Kellon numero

On matematiikka , n- th Bell numero (nimetty Eric Temple Bell ) on määrä väliseinät on asetettu n eri elementtejä tai mitä merkitsee samaa määrä ekvivalenssirelaatiot näin asetettu.

Ensimmäiset ominaisuudet

Nämä luvut muodostavat OEIS: n kokonaislukujen A000110 sarjan , jonka ensimmäiset termit voidaan laskea käsin: $B_ {0} = 1, \ quad B_ {1} = 1, \ quad B_ {2} = 2, \ quad B_ {3} = 5, \ quad B_ {4} = 15, \ quad B_ {5} = 52, \ quad B_ {6} = 203, \ quad B_ {7} = 877, \ quad \ ldots$ Ensimmäinen on yhden arvoinen, koska tyhjässä sarjassa on täsmälleen yksi osio : tyhjä osio, joka ei sisällä osia. Itse asiassa sen elementit (koska sellaisia ei ole) eivät todellakaan ole tyhjiä ja erottuvat toisistaan kaksi ja tyhjä liitos.
Osiot ovat , ja kolme osiota tyyppiä . ${\ displaystyle B_ {3} = 5}$ $\ {ABC \}$ ${\ displaystyle \ {\ {a \}, \ {b \}, \ {c \} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ {a, b, c \} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ {a \}, \ {b, c \} \}}$
Bell numerot voidaan laskea myös askel askeleelta, jonka toistuvalla suhteella seuraa, jota joskus kutsutaan "Suhde Aitken " ja itse asiassa, koska Japanin matemaatikko XVIII nnen vuosisadan Yoshisuke Matsunaga: $B _ {{n + 1}} = \ summa _ {{k = 0}} ^ {{n}} {n \ valitse k} B_ {k},$ mikä voidaan osoittaa seuraavasti:
Kun olemme kiinnittäneet elementin x sarjaan, jossa on n + 1 elementtiä, lajitellaan osiot x: n sisältävän osan ulkopuolella olevien elementtien lukumäärän k mukaan . Jokaiselle k : n arvolle välillä 0 - n on siksi valittava k elementtiä x: stä poikkeavan n elementin joukosta , ja sitten annettava osio.
Seitsemän pienempää Bell-numeroa ovat ensin B 2 = 2, B 3 = 5, B 7 = 877, B 13 = 27644437, B 42 = 357424591987726172123535505065656266642567 , B 55 = 359334055 968 622 831 041 960 188 598 043 661 065 388 726 959 079 837 ja B 2841 (katso OEIS: n sviitit A051131 ja A051130 ). Ei tiedetä, onko muita.

Generaattorisarja

Kaikkien Bell-numeroiden käsittelemiseksi voimme tarkastella niihin liittyviä generaattori- ja eksponenttigeneraattorisarjoja , jotka ovat vastaavasti:

G (X) = \ summa _ {n} B_ {n} X ^ {n} {\ text {ja}} E (X) = \ summa _ {n} {\ frac {B_ {n}} {n! }} X ^ {n} = 1 + X + 2 {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + 5 {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + 15 {\ frac {X ^ {4}} {4!}} + \ Ldots

Ensimmäistä käytetään esimerkiksi ryhmien kongruenssiluokkien tutkimiseen . Mitä tulee toiseen muodolliseen sarjaan , se täyttää differentiaaliyhtälön : tämä voidaan nähdä kirjoittamalla toistumiskaava muodossa $B_ {n}$ $E '(X) = {\ mathrm {e}} ^ {X} E (X)$

{\ displaystyle {\ frac {B_ {n + 1}} {n!}} = \ summa _ {k + l = n} {\ frac {1} {k!}} {\ frac {B_ {l}} {l!}} ~.}

Johtopäätöksenä on, että se on yhtä moninkertainen vakio lähellä (jonka löydämme tunnistamalla vakiotermin): ${\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {e}} ^ {X}}}$

E (X) = {\ mathrm {e}} ^ {{{\ \ mathrm {e}} ^ {X} -1}}.

Kertoimien tunnistaminen johtaa Dobinski-kaavaan :

B_ {n} = {\ frac {1} {{\ mathrm {e}}}} \ summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {n}} {k!} }

joka on hetki, jotta n on Poisson-jakauma parametrilla 1.

Muut ominaisuudet

Ne tyydyttävät myös Touchardin yhdenmukaisuuden : jos p on mikä tahansa alkuluku, niin

B _ {{p + n}} \ equiv B_ {n} + B _ {{n + 1}} \ mod s.

Jokainen Bell-numero on summa toisen tyyppisistä Stirling-numeroista :

{\ displaystyle B_ {n} = \ summa _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ vasen \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matriisi}} \ oikea \}.}

Tunnetaan useita asymptoottisia kaavoja Bell-numeroille; yksi heistä on

B_ {n} \ sim {\ frac {1} {{{\ sqrt n}}}} \ vasen [{{\ frac {n} {W (n)}}} \ oikea] ^ {{n + {\ frac {1} {2}}}} e ^ {{{\ frac {n} {W (n)}} - n-1}},

missä W on Lambertin W-funktio ; saadaan vähemmän tarkka likiarvo, mutta sitä on helpompi käyttää kehyksen avulla ; voidaan myös huomata edellisen likiarvon samankaltaisuus Stirlingin kaavan kanssa . $\ ln x- \ ln \ ln x <W (x) <\ ln x$

Katso myös

Bell numerot määräsi , että tunnistaa tilannut osiot.
Bell kolmio , jonka avulla voit helposti saada Bell numerot

Huomautuksia ja viitteitä

elementit ovat aina erillisiä tavallisessa joukko-teoriassa , mutta näin ei ole multiiset- teoriassa . Ja, osioiden määrä on asetettu n kappaletta erottaa elementtejä on useita väliseiniä kokonaisluku .
(in) AC Aitken , " Ongelma yhdistelmissä " , Mathematical Notes , Voi. 28,Tammikuu 1933, xviii - xxiii ( ISSN 1757-7489 ja 2051-204X , DOI 10.1017 / S1757748900002334 , luettu verkossa , käytetty 29. toukokuuta 2021 )
Donald Knuth , The Art of Computer Programming : History of Combinatorial Generation , voi. 4, fasc. 4, Addison Wesley,2010
Daniel Barsky ja Benali Benzaghou " Bell numerot ja summa factorials ", Journal de Théorie des nombres de Bordeaux , vol. 16,2004, s. 1–17 ( lue verkossa [PDF] )
Löydämme muita arvioita B n päällä (in) Eric W. Weisstein , " Bell numero " päälle MathWorld .

Bibliografia

Donald Knuth , The Art of Computer Programming : History of Combinatorial Generation , voi. 4, fasc. 3, Addison Wesley,2010