P0-matriisi

Vuonna matematiikka , joka on P0-matriisi on todellinen neliö matriisi , jonka suuret alaikäiset ovat positiivisia . Nämä matriisit puuttuvat lineaaristen komplementaarisuusongelmien tutkimiseen . Tähän liittyvä käsite on P-matriiseja .

Määritelmä

Seuraavassa huomautetaan alimatriisi, joka muodostuu sen elementeistä, joissa on riviindeksit ja sarakkeiden indeksitMMinä,J{\ displaystyle M_ {I, J}}M{\ displaystyle M}Minä{\ displaystyle I}J.{\ displaystyle J.}

P0-matriisi  -  Sanomme, että todellinen neliömatriisi on P0-matriisi, jos jommallakummalla seuraavista vastaavista ominaisuuksista on: M∈Rei×ei{\ displaystyle M \ sisään \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa n}}

1. kaikki pääasiallinen alaikäiset on positiivinen: kaikille nonempty ,M{\ displaystyle M}Minä⊂{1,...,ei}{\ displaystyle I \ osajoukko \ {1, \ ldots, n \}}detMMinä,Minä⩾0{\ displaystyle \ det M_ {I, I} \ geqslant 0}
2. tahansa nollasta poikkeava vektori , voimme löytää indeksin sellainen, että ja ,x∈Rei{\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}i{\ displaystyle i}xi≠0{\ displaystyle x_ {i} \ neq 0}xi(Mx)i⩾0{\ displaystyle x_ {i} (Mx) _ {i} \ geqslant 0}
3. tahansa epätyhjä The todellinen ominaisarvot ja ovat positiivisia,Minä⊂{1,...,ei}{\ displaystyle I \ osajoukko \ {1, \ ldots, n \}}MMinä,Minä{\ displaystyle M_ {I, I}}
4. mille tahansa positiiviselle selvä diagonaalinen matriisi , on kääntyvä.D.{\ displaystyle D}M+D.{\ displaystyle M + D}

Merkitään minkä tahansa asteen P0-matriisien joukkoa. Kutsumme P0- matriisiksi matriisin omaisuutta, johon kuuluu . P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}

Näiden matriisien nimen ehdottivat Fiedler ja Pták (1966), jotka osoittivat myös vastaavuuden määritelmien 1 ja 2 välillä. P0-matriisin lauseke 4 johtuu Chenistä ja Harkerista (1993).

Välittömät ominaisuudet

Määritelmästä 1 johda se

• M∈P0{\ displaystyle M \ sisään \ mathbf {P_ {0}}}jos ja vain jos ,M⊤∈P0{\ displaystyle M ^ {\ top \!} \ in \ mathbf {P_ {0}}}
• jos on symmetrinen, niin jos ja vain jos on positiivinen semi-varmaa ,M{\ displaystyle M}M∈P0{\ displaystyle M \ sisään \ mathbf {P_ {0}}}M{\ displaystyle M}
• P0∩Rei×ei{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}} \ cap \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa n}}on suljettu ja ,Rei×ei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa n}}
• jos on positiivinen puolitarkka , niinM+M⊤{\ displaystyle M + M ^ {\! \ top \!}}M∈P0.{\ displaystyle M \ sisään \ mathbf {P_ {0}}.}

Monimutkaisuus

Sen tarkistaminen, että annettu matriisi on P0-matriisi, on co-NP-täydellinen ongelma . Qei×ei{\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n \ kertaa n}}

Liitteet

Merkintä

1. (in) Mr. Fiedler, ptak V. (1966). Joitakin positiivisen tarkkuuden ja yksitoikkoisuuden yleistyksiä. Numerische Mathematik , 9, 163–172. doi
2. (en) B. Chen, PT Harker (1993). Muu kuin sisätilan jatkomenetelmä lineaarisille täydentävyysongelmille. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 14, 1168–1190. doi
3. (in) P. Tseng (2000). Joidenkin matriisiluokitteluongelmien Co-NP-täydellisyys. Matemaattinen ohjelmointi , 88, 183–192.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Lineaarinen täydentävyys
• P-matriisi

Yleiset työt

• (en) RW Cottle, J.-S.Pang, RE Stone (2009). Lineaarinen täydentävyysongelma . Sovelletun matematiikan klassikot 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• (en) RA Horn, Ch. R.Jonhson (1991). Matriisianalyysin aiheet . Cambridge University Press, New York, NY, Yhdysvallat.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">