Alku- ja lopullinen kohde

Vuonna matematiikan , ja erityisesti luokkaan teoriassa , An alkuperäisen olion ja lopullinen kohde ovat esineitä, joiden avulla voidaan määritellä yleinen ominaisuus .

Määritelmä

Annetaan itsellemme luokka . Kohde on sanotaan olevan alkuperäisen jos jokin esine on , on olemassa yksi ja vain yksi nuoli kohti . Vastaavasti kohteen sanotaan olevan lopullinen (tai pääte ), jos jollekin esineelle on yksi ja vain yksi matonuoli . Erityisesti ainoa nuoli alkuperäisestä (tai viimeisestä) objektista itselleen on identiteetti. Null tavoitteena on sekä ensimmäinen ja lopullinen kohde. $\ mathcal {C}$ $Minä$ $\ mathcal {C}$ $E$ $\ mathcal {C}$ $Minä$ $E$ $F$ $E$ $E$ $F$

Tämän määritelmän mielenkiinto on seuraava ominaisuus:

Kaksi alkuobjektia (vastaavasti lopullinen ) luokassa ovat isomorfisia, ja näiden kahden välinen isomorfismi on ainutlaatuinen (niiden sanotaan olevan kanonisesti isomorfisia).

Toisin sanoen, jos ja ovat molemmat ensimmäinen sisään , vain nuoli on jakeessa on isomorfismi. Todellakin, kuten on ensimmäinen, on olemassa samalla tavoin ainutlaatuinen nuoli on jae , ja yhdiste voi olla vain nuolen identiteetin , aina sillä on ensimmäinen. Samasta syystä voi olla vain henkilöllisyys . $Minä$ $J$ $\ mathcal {C}$ $f$ $Minä$ $J$ $J$ $g$ $J$ $Minä$ $g \ ympyrä f$ $Minä$ $Minä$ $f \ ymp. g$ $J$

Siksi esineen alkupyynnön määritteleminen määrittelee sen kanoniseen isomorfismiin asti . Toisin sanoen tällaiset määritelmät mahdollistavat keskittymisen olennaiseen (määritellyn kohteen käyttäytyminen) huolimatta sen rakentamisen yksityiskohdista.

Tällainen määritelmä ei tietenkään todista kohteen olemassaoloa, mikä on mahdollisesti todistettava rakennelmalla. Se poistaa vain kaikki ehdolliset kohteen määritelmästä. Toisaalta se velvoittaa integroimaan määritelmään tarvittavat ja riittävät välineet kohteen manipulointiin.

Kun matemaattinen kohde määritellään tällä tavalla, sanotaan sen määrittävän universaali ongelma . Tarkemmin sanottuna, kun otetaan huomioon rakennusongelma (esimerkiksi pienimmän ryhmän etsiminen, joka "sisältää" kaksi annettua ryhmää), se muutetaan määrittämään luokka, jossa ongelman ratkaisut ovat alkuobjekteja, jotka kaikki ovat kanonisesti isomorfisia hypoteesin avulla (tässä Esimerkiksi se on ryhmäluokka, johon kaksi annettua ryhmää injektoivat, ja ratkaisu on näiden kahden ryhmän ilmainen tuote .

Esimerkkejä

Jokainen seuraavista lauseista on määritelmä lihavoidulle tekstille .

Kun luokka sarjaa , tyhjä joukko on alkuperäisen olion ja singletons ovat lopulliset kohteet.
Kun luokka yhtenäisen renkaat , rengas ℤ on suhteellinen kokonaislukuja on ensimmäinen ja nolla rengas on lopullinen.
Triviaali ryhmä , null rengas , nollavektori tilaa ja piste ovat null esineitä eri luokkiin ryhmiä , pseudo-renkaat , vektoriavaruudet (on kiinteä kenttä ) ja kantapisteavaruus .
Osamäärä (varustettu sen kanoninen projektio) vektorin tilan vektorin aliavaruus on ensimmäinen luokassa, joiden kohteet ovat lineaarinen karttoja , joiden ydin sisältää . Tämän luokan nuolet esineestä toiseen ovat lineaarisia karttoja , kuten . $\ pi \ kaksoispiste E \ E / F$ $E$ $F$ $f \ kaksoispiste E \ - G$ $F$ $f \ kaksoispiste E \ - G$ $g \ kaksoispiste E \ H: lle$ $\ varphi \ kaksoispiste G \ H$ $g = \ varphi \ ympyrä f$
Kaaviossa (jossa on Singleton, ainoa kuva sovellus ja seuraaja toiminto ), on ensimmäinen kategoriassa kaaviot muodossa . Tämän luokan nuolet objektista toiseen ovat sovelluksia , kuten ja . (tämän määritelmän William Lawvere antaa luonnollisista luvuista ). $1 \ - ^ {0} {\ mathbb N} \ - ^ {S} {\ mathbb N}$ $1$ ${\ displaystyle 0}$ $\ {0 \}$ $S$ $1 \ - X \ - ^ {h} X$ $1 \ - X \ - ^ {h} X$ $1 \ - Y \ - ^ {k} Y$ $\ varphi \ kaksoispiste X \ Y$ $\ varphi \ circ 0 = 0$ $\ varphi \ circ h = k \ circ \ varphi$
Vapaa ryhmä on joukko on alustava luokassa, jonka toimialana on sovelluksia , joissa on ryhmä. Tämän luokan nuolet objektista esineeseen ovat ryhmien morfismeja , kuten . $E$ $\ kaksoispiste E \ - G$ $G$ $\ kaksoispiste E \ - G$ $b \ kaksoispiste E \ H: lle$ $h \ kaksoispiste G \ H: lle$ $h \ circ a = b$
Tensoritulo kahden modulin (oikea moduuli) ja (vasen moduuli) renkaassa on ensimmäinen luokkaan bilineaarisen lähde kuvaukset . Tämän luokan nuolet objektista toiseen ovat lineaarisia kartoituksia , kuten . $\ otimes \ kaksoispiste M \ kertaa N \ M \ otimes _ {{A}} N$ $M$ $EI$ $AT$ $M \ kertaa N$ $f \ kaksoispiste M \ kertaa N \ A: ksi$ $g \ kaksoispiste M \ kertaa N \ - B$ $\ varphi \ kaksoispiste A \ - B$ $g = \ varphi \ ympyrä f$
Stone-Čech compactified on topologinen avaruus on alustava kategoriassa jonka toimialana ovat jatkuvia karttoja , joissa on kompakti tila. Tämän luokan nuolet objektista toiseen ovat jatkuvia sovelluksia , kuten . $\ gamma \ kaksoispiste X \ - {\ tarkista X}$ $X$ $f \ kaksoispiste X \ - Y$ $Y$ $f \ kaksoispiste X \ - Y$ $g \ kaksoispiste X \ - Z$ $h \ kaksoispiste Y \ - Z$ $g = h \ ympyrä f$