Syklinen numero (ryhmateoria)

Teoriassa ryhmien , joka on syklinen numero on kokonaisluku n siten, että on olemassa rajallinen ryhmä on järjestyksessä n ( jopa isomorphism ) syklisen ryhmän (ℤ / n ℤ +) , tai kokonaisluku n siten, että mikä tahansa ryhmä, jotta n on syklinen.

Samoin abelin luku on kokonaisluku n siten, että mikä tahansa järjestyksessä n oleva ryhmä on abelin .

Mikä tahansa syklinen luku on abelinen, ja mikä tahansa abeliluku on nilpotenttinen . Kokonaisluvun jäsenyys johonkin näistä luokista voidaan lukea sen hajoamisesta alkutekijöiksi .

Esimerkkejä ja vasta-esimerkkejä

Numero 1 on syklinen (katso ” Trivial ryhmä ”).
Jokainen alkuluku on syklinen (katso ” Lagrangen lauseen sovellukset ”).
Numero 15 on syklinen (katso " sovellukset Sylow n lauseet ").
Mikä tahansa alkuluvun neliö on abelilainen, mutta ei syklinen (katso ” Huomautus p- ryhmistä ”).
Ei parillinen määrä on suurempi kuin tai yhtä kuin 6 on Abelin (katso ” dihedral ryhmä ”).
Mikään alkuluvun p kuutio ei ole abelilainen (katso ” Heisenberg-ryhmä F p: ssä ”).
Mikä tahansa abelian (tai syklisen) numeron jakaja on abelin (tai syklinen) luku (katso ” Suora tuote ”).

Katso myös: ” Luettelo pienistä ryhmistä ”.

Karakterisointi

Olkoon p 1 k 1 … p r k r n: n hajoaminen alkutekijöiksi (kun p 1 <… < p r ja k i ≥ 1).

n on syklinen vain ja vain, jos n on alkuluku φ ( n ): llä, missä φ tarkoittaa Euler-indikaattoria tai tarkemmin: jos n on neliö (ts. kaikki eksponentit k i ovat yhtä suuret kuin 1) ja kaikille $i < j$ , $p i$ ei jaa $p j - 1$ .
n on Abelin jos ja vain jos n on "cubeless" (toisin sanoen, että kutakin i , k i on yhtä suuri kuin 1 tai 2), ja kaikilla $i \neq j$ , $s i$ ei jakaa $s j k d - 1$ .

Seuraukset:

Jos n on abelilainen, järjestyksessä n olevien abeliryhmien määrä on yhtä suuri kuin . ${\ displaystyle 2 ^ {\ summa (k_ {i} -1)}}$
Kaikki luonnolliset luvut ja b eivät molemmat nolla, on olemassa ääretön Abelin sisältävät luvut alkutekijät voimaa 1 ja b alkutekijät valta 2 (mukaan on Dirichlet'n aritmeettisen teoreema ). Samoin, koska kaikki eivät ole nollia, on loputon syklinen luku, jolla on alkutekijä.

Esittely

Mikä tahansa syklinen ryhmä on abelilainen, toisin sanoen enintään luokan nilpotentti. Yksityiskohtainen artikkeli kuitenkin osoittaa, että:

kokonaisluku n on nilpotent ( eli mikä tahansa ryhmä, jotta n on nilpotent), jos ja vain jos kaikki $i \neq j$ ja kaikki $k$ välillä $1$ ja $k i$ , $s j$ ei jakaa $p i k - 1$ ;
mikä tahansa järjestysryhmä n on luokan nilpotentti enintään c (jos c ≥ 1) vain ja vain, jos lisäksi n on "ilman voimia ( c + 2) -th".

Abeeliluvut ovat siis nilpotenttilukuja ilman kuutioita. Samalla tavalla osoitetaan, että sykliset luvut ovat nilpotenttilukuja ilman neliöitä. Mikä tahansa äärellinen nilpotenttiryhmä on sen Sylow-alaryhmien suora tuote ; Siksi se on syklinen, jos (ja vain jos) sen Sylow-alaryhmät ovat syklisiä . Näin ollen kokonaisluku n on syklinen vain ja vain, jos se on nilpotenttinen, ja jos lisäksi jokainen sen ensisijainen tekijä p i k i on syklinen luku, ts. ( Katso yllä ) k i = 1.

Huomautuksia ja viitteitä

(De) Tibor Szele , " Über die endichen Ordnungszahlen, zu denen nur eine Gruppe gehört " , kommentti. Matematiikka. Helv. , voi. 20,1947, s. 265-267 ( DOI 10.1007 / BF02568132 ).
(in) Dieter Jungnickel , " On ainutlaatuisuutta syklisen ryhmän järjestyksessä $n$ " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 99, n ° 6,1992, s. 545-547 ( JSTOR 2324062 , lukea verkossa ).
(in) Joseph Gallian David Moulton, " Kun on $Z n$ ainoa ryhmä käsky $n$ ? » , Elemente der Mathematik , voi. 48, n ° 3,1993, s. 117-119 ( lue verkossa ).
(sisään) Jonathan Pakianathan ja Shankar Krishnan, " nilpotenttiluvut " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 107, n ° 7,2000, s. 631-634 ( JSTOR 2589118 , lukea verkossa ).
(in) Sumit Kumar Upadhyay ja Shiv Kumar Datt, " olemassaolo yhden ryhmän rajallinen järjestys " , preprint ,2011( arXiv 1104.3831 ).
(in) THE Dickson , " Ryhmän ja kentän määritelmät riippumattomien postulaattien avulla " , käännös. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi. 6,1905, s. 198-204 ( lue verkossa ), § 5.
(in) Thomas W. Müller, " aritmeettinen lauseen liittyvät ryhmiin nilpotency luokan rajaamalla " , Journal of Algebra , Vol. 300, n o 1,2006, s. 10-15 ( lue verkossa ).

Ulkoiset linkit

(fi) sarja A003277 ja OEIS syklisen numeroita
(fi) suite A051532 n OEIS Abelin numerot
(en) ” Minkä $n kohdalla$ on vain yksi ryhmä järjestyksessä $n$ ? » , MathOverflow-ohjelmasta (koskettaa asymptoottisia tiheyskysymyksiä )