Kun matemaattinen alalla on numeerinen analyysi , Runge ilmiö ilmenee yhteydessä polynomi-interpolointi , erityisesti Lagrange interpoloimalla . Tietyillä (jopa analyyttisillä ) toiminnoilla interpolointipisteiden lukumäärän n lisääminen ei välttämättä ole hyvä lähentämisstrategia.
Tutkimalla tätä kysymystä saksalainen matemaatikko Carl Runge havaitsi vuonna 1901 intuition vastaisen tuloksen: on kokoonpanoja, joissa funktion ja sen interpoloinnin suurin ero kasvaa loputtomasti n: n kanssa .
Harkitse seuraavaa toimintoa:
Tarkastellaan ( n + 1) pistettä tasaisesti jakautuneina segmenttiin [–1, 1] :
Lopuksi tarkastellaan f : n interpoloivaa polynomia pisteissä ( x i ) , ts. Ainutkertaista polynomia P , jonka aste on pienempi tai yhtä suuri kuin n, niin että P ( x i ) = f ( x i ) kaikille i: lle . Merkitään P n: llä tätä polynomia.
Runge osoitti, että interpolointi välinen virhe P n ja f pyrkii äärettömyyteen kun n kasvaa. Toisin sanoen, mitä enemmän pisteitä kiinnitämme sinne, missä polynomilla on sama arvo kuin f , sitä vähemmän lähestymme funktiota. Muodollisesti:
Itse asiassa, kun yhä useita kohtia, näemme, että polynomin alkaa värähdellä voimakkaasti pisteiden välillä x i , jossa on yhä amplitudi, kuten on esitetty kuvassa.
Rungen ilmiö on seurausta ongelman kahdesta ominaisuudesta.
Toistuvilla Rolle-lauseen sovelluksilla voimme osoittaa, että interpoloinnissa, jossa on n + 1 tasaisesti jaettua pistettä, on olemassa piste , joka
Valitussa esimerkissä funktion peräkkäisten johdannaisten arvot kasvavat pisteiden lukumäärän kanssa, joten kunkin interpolointipisteen väliset värähtelyt vahvistuvat.
Lisäksi kun interpolointisolmut ovat jakautuneet tasaisesti, tämä pahentaa tilannetta, kuten alla selitetään. Itse asiassa yleisemmässä kehyksessä Lagrangin interpolointi yhtä kaukana olevilla solmuilla ei ole paras. Merkitsemällä ( l i ) pisteisiin ( x i ) liitettyjen Lagrange-polynomien pohja , meillä on:
josta johdamme seuraavan arvion:
Vakio kutsutaan Lebesgue vakio liittyy pisteiden ( x i ) . Huomaa, että Lebesgue-vakio riippuu vain interpolointisolmuista (se on riippumaton interpoloitavasta toiminnosta). Tasapuolisten pisteiden tapauksessa tämä vakio voidaan arvioida seuraavasti:
jossa E , joukko Euler tai vakion Neperin , arvoisen 2,7183 ... Siten nähdään, että tässä tapauksessa, jatkuva Lebesgue pyrkii nopeasti kohti suuria arvoja.
Rungen ilmiö korostaa sitä tosiasiaa, että polynomien interpolointi ei aina sovellu hyvin toimintojen lähentämiseen.
Voimme minimoida interpoloivien polynomien värähtelyn käyttämällä Chebyshev-absisseja tasaisesti jakautuneiden pisteiden sijasta interpolointiin. Tässä tapauksessa voimme osoittaa, että interpolointivirhe (ts. ) Pienenee, kun n kasvaa (voimme nähdä tämän tutkimalla Chebyshev-pisteiden Lebesgue-vakiota logaritmisessa kasvussa).
Lähestyäksemme funktiota polynomien kanssa saatamme mieluummin käyttää esimerkiksi uria (nämä ovat paloittain polynomeja). Tässä tapauksessa lähentämisen parantamiseksi lisäämme kappaleiden määrää eikä polynomien astetta.
Hyviä tuloksia on mahdollista saada etsimällä korkeamman asteen polynomia (esimerkiksi 2 n ), mutta muotoilemalla ongelma rajoitteiden mukaisen optimoinnin avulla (jotta absorboituu ylimääräiset vapausasteet uudelleen). Etsimme kaikkien interpolointipisteissä funktion ylittävien polynomien joukosta sitä, joka minimoi
Kyse on neliöllisen muodon minimoimisesta lineaaristen rajoitusten alaisena, mikä lopulta vastaa lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisemista .
Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ yksityiskohdat painoksista ] , luku. IX, liite, s. 319-320
Voimme verrata Rungen ilmiötä Gibbsin ilmiöön, joka tapahtuu, kun interpoloimme funktioita trigonometristen polynomien avulla.