Metrisen tensorin kovariaattijohdannaisen tyhjyys

Mitättömyydestä covariant johdannainen on metristä tensor on Riemannin jakoputken ilmaisee sitä, että samaa toimenpidettä sovelletaan missä tahansa pisteessä jakoputken. Matemaattisesti ilmaistuna se on muodossa: jossa edustaa tensorin johdannaisen komponentteja. Tämä ominaisuus voidaan osoittaa kahdella tavalla: ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = 0}$ ${\ displaystyle g _ {\ alfa \ beta; \ gamma}}$

matemaattisella päättelyllä asettamalla laskutoimitus nimenomaisesti Christoffel-kertoimilla ;

Esittely

Antaa olla paikallinen perusta ja metrinen tensori ilmaistuna tässä perustassa. Kovariaanisen johdannaisen määritelmän mukaan meillä on kaikki , ja : ${\ displaystyle (e _ {\ alfa})}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} = g (e _ {\ alpha}, e _ {\ beta})}$ $\ alfa$ $\beeta$ $\gamma$

{\ displaystyle \ osittainen _ {\ gamma} g _ {\ alfa \ beta} = \ osittainen _ {\ gamma} g (e _ {\ alfa}, e _ {\ beta}) = g (\ nabla _ {e _ {\ gamma}} e _ {\ alpha}, e _ {\ beta}) + g (e _ {\ alpha}, \ nabla _ {e _ {\ gamma}} e _ {\ beta})}

siksi määritelmällä Christoffelin symbolit:

{\ displaystyle \ osittainen _ {\ gamma} g _ {\ alfa \ beta} = g (\ gamma _ {\ gamma \ alfa} ^ {\ lambda} e _ {\ lambda}, e _ {\ beta}) + g (e_ {\ alpha}, \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} e _ {\ lambda}) = \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g (e _ {\ lambda}, e_ {\ beta}) + \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} g (e _ {\ alpha}, e _ {\ lambda}) = \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} g_ {\ lambda \ beta} + \ Gamma _ {\ gamma \ beta} ^ {\ lambda} g _ {\ alpha \ lambda}}

tai:

{\ displaystyle \ osittainen _ {\ gamma} g _ {\ alfa \ beta} - \ gamma _ {\ gamma \ alfa} ^ {\ lambda} g _ {\ lambda \ beta} - \ gamma _ {\ gamma \ beta } ^ {\ lambda} g _ {\ alpha \ lambda} = 0}

Mutta yllä oleva ilmaisu on juuri tensorin g kovariaalinen johdannainen. ${\ displaystyle g _ {\ alfa \ beta; \ gamma}}$

fyysisen päättelyn avulla yleisen suhteellisuusteorian puitteissa .

Yksityiskohta fyysisen päättely: Tällä vastaavuuden periaate todetaan, että se on aina mahdollista löytää paikallisia Lorentzin arkistoon, jossa ensimmäinen johdannaisia metrisen on nolla, eli: . Christoffel-kertoimet riippuvat kuitenkin vain metriikan ensimmäisistä johdannaisista, joten meillä on: ja . ${\ displaystyle g _ {\ alfa \ beta, \ gamma} = 0}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ alpha \ beta \ gamma} = 0}$ ${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta; \ gamma} = 0}$

Tämä tensorial-suhde on totta missä tahansa paikallisessa lorentzilaisessa viitekehyksessä, vastaavuusperiaatteen mukaisesti , se on totta myös missä tahansa viitekehyksessä .