Riemannin ongelma
On matematiikka , joka on Riemannin ongelma , jota kutsutaan Bernhard Riemann , nimeää lähtötiedot ongelma koostuu järjestelmän hyperbolinen kehittyminen yhtälöt ja piece- viisasta vakio lähtötiedot , joissa on vain yksi epäjatkuvuuskohta. Riemannin ongelmat tarjoavat selkeät ratkaisut monimutkaisiin epälineaarisiin yhtälöihin, kuten Eulerin yhtälöihin , ja ovat siten erittäin hyödyllisiä ymmärtämään tällaisten yhtälöiden ratkaisujen yleistä käyttäytymistä.
On numeerinen analyysi , Riemannin ongelmat näkyvät luonnollisesti soveltaminen äärellinen tilavuuden menetelmä ja säilymislait, ja erityisesti Godunov järjestelmässä , johtuen erillisten luonteesta approksimaatio mesh. Siksi sitä käytetään laajalti nestedynamiikan ja magnetohydrodynamiikan numeerisissa laskelmissa .
Määritelmä
Harkitsemme luonnonsuojelulakijärjestelmää (tässä yksinkertaistetaan ulottuvuudessa yksi):
∂∂tu(t,x)+∂∂xf(u(t,x))=0,(t,x)∈R+×R,{\ displaystyle {\ frac {\ partisalaatti {\ ositettu t}} \ mathbf {u} (t, x) + {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} \ matbf {f} (\ mathbf {u } (t, x)) = 0, \ qquad (t, x) \ sisään \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R},}missä on tuntematon ja annetaan. Lisätään tähän järjestelmään alkuehto:
u:R+×R→Rm{\ displaystyle \ mathbf {u} \ kaksoispiste \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}f:Rm→Rm{\ displaystyle \ mathbf {f} \ kaksoispiste \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
u(t=0,x)=g(x),x∈R,{\ displaystyle \ mathbf {u} (t = 0, x) = \ mathbf {g} (x), \ qquad x \ sisään \ mathbb {R},}missä annetaan.
g:R→Rm{\ displaystyle \ mathbf {g} \ kaksoispiste \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
Jos funktio g on vakio kappaleittain, se tarkoittaa, että se on olemassa , samoin kuin sellainen
x0∈R{\ displaystyle x_ {0} \ sisään \ mathbb {R}}(gG,gD)∈Rm×Rm{\ displaystyle (\ mathbf {g} _ {G}, \ mathbf {g} _ {D}) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ kertaa \ mathbb {R} ^ {m}}
g(x)={gG,x<x0,gD,x>x0,x∈R,{\ displaystyle \ mathbf {g} (x) = {\ begin {cases} \ mathbf {g} _ {G}, & x <x_ {0}, \\\ mathbf {g} _ {D} ja x > x_ {0}, \ end {case}} \ qquad x \ in \ mathbb {R},}sitten sanomme, että yllä oleva yhtälöjärjestelmä g : llä alkutilalle on Riemannin ongelma.
Lineaarisen dynamiikan tapaus
Lineaarisen dynamiikan tapaus on erityinen siinä mielessä, että ongelma voidaan ratkaista suoraan ominaismenetelmällä .
Esimerkiksi lineaariselle säilyttämislakille
∂∂tu(t,x)+vs.∂∂xu(t,x)=0,(t,x)∈R+×R,{\ displaystyle {\ frac {\ partituali} {\ osittainen t}} u (t, x) + c {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} u (t, x) = 0, \ qquad (t , x) \ sisään \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R},}missä skalaari on tuntematon ja parametri, niin ratkaisu on alkutilan eteneminen nopeudella c ilman rasitusta:
u:R+×R→R{\ displaystyle u \ kaksoispiste \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}vs.∈R{\ displaystyle c \ sisään \ mathbb {R}}g(x)=u(t=0,x){\ displaystyle g (x) = u (t = 0, x)}
u(t,x)=g(x-vs.t).{\ displaystyle u (t, x) = g (x-ct).}Tilanne on samanlainen hyperbolisen lineaarisen säilyttämislakijärjestelmän kohdalla
∂∂tu(t,x)+AT∂∂xu(t,x)=0,(t,x)∈R+×R,{\ displaystyle {\ frac {\ partitali} {\ ositettu t}} \ mathbf {u} (t, x) + A {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen x}} \ matbf {u} (t, x ) = 0, \ qquad (t, x) \ sisään \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R},}missä on tuntematon ja A diagonalisoitava matriisi, jolla on todelliset ominaisarvot. Annamme yksinkertaisen esimerkin innoittamana kaasudynamiikkaa (in) :
u:R+×R→Rm{\ displaystyle \ mathbf {\ mathbf {u}} \ kaksoispiste \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
∂ρ∂t+ρ0∂u∂x=0,∂u∂t+klo2ρ0∂ρ∂x=0,{\ displaystyle {\ frac {\ partituali \ rho} {\ osittainen t}} + \ rho _ {0} {\ frac {\ osallinen u} {\ osastoinen x}} = 0, {\ frac {\ osallinen u} {\ partitu t}} + {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partituali \ rho} {\ partituali} = 0,}jonka alkuehto koostuu kahdesta tilasta:
[ρu]=[ρGuG] jos x≤0,ja[ρu]=[ρD-uD] jos x>0.{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {G} \\ u_ {G} \ end {bmatrix}} {\ text {si }} x \ leq 0, \ qquad {\ text {et}} \ qquad {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {D} \\ -u_ {D} \ end {bmatrix}} {\ text {si}} x> 0.}
Aikaisempi järjestelmä voidaan kirjoittaa konservatiivisessa muodossa seuraavilla tavoilla :
∂tu+AT∂xu=0{\ displaystyle \ osittainen _ {t} \ mathbf {u} + A \ osittainen _ {x} \ mathbf {u} = 0}
u=[ρu],AT=[0ρ0klo2ρ00].{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}}, \ quad A = {\ begin {bmatrix} 0 & \ rho _ {0} \\ {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} ja 0 \ end {bmatrix}}.}Arvot Järjestelmän ovat sen ominaisuudet :
. Ominaisvektorit ovat
λ1=-klo,λ2=klo{\ displaystyle \ lambda _ {1} = - a, \ lambda _ {2} = a}
e(1)=[ρ0-klo],e(2)=[ρ0klo].{\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {(1)} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} ^ {(2) } = {\ aloita {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}}.}Vasen tila hajoaa ominaisvektorien perusteella
uG{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {G}}
uG=[ρGuG]=a1[ρ0-klo]+a2[ρ0klo],{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {G} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {G} \\ u_ {G} \ end {bmatrix}} = \ alpha _ {1} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}} + \ alpha _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}},}missä kertoimet ja lasketaan tunnistaminen:
a1{\ displaystyle \ alpha _ {1}}a2{\ displaystyle \ alpha _ {2}}
a1=kloρG-ρ0uG2kloρ0 , a2=kloρG+ρ0uG2kloρ0{\ displaystyle \ alpha _ {1} = {\ frac {a \ rho _ {G} - \ rho _ {0} u_ {G}} {2a \ rho _ {0}}} \, \ \ alpha _ { 2} = {\ frac {a \ rho _ {G} + \ rho _ {0} u_ {G}} {2a \ rho _ {0}}}}Suora tila hajoaa samalla tavalla
uD{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {D}}
uD=[ρDuD]=β1[ρ0-klo]+β2[ρ0klo],{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {D} = {\ aloita {bmatrix} \ rho _ {D} \\ u_ {D} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}} + \ beta _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}},}kertoimilla
β1=kloρD-ρ0uD2kloρ0 , β2=kloρD+ρ0uD2kloρ0{\ displaystyle \ beta _ {1} = {\ frac {a \ rho _ {D} - \ rho _ {0} u_ {D}} {2a \ rho _ {0}}} \, \ \ beta _ { 2} = {\ frac {a \ rho _ {D} + \ rho _ {0} u_ {D}} {2a \ rho _ {0}}}}Järjestelmä voidaan siten kirjoittaa uudelleen kahdeksi erotetuksi skalaariyhtälöksi, kuten aikaisemmin on käsitelty, ensimmäisellä etenemisnopeudella c = - a ja alkutilalla ja toisella etenemisnopeudella c = a ja alkutilalla .
a1 jos x≤0, β1 jos x>0{\ displaystyle \ alpha _ {1} {\ text {si}} x \ leq 0, \ \ beta _ {1} {\ text {si}} x> 0}a2 jos x≤0, β2 jos x>0{\ displaystyle \ alpha _ {2} {\ text {si}} x \ leq 0, \ \ beta _ {2} {\ text {si}} x> 0}
Joten saamme lopullisen ratkaisun
u(t,x)=[ρ(t,x)u(t,x)]={uG,0<t≤-kloxu∗,0≤klo|x|<tuD,0<t≤klox{\ displaystyle \ mathbf {u} (t, x) = {\ begin {bmatrix} \ rho (t, x) \\ u (t, x) \ end {bmatrix}} = {\ begin {cases} \ mathbf {u} _ {G} ja 0 <t \ leq -ax \\\ mathbf {u} ^ {*}, ja 0 \ leq a | x | <t \\\ mathbf {u} _ {D}, & 0 <t \ leq ax \ end {tapaukset}}}jossa ominaisuuksien välisen alueen ratkaisu on määritelty
u∗=[ρ∗u∗]=β1[ρ0-klo]+a2[ρ0klo].{\ displaystyle \ mathbf {u} ^ {*} = {\ begin {bmatrix} \ rho ^ {*} \\ u ^ {*} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} {\ begin {bmatrix } \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}} + \ alpha _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}}.}Tämä esimerkki antaa mahdollisuuden ymmärtää Riemannin ongelman perusominaisuudet ja erityisesti ratkaisun hajoamisen ominaisuuksien määrittelemiin eri aika-ajan alueisiin.
Esimerkki epälineaarisesta dynamiikasta
Katsomme tässä, että kyseessä on skalaarinen yhtälö eikä järjestelmä (tässä m = 1 ), jonka avulla voidaan varmistaa epäsäännöllisten heikkojen ratkaisujen olemassaolon ja ainutlaatuisuuden teoria (erityisesti epäjatkuvuuksien hyväksyminen): entropiset ratkaisut . Siksi harkitsemme
∂∂tu(t,x)+∂∂xf(u)(t,x)=0,(t,x)∈R+×R,{\ displaystyle {\ frac {\ partitali} {\ osittainen t}} u (t, x) + {\ frac {\ osallinen} {\ osittainen x}} f (u) (t, x) = 0, \ qquad (t, x) \ sisään \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R},}missä on tuntematon ja annetaan. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että f on luokkaa ja tasaisesti kupera , mikä takaa f: n johdannaisen yksitoikkoisuuden . Esimerkiksi vastaa Burgers-yhtälöä ilman viskositeettia.
u:R+×R→R{\ displaystyle u \ kaksoispiste \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}f:R→R{\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}
VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}f(u)=u2/2{\ displaystyle f (u) = u ^ {2} / 2}
Riemannin ongelman saamiseksi otamme huomioon alkuperäisen ehdon (tässä )
x0=0{\ displaystyle x_ {0} = 0}
u(t=0,x)={uG,x<0,uD,x>0,x∈R,{\ displaystyle u (t = 0, x) = {\ aloita {tapaukset} u_ {G}, & x <0, \\ u_ {D}, & x> 0, \ loppu {tapaukset}} \ qquad x \ kohteessa \ mathbb {R},}kanssa tietoja.
(uG,uD)∈R×R{\ displaystyle (u_ {G}, u_ {D}) \ in \ mathbb {R} \ kertaa \ mathbb {R}}
Toisin kuin lineaarinen tapaus, ominaisuuksien menetelmä mahdollistaa ratkaisun määrittelemisen yhdellä tavalla vain osalla aika-aikaa , ja ratkaisun määrittäminen on edelleen tarpeen, jos kahteen arvoon liittyvät ominaisuudet Alkutilanteen leikkaavat tai päinvastoin eivät täytä koko aika-aikaa.
R+×R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ kertaa \ mathbb {R}}
- Kyllä , tämä vastaa tapausta, jossa ominaisuudet leikkaavat. Ainutlaatuinen entropic liuos on tällöin shokki tyyppiä , antamauD<uG{\ displaystyle u_ {D} <u_ {G}}
u(t,x)={uG,x/t<σ,uD,x/t>σ,(x,t)∈R+∗×R,{\ displaystyle u (t, x) = {\ aloita {tapaukset} u_ {G}, & x / t <\ sigma, \\ u_ {D} ja x / t> \ sigma, \ loppu {tapaukset}} \ qquad (x, t) \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ kertaa \ mathbb {R},}
missä
σ on
Rankine-Hugoniot-suhteiden aiheuttaman shokin etenemisnopeus :
σ=f(uG)-f(uD)uG-uD.{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {f (u_ {G}) - f (u_ {D})} {u_ {G} -u_ {D}}}.}
- Kyllä , tämä vastaa tapausta, jossa ominaisuudet eivät täytä koko aika-aikaa. Ainoa entropinen ratkaisu on laajennusaaltotyyppiä , jonka antaauD>uG{\ displaystyle u_ {D}> u_ {G}}
u(t,x)={uG,x/t<f′(uG),g(x/t),f′(uG)<x/t<f′(uD),uD,x/t>f′(uD),(x,t)∈R+∗×R,{\ displaystyle u (t, x) = {\ aloita {tapaukset} u_ {G}, & x / t <f ^ {\ prime} (u_ {G}), \\ g (x / t) ja f ^ {\ prime} (u_ {G}) <x / t <f ^ {\ prime} (u_ {D}), \\ u_ {D} ja x / t> f ^ {\ prime} (u_ { D}), \ end {case}} \ qquad (x, t) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ kertaa \ mathbb {R},}
missä
f: n johdannaisen vastavuoroisuus .
g=(f′)-1{\ displaystyle g = (f ^ {\ prime}) ^ {- 1}}
Molemmissa tapauksissa ratkaisu on itse samanlainen , ts. Se määräytyy yksinomaan suhteen perusteella .
x/t∈R{\ displaystyle x / t \ sisään \ mathbb {R}}
Viitteet
- (en) Eleuterio F. Toro , Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Berliini, Springer Verlag,1999
- (en) Randall J.LeVeque , Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems , Cambridge, Cambridge University Press ,2004
- (en) Lawrence C.Evans , osittaiset differentiaaliyhtälöt , American Mathematical Society,1998
- Jean-François Coulombel, ” epälineaariset hyperboliset yhtälöt ” , CEL-verkkokurssipalvelimella
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">