Tuotekategoria)

Vuonna luokassa The tuote on perheen esineitä on sen rajan , kun se on olemassa. Siksi sille on ominaista universaali ominaisuus tai vastaavalla tavalla edustava funktori .

Määritelmä

Antaa olla luokka ja perhe esineitä . Etsimme parin , jossa X on kohde ja perheen morphisms siten, että ratkaisuja kohde Y on ja mistä tahansa perheen morphisms , on olemassa yksikäsitteinen morfismi sellainen, että indeksi i , meillä on . $\ mathcal C$ $(X_i) _ {i \ sisään I}$ $\ mathcal C$ $(X, (\ pi _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $\ mathcal C$ $(\ pi _ {{i}}) _ {{i \ sisään I}}$ $\ pi _ {i}: X \ X_ {i}$ $\ mathcal C$ $f_ {i}: Y \ - X_ {i}$ $f: Y \ - X$ $\ pi _ {i} \ circ f = f_ {i}$

Jos tällainen pari on olemassa, sen sanotaan olevan tuotteen . Sanomme myös vähemmän tiukasti, että X on tuotteen tulo . Morfismeja kutsutaan kanonisiksi projektioiksi ja morfismit ovat komponentteja . $(X, (\ pi _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $(X_i) _ {i \ sisään I}$ $(X_i) _ {i \ sisään I}$ $\ pi _ {i}$ $f_ {i}$ $f$

Annettu luokka ja perheen kohteiden , paria , jossa Y on kohde ja perheen morphisms , kohteena ovat luokan , morphisms (mukaan ) esineestä objektin ollessa morphisms (mukaan ) f Y: stä Y: ksi siten, että kaikille i : lle ( luokan identiteettimorfismi on luokan Y identiteettimorfismi ). Määritelmä Tuotteen sitten merkitsee sanomalla, että tuote perheen esineiden on lopullinen kohde luokan . Koska kaksi luokan loppuobjektia ovat tässä luokassa isomorfisia, kaksi tuotetta ja saman objektiperheen tuotteet ovat aina isomorfisia , joten varsinkin "tuotteet" X ja X 'ovat isomorfisia . Ja päinvastoin, jos X ja X 'ovat kaksi isomorfista objektia , jos X on esineiden perheen "tuote" , niin X "on myös tämän perheen" tuote ". Kaikki tämä osoittaa, että tuote on määritelty isomorfismiin saakka. $\ mathcal C$ $(X_i) _ {i \ sisään I}$ $\ mathcal C$ $(Y, (\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $\ mathcal C$ $(\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ I}}$ $\ lambda _ {i}: Y \ X_ {i}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $(Y, (\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $(Y ', (\ lambda' _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $\ mathcal C$ $\ lambda '_ {{i}} \ circ f = \ lambda _ {{i}}$ $(Y, (\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $\ mathcal C$ $(X_i) _ {i \ sisään I}$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $(X, (\ pi _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $(X ', (\ pi' _ {{i}}) _ {{i \ sisään I}})$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

Mihin tahansa luokkaan, tuote , kun se on olemassa, edustaa functor josta kohde Y on C liittää karteesinen tulo . $(X_i) _ {i \ sisään I}$ $\ prod _ {{i \ in I}} Hom (Y, X_ {i})$

Tuote ja summa

Summa on kahden tuotteen ominaisuuteen: summa vastaa tuotteen kahden luokan .

Esimerkkejä

Kun luokka sarjaa , tuote perheen sarjaa on heidän karteesinen tulo , joka on varustettu ulkonemien.
Tyhjän sarjan indeksoima tuote on viimeinen kohde .
Magmien , monoidien tai ryhmien luokassa tuote on suora tuote . Se on rakennettu taustaryhmien suorakulmaiseen tulokseen. Siksi tuote kulkee unohtavan toiminnon kanssa .
Kun on kommutatiivinen rengas , luokkaan - moduuleja , että tuote on suora tuote. Luokkaan K - vektoriavaruuksia sekä luokkaan kommutatiivinen ryhmistä ovat erikoistapauksia tämän.
Tuote perheen kenttiä (vast. Kommutatiivinen kentät ) ei välttämättä ole luokkaan kenttien (vast. Kommutatiivinen kentät). Esimerkiksi, jos K merkitsee 2-elementtistä (kommutatiivinen) kenttää ja L 3-elementtistä (kommutatiivinen) kenttää, K: n ja L: n tuloa ei ole kenttäluokassa eikä kommutatiivisissa kentissä. Tällaisen tuotteen M projektiot olisivat vastaavasti M: n homomorfismeja K: ssa ja L.: ssä. Kuitenkin mikä tahansa kenttien homomorfismi on injektoiva, siksi M olisi isomorfinen samanaikaisesti 2-elementtisen kentän alikentän kanssa ja 3-elementtisen rungon alirunkoon, mikä on mahdotonta.
Luokkaan topologinen avaruus , tuote saadaan rakentamalla tuotteen rakenteeseen (yksinkertainen lähentyminen topologia) on karteesinen tulo.
Kuitutuote on kehittyneempi versio tuotteesta.

Luokitus ja viite

Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], Dunod, 2004, s. 62

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Projektiivinen raja