi tangenttia tässä yhtälökohdassa . F2=Y2-3X2{\ displaystyle F_ {2} = Y ^ {2} -3X ^ {2}}F3=X3{\ displaystyle F_ {3} = X ^ {3}}Y=±3X{\ displaystyle Y = \ pm {\ sqrt {3}} X}

Jos M (P) on P: ssä mitätöivien rationaalisten funktioiden maksimaalinen ideaali, P: ssä määritellyssä rationaalisten toimintojen paikallisessa renkaassa , niin moninkertaisuusjärjestys m P: ssä on suurin kokonaisluku r , johon F kuuluu . m on myös yhtä suuri kuin ulottuvuus osamäärän varten n riittävän suuri (itse asiassa heti, kun n on suurempi kuin tai yhtä kuin m ). Tämä viimeinen ominaisuus antaa mahdollisuuden määritellä moninkertaisuus yleisen algebrallisen käyrän pisteessä sisäisellä tavalla. Edellisessä esimerkissä n = 2: lle annetaan perusta arvolla , kun otetaan huomioon, että yleisemmin, for: lle , perusta on . Joten m = 2. Os(V){\ displaystyle O_ {p} (V)}M(P)r{\ displaystyle M (P) ^ {r}}M(P)ei/M(P)ei+1{\ displaystyle M (P) ^ {n} / M (P) ^ {n + 1}}M(P)2/M(P)3{\ displaystyle M (P) ^ {2} / M (P) ^ {3}}{X2,XY}{\ displaystyle \ {X ^ {2}, XY \}}Y2=3X2modM(P)3{\ displaystyle Y ^ {2} = 3X ^ {2} {\ rm {\; {mod} \; M (P) ^ {3}}}}ei≥2{\ displaystyle n \ geq 2}Mei/Mei+1{\ displaystyle M ^ {n} / M ^ {n + 1}}{Xei,Xei-1Y}{\ displaystyle \ {X ^ {n}, X ^ {n-1} Y \}}

(V): n moninaisuus P: ssä on yhtä suuri kuin käyrän (V) leikkauspisteen moninkertaisuus P: n läpi kulkevan linjan kanssa, mutta joka ei ole tangenttia käyrälle.

Risteyksen moninaisuus

Tarkastellaan kahta kone algebrallinen käyrä , ilman yhteinen komponentti, koska niiden vastaavien yhtälöiden ja ja antaa P on piste. Antaa paikallinen rengas rationaalisen fraktioiden määritelty P. Me kutsumme useita leikkauspisteen kahden käyrän P, huomattava , ulottuvuus osamäärän vektorina tilaa pohja alalla. Tällä on seuraavat ominaisuudet: F(X,Y)=0{\ displaystyle F (X, Y) = 0}G(X,Y)=0{\ displaystyle G (X, Y) = 0}OP{\ displaystyle O_ {P}}μP(F,G){\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G)}OP/(F,G){\ displaystyle O_ {P} / (F, G)}

• Leikkauksen moninaisuus P: ssä on ehdottomasti positiivinen vain ja vain, jos P on kahdelle käyrälle yhteinen piste.
• Jos P on kahden käyrän yksi piste ja jos P: n kahden käyrän tangentit ovat erilliset, tämä moninkertaisuus on yhtä suuri kuin 1.
• Jos P on yhden tai molempien käyrien moninkertainen piste ja jos kahdella käyrällä ei ole yhteisiä tangentteja P: ssä, niin se on yhtä suuri kuin F: n ja G: n kertojen tulo P: ssä. Jos on ainakin yksi yhteinen tangentti, se on ehdottomasti suurempi kuin tämä tuote.μP(F,G){\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G)}
• Jos ja , niin .F=∏iFiri{\ displaystyle F = \ prod _ {i} F_ {i} ^ {r_ {i}}}G=∏jGjsj{\ displaystyle G = \ prod _ {j} G_ {j} ^ {s_ {j}}}μP(F,G)=∑i,jrisjμP(Fi,Gj){\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = \ summa _ {i, j} r_ {i} s_ {j} \ mu _ {P} (F_ {i}, G_ {j})}
• Mille tahansa polynomille A, koska yhtälöiden F = G = 0 ratkaisu on yhtäläinen yhtälöiden F = G + AF = 0 ratkaisemiseen.μP(F,G)=μP(F,G+ATF){\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = \ mu _ {P} (F, G + AF)}

Näiden ominaisuuksien avulla on helppo laskea kahden käyrän leikkauspisteiden lukumäärä tietyssä pisteessä. Palataan yleensä pisteeseen (0,0) muuttujien muutoksen jälkeen.

ESIMERKIT  :

• Antaa olla käyrä, jonka tangentti P = (0,0) annetaan Y = 0. F: n ja sen tangentin P: n leikkauskerroin on:F(X,Y)=Y+kloX2+bXY+vs.Y2+...{\ displaystyle F (X, Y) = Y + aX ^ {2} + bXY + cY ^ {2} + ...}

μP(F,G)=μP(Y+kloX2+bXY+vs.Y2+dX3+...,Y)=μP(kloX2+dX3+...,Y){\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = \ mu _ {P} (Y + aX ^ {2} + bXY + cY ^ {2} + dX ^ {3} + ..., Y) = \ mu _ {P} (aX ^ {2} + dX ^ {3} + ..., Y)} =μP(X2,Y)+μP(klo+dX+...,Y)=2{\ displaystyle \; \; \; = \ mu _ {P} (X ^ {2}, Y) + \ mu _ {P} (a + dX + ..., Y) = 2}jos a ei ole nolla ja on ehdottomasti suurempi kuin 2, jos a = 0 ( esimerkiksi taivutuspisteen tapaus ).

• Anna parabolin peruuttamisen , ympyrän peruuttamisen ja P = (0,0). Voimme todeta soveltamalla ilmoitettuja ominaisuuksia, että:F(X,Y)=Y-X2-X{\ displaystyle F (X, Y) = YX ^ {2} -X}G(X,Y)=X2+Y2-2kloX-2bY+vs.{\ displaystyle G (X, Y) = X ^ {2} + Y ^ {2} -2aX-2bY + c}

jos c ei ole nolla . Ympyrä ei kulje P.: n läpi.μP(F,G)=0{\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = 0} jos c = 0 ja a + b ei ole nolla . Ympyrä on erillään P-parabolista.μP(F,G)=1{\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = 1} jos c = a + b = 0 ja b poikkeaa 1 : stä,. Ympyrä on tangentti P: ssä paraboliin.μP(F,G)=2{\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = 2} jos c = 0, = -1, b = 1, . Ympyrä värähtelee P: ssä parabolaan.μP(F,G)=3{\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = 3}

• Anna parabolin peruuttamisen , ympyrän peruuttamisen ja P = (0,0). Joten . Ympyrä laskee liikaa P-parabolille.F(X,Y)=Y-X2{\ displaystyle F (X, Y) = YX ^ {2}}G(X,Y)=X2+Y2-Y{\ displaystyle G (X, Y) = X ^ {2} + Y ^ {2} -Y}μP(F,G)=4{\ displaystyle \ mu _ {P} (F, G) = 4}

Risteyksen moninaisuuden käyttö on välttämätöntä Bézoutin lauseen soveltamisessa .

Viitteet

1. Daniel Perrin, Algebraic Geometry , EDP (1995), s.113
2. William Fulton, Algebran käyrät , WA Benjamin (1974), s.66
3. tapauksessa M (P) syntyy X: stä ja Y: stä, jos P = (0,0)
4. William Fulton, Algebran käyrät , WA Benjamin (1974), s. 74

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">