Laskuvarjo fysiikka
Laskuvarjo on laitteiston tarkoituksena on hidastaa syksyllä esine tai ihmisen siten, että kun lasku, kohde ei tuhoudu tai henkilö loukkaantunut tai tapettu. Tämä laite koostuu leveästä kankaasta, joka hidastaa henkilön putoamista luomalla voimakkaan ilmavastuksen. Laskuvarjot on valmistettu kevyistä materiaaleista, kuten silkistä tai nailonista. Laskuvarjo on tehokas, kun terminaalin nopeuden on oltava luokkaa 30 km / h , mikä vastaa 8 m / s tai toisen vaiheen putoamista.
Erittäin yksinkertaistettu malli: laskeutumisen aikana saavutettu nopeus
Laskuvarjohyppääjän pudotessa lentokoneesta ilmavastus on aluksi pienempi kuin paino, joten putoaminen kiihtyy. Laskuvarjohyppääjä on alussa lähes painottomana 0 g: lla , kiihtyvyytensä ollessa 1 g alaspäin. Tämä ilmavastus kasvaa suhteessa putoamisen nopeuden neliöön, kunnes se on yhtä suuri kuin paino ja nopeus vakautuu. Prosessi on kuvattu linkeissä.
Kiihtyvyys vähenee vähitellen, kunnes se on vain noin 0,1 g kaarevassa asennossa noin minuutin kuluttua, juuri ennen laskuvarjon avautumista. Laskuvarjohyppääjä, joka putoaa vaakasuoraan makaavaan asentoon, jota kutsutaan "kaarevaksi", kohtaa enemmän vastustusta kuin putoaminen pystysuorassa profiloidussa asennossa (noin 300 km / h) ja laskeutuu sen vuoksi hitaammin (noin 200 km / h). olla suurempi. Hyvin erityisissä paikoissa on saavutettu hetkellinen putoamisnopeus 450 km / h .
Kun laskuvarjohyppääjä avaa laskuvarjonsa, ilma tunkeutuu kuomuun ja asettaa voimakkaan, aluksi painoa suuremman vastuksen: putoaminen jarrutetaan muutamassa sekunnissa nopeudesta noin 200 km / h - 15 km / h, mikä tarjoaa kiihtyvyyden ylöspäin 3 ja 6 g , jolloin laskuvarjohyppääjä saa kuvitteellisen nousevan vaikutelman. Nopeuden pienentyessä myös ilmavastus pienenee painon verran ja nopeus vakautuu jälleen, mutta paljon pienemmällä arvolla kuin ilman laskuvarjoa (noin 15 km / h). Vertailun vuoksi vielä suuremmalla katoksella varustettu varjoliider tarjoaa riippuvuuden, kuten riippuliituri, niin, että ilman nousut antavat sinun pysyä ripustettuna ja jopa kiivetä.
Tämä malli on kuitenkin hyvin epätäydellinen, koska kiihtyvyys ei ole vakio , mutta ” ääliö ” on vakio. Tätä asiaa käsitellään jäljempänä hyvin yksityiskohtaisesti.
Henkilön kaatuminen
Pystyssä asennossa oleva ihminen tuskin kestää yli 5 g: n kiihtyvyyttä . Sen lisäksi laskuvarjohyppääjä joutuu mustan verhon uhriksi . Vatsassa vaakasuorassa asennossa laskuvarjohyppääjä voi kiihtyä 20 g (silmät tulevat ulos pistorasioista). Suurin sallittu kiihtyvyys riippuu valotusajasta. Joka tapauksessa yli 30 g: n kiihtyvyys on kohtalokas. Lisäksi laskuvarjohyppääjä voi olla parantumattomien seurausten uhri; vaikka jotkut 18 g: n kiihdytyksestä kärsineet ihmiset ovat täysin toipuneet. Siksi on tärkeää suunnitella laskuvarjo, joka hidastaa riittävästi henkilöä eikä altista häntä mielettömille kiihdytyksille. Tämän vuoksi laskuvarjon melkein välitön avaaminen ei ole toivottavaa.
Vahvuudet
Kaksi mukana olevaa voimaa ovat:
- Ilmanvastus, joka on ;R=-12ρSVSxv2{\ displaystyle R = - {1 \ yli 2} \ rho SC_ {x} v ^ {2}}
![{\ displaystyle R = - {1 \ yli 2} \ rho SC_ {x} v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c673c873a5c323d166a514e864f53304959f285a)
- Paino: P = mg ;
- ρ on ilman tiheys;
-
S on laskuvarran tehokas alue;
-
C x on määritettävä muotokerroin;
-
v on putoamisnopeus;
-
m Onko laskuvarjohyppääjä + laskuvarjo kokoonpano.
Sen paino on suunnattu alaspäin ja kitkavoima tai ilmavastus on suunnattu ylöspäin.
Laskuvarjo on rajoittaa laskuvarjohyppääjän laskunopeutta. Tämä tehdään kahdella tavalla, lisäämällä huomattavasti päämomenttia S ja vähemmässä määrin myös kerrointa C x .
Nopeusrajoitus
- Kohteeseen sen putoamisen aikana kohdistettujen voimien tulos, laskettuna positiivisesti alaspäin, on: F = P - R ja
- Kohteen kiihtyvyys on: a = F / m .
Syksyn alussa, kun nopeus on edelleen alhainen, ilmavastus on paljon pienempi kuin paino, ja putoaminen kiihtyy.
Kun kitka kasvaa nopeuden myötä, ilmavastus tasapainottaa lopulta painon ja putoamisnopeus pyrkii kohti vakiota, jota kutsutaan rajanopeudeksi (tai päätteenopeudeksi ).
Päätteen nopeus, joka määritetään γ = 0, siis P = R , on helposti laskettavissa:
vt=2mgVSρS{\ displaystyle v _ {\ text {t}} = {\ sqrt {2mg \ yli C \ rho S}}}![{\ displaystyle v _ {\ text {t}} = {\ sqrt {2mg \ yli C \ rho S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b02765cbefd6fee45b4c899a1df7d8a7729d367)
Laskuvarjohyppääjän "naiivi" malli
On tehty väärä oletus , että laskuvarjo avautuu välittömästi.
Dynaaminen yhtälö on siis kirjoitettu:
mdvdt=mg-12ρSVSv2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ yli 2} \ rho SCv ^ {2}}![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ yli 2} \ rho SCv ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15b92dec6126dadd31de07893e9790fef6f425b)
Eli laskuvarjon alkuvaiheen putoamisnopeus laskuvarhoa avattaessa. Oletetaan, että laskuvarjohyppääjä on vapaassa pudotuksessa.
v0{\ displaystyle v_ {0}}![v_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae)
Me määrittelemme T=vt2g{\ displaystyle T = {v_ {t} \ yli 2 g}}
K=v0-vtv0+vt{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ yli v_ {0} + v_ {t}}}![{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ yli v_ {0} + v_ {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a5adb9604fb7d21df4babe505e8fae2ff78c91)
Nopeuden laki on seuraava:
v=1+Ke-tT1-Ke-tTvt{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ yli T}} \ yli 1-Ke ^ {- {t \ yli T}}} v_ {t}}![{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ yli T}} \ yli 1-Ke ^ {- {t \ yli T}}} v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1e777966db5ff8a49304267eed0d31f1e6182b)
Differentiaalikaavan ratkaisu
Siksi saamme:
dvdt=g-12ρSVSmv2{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- {1 \ yli 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- {1 \ yli 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f31b958107f90e8aa382fb88d71b1a4b3fd748)
Siksi,
dvg-12ρSVSmv2=dt{\ displaystyle {dv \ over g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}} = dt}![{\ displaystyle {dv \ over g- {1 \ over 2} {\ rho SC \ over m} v ^ {2}} = dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129badf463da6a3c041b9495d183f07357bfe704)
Siksi,
dv-2gmρSVS+v2=-ρSVS2mdt{\ displaystyle {dv \ over - {2gm \ over \ rho SC} + v ^ {2}} = - {\ rho SC \ yli 2m} dt}![{\ displaystyle {dv \ over - {2gm \ over \ rho SC} + v ^ {2}} = - {\ rho SC \ yli 2m} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2443c9f4a7d285a19720f3ac2688fa2efa0be0a9)
Muistutetaan, että päätelaitteen nopeus on:
vt=2gmρSVS{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}![{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c5554b1cde113e7a3143c3e8c80818195ddbb0)
Ratkaistava differentiaaliyhtälö on siis:
dvv2-vt2=ρSVS2mdt{\ displaystyle {dv \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {\ rho SC \ yli 2m} dt}![{\ displaystyle {dv \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {\ rho SC \ yli 2m} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10d8d6555df3e56965c53829de016e58d8de52e)
Yksi hajoaa yksinkertaisiksi elementeiksi. Huomaa, että:
1v2-vt2=12vt(1v-vt-1v+vt){\ displaystyle {1 \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {1 \ over 2v_ {t}} \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ yli v + v_ {t}} \ oikea)}![{\ displaystyle {1 \ over v ^ {2} -v_ {t} ^ {2}} = {1 \ over 2v_ {t}} \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ yli v + v_ {t}} \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a665aa73296fd474eaedadfbdb306087eb5e617a)
Siksi saamme:
12vt(1v-vt-1v+vt)dv=-gvt2dt{\ displaystyle {1 \ over 2v_ {t}} \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ right) dv = - {g \ over v_ { t} ^ {2}} dt}![{\ displaystyle {1 \ over 2v_ {t}} \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v + v_ {t}} \ right) dv = - {g \ over v_ { t} ^ {2}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96230b4b3c09c5c7090cd1281c34cf3793015810)
Siksi,
(1v-vt-1v-vt)dv=-2gvtdt{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {2g \ over v_ {t}} dt}![{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {2g \ over v_ {t}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fe2dabc7bfb9a9a5615dbd33751a6310683be9)
Me määrittelemme T=vt2g{\ displaystyle T = {v_ {t} \ yli 2 g}}
Siksi ratkaisemme:
(1v-vt-1v-vt)dv=-dtT{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {dt \ over T}}![{\ displaystyle \ left ({1 \ over v-v_ {t}} - {1 \ over v-v_ {t}} \ right) dv = - {dt \ over T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519977ce68d8d8f6ac847b8665f7abd6da0c9a53)
Laskemme primitiivisen. Siksi,
Hirsi(v-vt)-Hirsi(v+vt)=VSte-tT{\ displaystyle \ log (v-v_ {t}) - \ log (v + v_ {t}) = Cte- {t \ yli T}}![{\ displaystyle \ log (v-v_ {t}) - \ log (v + v_ {t}) = Cte- {t \ yli T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5441d0218b2c467b928249e81e3063d9a4834fd4)
Siksi,
Hirsi(v-vtv+vt)=VSte-tT{\ displaystyle \ log \ left ({v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} \ right) = Cte- {t \ yli T}}![{\ displaystyle \ log \ left ({v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} \ right) = Cte- {t \ yli T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e071665e7d613a37c2d917a6ada31f914448534)
Siksi,
v-vtv+vt=exp(VSte-tT){\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = \ exp \ left (Cte- {t \ over T} \ right)}![{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = \ exp \ left (Cte- {t \ over T} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0fa288893916abf080a574393e37f0ef09d2ed1)
Siksi,
v-vtv+vt=Ke-tT{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = Ke ^ {- {t \ over T}}}![{\ displaystyle {v-v_ {t} \ over v + v_ {t}} = Ke ^ {- {t \ over T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985d9373366fd4b37da252d7c0a5c18562d71c24)
Siksi,
v-vt=Ke-tT(v+vt){\ displaystyle v-v_ {t} = Ke ^ {- {t \ yli T}} (v + v_ {t})}![{\ displaystyle v-v_ {t} = Ke ^ {- {t \ yli T}} (v + v_ {t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191f8dd6cdea2cec28fe5ad7948facbe6325b866)
Siksi,
(Ke-tT+1)vt=v(1-Ke-tT){\ displaystyle \ left (Ke ^ {- {t \ over T}} + 1 \ right) v_ {t} = v \ left (1-Ke ^ {- {t \ over T}} \ right)}![{\ displaystyle \ left (Ke ^ {- {t \ over T}} + 1 \ right) v_ {t} = v \ left (1-Ke ^ {- {t \ over T}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae64d74eadbccff9a7f177e55cff38888a6cfb8d)
Siksi,
v=1+Ke-tT1-Ke-tTvt{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ yli T}} \ yli 1-Ke ^ {- {t \ yli T}}} v_ {t}}![{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ yli T}} \ yli 1-Ke ^ {- {t \ yli T}}} v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1e777966db5ff8a49304267eed0d31f1e6182b)
Oletetaan, että kun t = 0, sitten v = v 0 . Siksi,
v0=1+Ke01-Ke-0vt{\ displaystyle v_ {0} = {1 + Ke ^ {0} \ over 1-Ke ^ {- 0}} v_ {t}}![{\ displaystyle v_ {0} = {1 + Ke ^ {0} \ over 1-Ke ^ {- 0}} v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574a461d1f67f6952cba738f0f226861fdcfa71e)
Siksi,
(1-K)v0=(1+K)vt{\ displaystyle (1-K) v_ {0} = (1 + K) v_ {t}}![{\ displaystyle (1-K) v_ {0} = (1 + K) v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856b19a5cd929496e7d691526187b25158f8fcab)
Siksi,
K=v0-vtv0+vt{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ yli v_ {0} + v_ {t}}}![{\ displaystyle K = {v_ {0} -v_ {t} \ yli v_ {0} + v_ {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a5adb9604fb7d21df4babe505e8fae2ff78c91)
Ja niin:
v=1+Ke-tT1-Ke-tTvt{\ displaystyle v = {1 + Ke ^ {- {t \ yli T}} \ yli 1-Ke ^ {- {t \ yli T}}} v_ {t}}
Näemme, että kun sitten odotetusti.
t→∞{\ displaystyle t \ to \ infty}
v→vt{\ displaystyle v \ - v_ {t}}![{\ displaystyle v \ - v_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a753cbf1e8a419941b7e630e15286b003c4c6ee7)
Panemme merkille tuon sekunnin.
T=5/(2×10)=0,25{\ displaystyle T = 5 / (2 kertaa 10) = 0,25}![{\ displaystyle T = 5 / (2 kertaa 10) = 0,25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a172c72b9c0f6a6a3c1ff37e4de8cc989a48d6f)
Muistutetaan, että päätelaitteen nopeus on:
vt=2gmρSVS{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}![{\ displaystyle v_ {t} = {\ sqrt {2gm \ over \ rho SC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c5554b1cde113e7a3143c3e8c80818195ddbb0)
Korvaamisen jälkeen osoitamme, että alkuperäinen hidastuvuus on seuraava:
dv0dt=g-gvt2v02{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} = g- {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} = g- {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b26d658d76365df6d4b3bad13e6d79d00aa460)
Huomaa, että:
g≪gvt2v02{\ displaystyle g \ ll {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle g \ ll {g \ over v_ {t} ^ {2}} v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e255cb8729fd7b4f905c2e379fc062d78a95c8a2)
Siksi,
dv0dt≈-g(v0vt)2{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} \ approx -g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}![{\ displaystyle {dv_ {0} \ over dt} \ approx -g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52be33f24de03d6f751c7c0fe04a3b89f30d4ab)
Tämä malli on ilmeisesti virheellinen, koska jos oletamme sen ja koska nämä 2 arvoa ovat kohtuullisia, laskuvarjohyppääjälle suoritettaisiin 100 g: n kiihtyvyys, joka tappaisi hänet varmasti.
vt=8{\ displaystyle v_ {t} = 8}
v0=80{\ displaystyle v_ {0} = 80}![{\ displaystyle v_ {0} = 80}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d82d49bdfe677728e02d8180309036ce4d34be7)
Avautuu rajallisessa ajassa
On tunnettua, että laskuvarjon avaamisen aikana kuljettu matka on riippumaton alkuolosuhteista. Tämä perusteltiin ranskan kielellä.
Joten välitön käyttöönottomalli on virheellinen, ja kokemus kiistää sen. Todellakin, Knack osoitti, että avaamisaika oli ohi ja että ääliö oli vakio, kuten vastakkaisessa kuvassa näkyy.
Lisäksi Potvin vahvisti kokeellisesti Knackin tulokset ja osoitti kokeellisesti, että suurin kiihtyvyys oli välillä 5-7 g ja että kiihtyvyys kasvaa lineaarisesti ajan myötä täydelliseen käyttöönottoon (laskuvarjoihin suorakaiteen muotoinen). Nämä tulokset ovat täysin ristiriidassa edellä ehdotetun naiivin mallin kanssa .
Siksi voimme olettaa, että ensimmäisenä likiarvona ääliö (joka on kiihtyvyyden derivaatti ajan suhteen) on vakio. Meade ehdotti, että laskuvarjojen avautumismalli tulisi jakaa kolmeen vaiheeseen, jotka ovat:
- Laskuvarjohyppääjän vapaa pudotus: päämomentti on S 0, jos asymptoottinen nopeus on v 0 .
- Laskuvarjon avautumisvaihe, jossa päämomentti kasvaa (lineaarisesti?). Nopeus v vaihtelee merkittävästi;
- Päätevaihe, jossa laskuvarjo on täysin auki ja putoamisnopeus lähestyy v t .
Seuraavat yhtälöt perustuvat Meaden malliin. Ensimmäisenä arvioina voidaan olettaa, että katoksen säde vaihtelee lineaarisesti ajan myötä. Joten puolipallomaisen laskuvarjon tehollinen alue kasvaa neliöllisesti ajan funktiona. Nykyaikaiselle laskuvarjolle, jolla on pitkänomainen sylinterimäinen muoto (kuten kuvassa on esitetty vastakkaisessa kuvassa), voidaan ajatella, että tehokas osa kasvaa lineaarisesti ajan funktiona, koska tehokas alue on yksinkertaisesti verrannollinen sylinterin säteeseen. Tämä vahvistetaan ensimmäisenä arvioina Knackin tutkimuksella, joka osoittaa kuormituskertoimen melkein lineaarisen kasvun, kuten yllä olevassa kuvassa on esitetty.
Dynaaminen yhtälö on siis kirjoitettu:
mdvdt=mg-12ρS(t)VSv2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ yli 2} \ rho S (t) Cv ^ {2}}![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ yli 2} \ rho S (t) Cv ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba990f4a390099df69f35974db15050a0be67e8)
Oletamme, että alue vaihtelee lineaarisesti ja kirjoitamme
S(t)=S0+σt{\ displaystyle S (t) = S_ {0} + \ sigma t}![{\ displaystyle S (t) = S_ {0} + \ sigma t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f7651f4554b9aaf58c67a588c27aee447b36c1)
Olkoon t 0 laskuvarjon käyttöönoton kesto. Dynaaminen yhtälö voidaan sitten kirjoittaa:
dvdt=g(1-(vv0)2)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c995cee642c5c1f8044ed3c4ac9038b2cd2404)
Dynaamisen yhtälön laskeminen rajalliselle avautumisajalle
mdvdt=mg-12ρVS(S0+σt)v2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ yli 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma t) v ^ {2}}![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- {1 \ yli 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma t) v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea963360d758b6a6f2e50e269e2f84575da1fc7)
Oletetaan, että kun t = 0, on tasapaino. Siksi,
0=mdvdt(t=0)=mg-12ρVS(S0+σ0)v(t=0)2{\ displaystyle 0 = m {dv \ over dt} (t = 0) = mg- {1 \ yli 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v (t = 0) ^ {2}}![{\ displaystyle 0 = m {dv \ over dt} (t = 0) = mg- {1 \ yli 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v (t = 0) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad7bd29b5f4cdd0360cd434f875035e992ba16a)
Panemme merkille . Joten meillä on:
v0=v(t=0){\ displaystyle v_ {0} = v (t = 0)}![{\ displaystyle v_ {0} = v (t = 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314f6a035a5c277e7b8620c4d907113e2d9559ee)
0=mg-12ρVS(S0+σ0)v02{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ yli 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ yli 2} \ rho C (S_ {0} + \ sigma 0) v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd850a43104018aacec77302a6c6612ef29a9f1)
Siksi,
0=mg-12ρVSS0v02{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ yli 2} \ rho CS_ {0} v_ {0} ^ {2}}![{\ displaystyle 0 = mg- {1 \ yli 2} \ rho CS_ {0} v_ {0} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81bc48d6da98aa9e04dc5d00578262cacfb5e23)
Siksi,
12ρVSS0=mgv02{\ displaystyle {1 \ yli 2} \ rho CS_ {0} = {mg \ yli v_ {0} ^ {2}}}![{\ displaystyle {1 \ yli 2} \ rho CS_ {0} = {mg \ yli v_ {0} ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24e42335841ecb310b6d0490519e44999e8ff7c)
Dynaamisesta yhtälöstä tulee siis:
mdvdt=mg-(mgv02+12ρVSσt)v2{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- \ left ({mg \ over v_ {0} ^ {2}} + {1 \ over 2} \ rho C \ sigma t \ right) v ^ {2} }![{\ displaystyle m {dv \ over dt} = mg- \ left ({mg \ over v_ {0} ^ {2}} + {1 \ over 2} \ rho C \ sigma t \ right) v ^ {2} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a763fe3739b00a432039b2f2f5923e4e4d69be)
Siksi,
dvdt=g-(gv02-12ρVSσmt)v2{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- \ left ({g \ over v_ {0} ^ {2}} - {1 \ over 2} {\ rho C \ sigma \ over m} t \ right) v ^ {2}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g- \ left ({g \ over v_ {0} ^ {2}} - {1 \ over 2} {\ rho C \ sigma \ over m} t \ right) v ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc77eea49fd53ace4b7c14913ff0af8554d7b37f)
Meillä on: . Siksi,
σ=S/t0{\ displaystyle \ sigma = S / t_ {0}}![{\ displaystyle \ sigma = S / t_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b19a6ede134d660a1fca9823142f773d3fe78b6)
dvdt=g(1-(vv0)2)-12ρVSSmt0tv2{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) - {1 \ over 2} {\ rho CS \ yli mt_ {0}} tv ^ {2}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) - {1 \ over 2} {\ rho CS \ yli mt_ {0}} tv ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172aff836a883c34f73c0dc3e0f2c5747a30222e)
Muista se
12ρVSSm=1vtg2{\ displaystyle {1 \ yli 2} {\ rho CS \ over m} = {1 \ yli v_ {t}} g ^ {2}}![{\ displaystyle {1 \ yli 2} {\ rho CS \ over m} = {1 \ yli v_ {t}} g ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340dd994e644c33cd47837dc8da89d599cf68e12)
Siksi,
dvdt=g(1-(vv0)2)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1- \ left ({v \ over v_ {0}} \ right) ^ {2} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}
Tämän niin kutsutun Riccati- differentiaaliyhtälön tiukka ratkaisu sisältää ilmavia toimintoja, jotka ovat selvästi tämän keskustelun tavoitteen ulkopuolella.
Koska olemme kiinnostuneita käyttäytymisestä laskuvarjo-aukon alkaessa ja osoitamme, että hidastuvuus on siedettävä, linearisoimme differentiaaliyhtälön ja tutkimme käyttäytymistä, kun t on pieni.
Me määrittelemme . Me määrittelemme
w=v0-v>0{\ displaystyle w = v_ {0} -v> 0}![{\ displaystyle w = v_ {0} -v> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5858604e3b325a1925748ef57ebce27ef67c390)
x=2gv0t{\ displaystyle x = {2g \ yli v_ {0}} t}![{\ displaystyle x = {2g \ yli v_ {0}} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44af5b3fdb493d0b64c015a7d06e016aaf903895)
Voimme osoittaa, että:
w=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+e-x){\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}
dwdx=gt0(v0vt)2(v02g)2(1-e-x){\ displaystyle {dw \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2 g} \ oikea) ^ {2} (1-e ^ {- x})}![{\ displaystyle {dw \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2 g} \ oikea) ^ {2} (1-e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8ffeb652677c3299cced4ed7cddc2958371abe)
Siksi,
d2wdx2=gt0(v0vt)2(v02g)2e-x{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ vasen ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {- x}}![{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ vasen ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74059b33e4a44d2c5f915c4fe67e41d87f3901fe)
Huomaa, että x pienelle, meillä on .
e-x≈1{\ displaystyle e ^ {- x} \ noin 1}![{\ displaystyle e ^ {- x} \ noin 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dc86199ea04572f195978f2e8e4a8c6ee56963)
Joten, saamme:
x≪1{\ displaystyle x \ ll 1}![{\ displaystyle x \ ll 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735b23270ff44ee7804e7412d368833a63a716fd)
w≈12gt0(v0vt)2(v02g)2x2{\ displaystyle w \ approx {1 \ over 2} {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} x ^ {2}}
dwdx≈gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle {dw \ over dx} \ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} x}
d2wdx2≈gt0(v0vt)2(v02g)2{\ displaystyle {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} \ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2 } \ vasen ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2}}
Näemme, että x pienellä, ääliö on käytännössä vakio.
Todiste likimääräisestä kaavasta
Siksi,
dvdt=g(1+vv0)(1-vv0)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1+ {v \ over v_ {0}} \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ( {v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = g \ left (1+ {v \ over v_ {0}} \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ( {v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c7fe485a4ba4ff1925ff0a104ec2e08def521b)
Aluksi ilmavastus on paljon suurempi kuin paino ja yksi on . Siksi voimme yksinkertaistaa yhtälöä
v≈v0{\ displaystyle v \ approx v_ {0}}![{\ displaystyle v \ approx v_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b119d268378f77a79d77ed18523e3e40f4e0b44)
dvdt≈g(1+1)(1-vv0)-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} \ approx g \ left (1 + 1 \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} \ approx g \ left (1 + 1 \ right) \ left (1- {v \ over v_ {0}} \ right) -g \ left ({v \ over v_ {t }} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957cf8c2c7f17ea3dca3b159a18f01b5e349f7bd)
Siksi,
dvdt=2gv0-vv0-g(vvt)2tt0{\ displaystyle {dv \ over dt} = 2g {v_ {0} -v \ over v_ {0}} - g \ left ({v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle {dv \ over dt} = 2g {v_ {0} -v \ over v_ {0}} - g \ left ({v \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d5c95e62541fc4ce255907a4e247f087d4c5c)
Me poseeraa w=v0-v{\ displaystyle w = v_ {0} -v}
Siksi,
d(v0-w)dt=2gwv0-g(v0vt)2tt0{\ displaystyle {d (v_ {0} -w) \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ { 2} {t \ yli t_ {0}}}![{\ displaystyle {d (v_ {0} -w) \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ { 2} {t \ yli t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d0729182c9da5c6d1cc95dcc7c4993fc448f88)
Se on ensimmäisen kertaluvun ja t on pieni (ehdot poistamalla 2 th järjestyksessä)
Siksi,
-dwdt=2gwv0-g(v0vt)2tt0{\ displaystyle - {dw \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle - {dw \ over dt} = 2g {w \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6053fb4d4eaff7a32ff9f11f2d9a42c6de30e8)
Meillä on lineaarinen yhtälö toisen jäsenen kanssa.
Homogeenisen järjestelmän ratkaisu on
-dWdt=2gWv0{\ displaystyle - {dW \ over dt} = 2g {W \ over v_ {0}}}![{\ displaystyle - {dW \ over dt} = 2g {W \ over v_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa183fd30221c2986af3fe8d854a3a77193d0c4)
Siksi saamme:
dWW=-2gv0dt{\ displaystyle {dW \ over W} = - {2g \ over v_ {0}} dt}![{\ displaystyle {dW \ over W} = - {2g \ over v_ {0}} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b16be5279a5bb3b2e655d25962b1e1683313a8)
Siksi,
Hirsi(W)=VSte-2gv0t{\ displaystyle \ log (W) = Cte- {2g \ yli v_ {0}} t}![{\ displaystyle \ log (W) = Cte- {2g \ yli v_ {0}} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77634ffa447010002a7f645707c0cc1212bba7b)
Siksi,
W=exp(-2gv0t){\ displaystyle W = \ exp \ left (- {2g \ yli v_ {0}} t \ oikea)}![{\ displaystyle W = \ exp \ left (- {2g \ yli v_ {0}} t \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774974713191000c31e45139be904a289c14ffee)
Muutamme nyt vakiota K ja määrittelemme:
w=KW{\ displaystyle w = KW}![{\ displaystyle w = KW}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d130afb55389881327922b521842edc0fcdc06)
Sitten saamme:
-d(KW)dt=2gKWv0-g(v0vt)2tt0{\ displaystyle - {d (KW) \ over dt} = 2g {KW \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}![{\ displaystyle - {d (KW) \ over dt} = 2g {KW \ over v_ {0}} - g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2410e7c305eb2d9b44adf68cd02419591161abe)
Vastaavasti:
d(KW)dt=-2gKWv0+g(v0vt)2tt0{\ displaystyle {d (KW) \ over dt} = - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}![{\ displaystyle {d (KW) \ over dt} = - 2g {KW \ over v_ {0}} + g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c516ffdebd62d97a7f524bb9e7562798656fefd3)
Siksi,
K′W+KW′=-2gKWv0+g(v0vt)2tt0{\ displaystyle K'W + KW '= - 2g {KW \ yli v_ {0}} + g \ vasen ({v_ {0} \ yli v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}![{\ displaystyle K'W + KW '= - 2g {KW \ yli v_ {0}} + g \ vasen ({v_ {0} \ yli v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c71144b471fe3ec284f44070de745d8788ac0d)
On yksinkertaistamista ja siksi:
K′W=g(v0vt)2tt0{\ displaystyle K'W = g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K'W = g \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8b3feabb98745d0e3d43d979e24289a0d0b82a)
Siksi ongelma johtuu antivivatiivin laskemisesta.
K′=g1W(v0vt)2tt0{\ displaystyle K '= g {1 \ yli W} \ vasen ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K '= g {1 \ yli W} \ vasen ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc0f010f3050a1354dc704bfdd11f8e41ba6d34)
Siksi,
K′=g1W(v0vt)2tt0{\ displaystyle K '= g {1 \ yli W} \ vasen ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}![{\ displaystyle K '= g {1 \ yli W} \ vasen ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ over t_ {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc0f010f3050a1354dc704bfdd11f8e41ba6d34)
Siksi,
K′=ge2gv0t(v0vt)2tt0{\ displaystyle K '= ge ^ {{2g \ yli v_ {0}} t} \ vasen ({v_ {0} \ yli v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0} }}![{\ displaystyle K '= ge ^ {{2g \ yli v_ {0}} t} \ vasen ({v_ {0} \ yli v_ {t}} \ oikea) ^ {2} {t \ yli t_ {0} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f576adb8a26c694ce80be4168011ecfdb3e6708a)
Siksi,
K′=gt0(v0vt)2e2gv0tt{\ displaystyle K '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {{2g \ over v_ {0}} t } t}![{\ displaystyle K '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {{2g \ over v_ {0}} t } t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870300e8f39cc10a01992bd5aa7c0c7d34293a20)
Me määrittelemme
x=2gv0t{\ displaystyle x = {2g \ yli v_ {0}} t}![{\ displaystyle x = {2g \ yli v_ {0}} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44af5b3fdb493d0b64c015a7d06e016aaf903895)
Siksi,
dKxdxdt=gt0(v0vt)2exxv02g{\ displaystyle {dK \ over x} {dx \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ { x} {xv_ {0} \ yli 2 g}}![{\ displaystyle {dK \ over x} {dx \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ { x} {xv_ {0} \ yli 2 g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c5b9c2b136e51e85e05b4584f952b1df4506a9)
Siksi,
dKdx2gv0=gt0(v0vt)2exxv02g{\ displaystyle {dK \ over dx} {2g \ over v_ {0}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0} \ yli 2g}}![{\ displaystyle {dK \ over dx} {2g \ over v_ {0}} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0} \ yli 2g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081b7e58fa85783e04a564560dcb5c58d8d5d29d)
Siksi,
dKdx=gt0(v0vt)2exxv02gv02g{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0 } \ yli 2g} {v_ {0} \ yli 2g}}![{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} e ^ {x} {xv_ {0 } \ yli 2g} {v_ {0} \ yli 2g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f39078d7f5f25c3b93aed15bf4c05dfc285d99)
Siksi,
dKdx=gt0(v0vt)2(v02g)2exx{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {x} x}![{\ displaystyle {dK \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {x} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca461afee3697b8f01e69b2db5eae0be278011d)
Alkuperäinen ∫xex=xex-ex{\ displaystyle \ int xe ^ {x} = xe ^ {x} -e ^ {x}}
Siksi saamme:
K=gt0(v0vt)2(v02g)2(exx-ex)+VSte{\ displaystyle K = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte}![{\ displaystyle K = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71353ccd42187e89e23df17018eb435e8ec43ba)
Siksi,
w=Ke-x=gt0(v0vt)2(v02g)2[(exx-ex)+VSte]e-x{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} \ vasen [(e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte \ oikea] e ^ {- x}}![{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} \ vasen [(e ^ {x} xe ^ {x}) + Cte \ oikea] e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9bd39386389e862475d8e07c98e1034674ae61)
Siksi,
w=Ke-x=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1)+VSte×e-x{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} (x-1) + Cte \ kertaa e ^ {- x}}![{\ displaystyle w = Ke ^ {- x} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0 } \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} (x-1) + Cte \ kertaa e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0d18aa5aa8839670d9f93025559325829b5155)
Kun t = 0 , meillä on x = 0 . Siksi,
0=gt0(v0vt)2(v02g)2(0-1)+VSte×e0{\ displaystyle 0 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (0-1) + Cte \ kertaa e ^ {0}}![{\ displaystyle 0 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (0-1) + Cte \ kertaa e ^ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4b8b71171d91ef05f512889e2e08a9ec531c28)
Siksi,
VSte=+gt0(v0vt)2(v02g)2{\ displaystyle Cte = + {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ oikea) ^ {2}}![{\ displaystyle Cte = + {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ oikea) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5fb3125413808809e6356a5294a816593aa2f1)
Siksi,
w=gt0(v0vt)2(v02g)2(1-x)-gt0(v0vt)2(v02g)2e-x{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (1-x) - {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {- x}}![{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (1-x) - {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccb29c4ac13768066cd278d02072cee4a783bd9)
Siksi,
w=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+e-x){\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}![{\ displaystyle w = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ right ) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca294de5eb88a885287ea0f3ee525aaff0d95fb0)
Siksi,
w′=gt0(v0vt)2(v02g)2(1-e-x){\ displaystyle w '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ oikea) ^ {2} (1-e ^ {- x})}![{\ displaystyle w '= {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ oikea) ^ {2} (1-e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717edf36fd4f639f18358cff4e46027e651bef6d)
Siksi,
w″=gt0(v0vt)2(v02g)2e-x{\ displaystyle w '' = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {- x}}![{\ displaystyle w '' = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ oikea) ^ {2} e ^ {- x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e99fac7e582f9e0c8bbad11c1b782402430adf)
Näemme, että x pienellä,
ääliö on käytännössä vakio.
Laskemme nyt karkean arvion kiihtyvyydestä milloin .
w(x)=v0/2{\ displaystyle w (x) = v_ {0} / 2}![{\ displaystyle w (x) = v_ {0} / 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c989c027b64ba69f45af524d62358c9e17d37437)
Näytämme sen
x=4t0gvt2v03{\ displaystyle x = {\ sqrt {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}}![{\ displaystyle x = {\ sqrt {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ over v_ {0} ^ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee6793735c82936a8ab5165ef0880733973afec)
Normalisoidun ajan laskeminen
Pidämme x: tä pienenä ja laskemme x: n siten, että meillä onw=v0/2{\ displaystyle w = v_ {0} / 2}
Ratkaisemme:
v0/2=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+e-x){\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}![{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} (x-1 + e ^ {- x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685f50f55b06512bd544168bf866342b553190a9)
Teemme rajoitettua kehitystä
v0/2=gt0(v0vt)2(v02g)2(x-1+(1-x+x2/2)){\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} (x-1 + (1-x + x ^ {2} / 2))}![{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} (x-1 + (1-x + x ^ {2} / 2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e436cf2cba5aee784e67c2d1a6728d1a037ef294)
Siksi,
v0/2=gt0(v0vt)2(v02g)2x2/2{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2 g} \ oikea) ^ {2} x ^ {2} / 2}![{\ displaystyle v_ {0} / 2 = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ yli 2 g} \ oikea) ^ {2} x ^ {2} / 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28c3fd666c9e43de5311ef4010e002c50edf634)
Siksi,
v0=gt0(v0vt)2(v02g)2x2{\ displaystyle v_ {0} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ oikea) ^ {2} x ^ {2}}![{\ displaystyle v_ {0} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g } \ oikea) ^ {2} x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ac413fe601ae7dd454bac40b954f10fab8618c)
Siksi,
x2=v0t0g(vtv0)2(2gv0)2{\ displaystyle x ^ {2} = v_ {0} {t_ {0} \ yli g} \ vasen ({v_ {t} \ yli v_ {0}} \ oikea) ^ {2} \ vasen ({2g \ yli v_ {0}} \ oikealle) ^ {2}}![{\ displaystyle x ^ {2} = v_ {0} {t_ {0} \ yli g} \ vasen ({v_ {t} \ yli v_ {0}} \ oikea) ^ {2} \ vasen ({2g \ yli v_ {0}} \ oikealle) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9429fdaf41c0a24335e158ea15a3cbc9760b8fd)
Siksi,
x2=v0t0vt24g2gv02v02{\ displaystyle x ^ {2} = {v_ {0} t_ {0} v_ {t} ^ {2} 4g ^ {2} \ yli gv_ {0} ^ {2} v_ {0} ^ {2}} }![{\ displaystyle x ^ {2} = {v_ {0} t_ {0} v_ {t} ^ {2} 4g ^ {2} \ yli gv_ {0} ^ {2} v_ {0} ^ {2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aabe96f0c69dd5626a0022f912edd2c6b427f6)
Siksi,
x2=4t0gvt2v03{\ displaystyle x ^ {2} = {4t_ {0} gv_ {t} ^ {2} \ yli v_ {0} ^ {3}}}
Oletamme että ja . Sitten saammevt=7{\ displaystyle v_ {t} = 7}
v0=50{\ displaystyle v_ {0} = 50}
t0=5{\ displaystyle t_ {0} = 5}
t≈0.5{\ displaystyle t \ noin 0,5}
x2=4×5×10×72503{\ displaystyle x ^ {2} = {4 \ kertaa 5 \ kertaa 10 \ kertaa 7 ^ {2} \ yli 50 ^ {3}}}![{\ displaystyle x ^ {2} = {4 \ kertaa 5 \ kertaa 10 \ kertaa 7 ^ {2} \ yli 50 ^ {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ad632a44ec870fc7e78eaf7ce3c18c20747890)
Siksi x = 0,28
Arvioitu kiihtyvyys on siis seuraava
dwdt=v032t0vt2x{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951fa8a3ae311af5a9123f649cfa1a696ad7a869)
Kiihtyvyyden laskeminen milloin
v=v0/2{\ displaystyle v = v_ {0} / 2}
For X pieni, meillä on:
w′≈gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle w '\ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ oikea) ^ {2} x}![{\ displaystyle w '\ approx {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ({v_ {0} \ over 2g} \ oikea) ^ {2} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989ec7f4cb22f385e35cbd8355eeadef64c46307)
Siksi,
dwdtdtdx=gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle {dw \ over dt} {dt \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ( {v_ {0} \ yli 2 g} \ oikea) ^ {2} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} {dt \ over dx} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ left ( {v_ {0} \ yli 2 g} \ oikea) ^ {2} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de91249b782e8a97a725ba8bb71b4a8821585398)
Korvataan dt / d x. Siksi,
dwdtv02g=gt0(v0vt)2(v02g)2x{\ displaystyle {dw \ over dt} {v_ {0} \ over 2g} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ vasen ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} {v_ {0} \ over 2g} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} \ vasen ({v_ {0} \ yli 2g} \ oikea) ^ {2} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9a8601488245de18f1b95a19772283b94238fe)
Siksi,
dwdt=gt0(v0vt)2v02gx{\ displaystyle {dw \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {v_ {0} \ over 2g} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {g \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2} {v_ {0} \ over 2g} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94714e052eba8d2c818f77a7c925f287409ea9ac)
Siksi saamme:
dwdt=gv02v0t0vt22gx{\ displaystyle {dw \ over dt} = {gv_ {0} ^ {2} v_ {0} \ over t_ {0} v_ {t} ^ {2} 2g} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {gv_ {0} ^ {2} v_ {0} \ over t_ {0} v_ {t} ^ {2} 2g} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a010fff2f5f08f0cf044126173f6a3c60c42614)
Siksi,
dwdt=v032t0vt2x{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {v_ {0} ^ {3} \ over 2t_ {0} v_ {t} ^ {2}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951fa8a3ae311af5a9123f649cfa1a696ad7a869)
Siksi,
dwdt=2gtt0(v0vt)2{\ displaystyle {dw \ over dt} = 2g {t \ over t_ {0}} \ left ({v_ {0} \ over v_ {t}} \ right) ^ {2}}
Numeerisesti meillä on:
dwdt=5032×5×72×0,28=71.4{\ displaystyle {dw \ over dt} = {50 ^ {3} \ yli 2 \ kertaa 5 \ kertaa 7 ^ {2}} \ kertaa 0,28 = 71,4}![{\ displaystyle {dw \ over dt} = {50 ^ {3} \ yli 2 \ kertaa 5 \ kertaa 7 ^ {2}} \ kertaa 0,28 = 71,4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d817f6c5f29f8d23eca40286a8d17560b24f07c)
Kiihtyvyys on sitten luokkaa 7 g .
Lisäksi Potvinin kokeelliset tulokset ovat yhdenmukaisia tämän mallin kanssa. Mittaukset osoittivat, että ääliö oli suunnilleen vakio laskuvarjoa avattaessa ja että suurin kiihtyvyys oli luokkaa 7 g .
Malli ei ottanut huomioon viivojen joustavuutta. Arvot ovat kuitenkin hyvin lähellä Potvinin antamia kokeellisia arvoja.
Avaruuskoettimien paluu
Kun avaruusalus saapuu ilmakehään, nopeus on yleensä yliääntä eikä yllä olevaa mallia sovelleta.
Huomautuksia ja viitteitä
-
(sisään) " Laskuvarjourheilun fysiikka "
-
(sisään) " Laskuvarjourheilun fysiikka "
-
(in) Dane Lenaker, " fysiikan Skydiving " ,2002
-
" Minkä nopeuden voit saavuttaa vapaapudotuksen aikana?" » (Pääsy 5. tammikuuta 2017 )
-
(in) Dulli Chandra Agrawal, " Fysiikan opettaminen: laskuvarjohyppääjien nopeus " , fysiikan koulutus ,heinäkuu 2000( DOI 10.1088 / 0031-9120 / 35/4/11 , lue verkossa )
-
(in) " Live results 2016 " (käyty 5. tammikuuta 2017 )
-
(in) Jean Potvin ja Gary Peek, " laskuvarjo avaaminen Shock Basics " ,2001(näytetty on 1 st päivänä tammikuuta 2017 )
-
(en) Robert V. Brulle, Avaruusajan suunnittelu: Raketitutkija muistaa , Air University Press,heinäkuu 2008, 268 Sivumäärä ( ISBN 978-1-58566-184-8 , luettu verkossa ) , s. 135
-
(in) Calvin Lee, " Laskuvarjojen avaamisen mallintaminen: kokeellinen tutkimus " , Journal of Aircraft , Aerospace Research Central flight. 26, n o 5,1989( DOI 10.2514 / 3.45783 )
-
(in) Dean F. Wolf, " laskuvarjo Asennus " (näytetty 3 päivänä tammikuuta 2017 ) , s. 5
-
(in) Kenneth E. French, " Inflaatio laskuvarjosta " , AIAA Journal , AIAA, voi. 1, n o 11,Marraskuu 1963( DOI 10.2514 / 3.2113 )
-
(sisään) Theo W. Knack, " Laskuvarjojen palautusjärjestelmien suunnitteluopas " ,Maaliskuu 1991(näytetty on 1 st päivänä tammikuuta 2017 ) ,s. 5-49
-
(in) Jean Potvin , " Universaalisuus Huomioitavaa Piirtäminen Laskuvarjo avaaminen Shock Factor Versus massan suhde " , Journal of Aircraft , Aerospace Research Keski lennon. 44, n ° 22007, s. 529-533 ( DOI 10.2514 / 1.24061 )
-
(sisään) Douglas B.Meade , " ODE-mallit laskuvarjohäiriölle " (käytetty 22. joulukuuta 2016 )
-
(en) Douglas B. Meade ja Allan A Struthers , " Differential Equations in the New Millennium: the Parachute Problem " , International Journal of Engineering , voi. 15, n ° 6,1999, s. 419 ( lue verkossa , kuultu 7. tammikuuta 2017 )
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">