Kahden moduulin tensorituote

Tensoritulo kahden moduli on rakennus moduuli teoriassa , joka on kaksi moduli samalla yhtenäinen kommutatiivinen rengas , osoittaa moduuli. Tensorituote on erittäin tärkeä algebrallisen topologian ja algebrallisen geometrian aloilla . Tensorituotteen avulla voidaan myös supistaa bilineaaristen tai monirivisten sovellusten tutkiminen lineaarisiksi sovelluksiksi.

Johdanto - bilineaariset sovellukset

Kun M , N ja F kolme -modules, kutsumme bilineaarinen map kartta f  : M x N → F siten, että:

• f on lineaarinen vasemmalla, toisin sanoen se .∀a,β∈AT,∀x,y∈M,∀z∈EI,f(ax+βy,z)=af(x,z)+βf(y,z){\ displaystyle \ forall \ alpha, \ beta \ A, \ forall x, y \ in M, \ forall z \ N, f (\ alpha x + \ beta y, z) = \ alfa f (x, z ) + \ beta f (y, z)}
• f on lineaarinen oikealla, toisin sanoen se .∀a,β∈AT,∀x∈M,∀y,z∈EI,f(x,ay+βz)=af(x,y)+βf(x,z){\ displaystyle \ forall \ alfa, \ beta \ A, \ forall x \ M, \ forall y, z \ in N, f (x, \ alfa y + \ beta z) = \ alfa f (x, y ) + \ beta f (x, z)}

Bineaaristen karttojen tutkimuksen vähentämiseksi lineaaristen karttojen tutkimukseksi ehdotamme, että määritetään moduuli M ⊗ N ja bilineaarinen kartta siten, että mikä tahansa bilineaarinen kartta on yksilöity oikealla puolella , ts. Qu 'on yksi ja vain yksi lineaarinen kartta sellainen . φ:M×EI→M⊗EI{\ displaystyle \ varphi: M \ kertaa N \ - M \ otimes N}f:M×EI→F{\ displaystyle f: M \ kertaa N \ - F}φ{\ displaystyle \ varphi} g:M⊗EI→F{\ displaystyle g: M \ otimes N \ F}f=g∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}

Todistamme, että tällainen pari on olemassa ja ainutlaatuinen lukuun ottamatta yhtä isomorfismia . (M⊗EI,φ){\ displaystyle (M \ otimes N, \ varphi)}

Määritelmä

Olkoon M ja N kaksi A- moduulia. Tila C = ( M x N ) on -moduulista on lineaarinen yhdistelmä muodollinen (jossa on kertoimet ) elementtien M x N . Tällainen tila voi myös olla määritelty samalla tavalla kuin -moduulista on kuvausten välillä M x N on nolla kaikkialla muualla paitsi yli rajallinen määrä elementtejä. Se on - vapaa moduuli , joka on kanoninen perusteella. (e(x,y))(x,y)∈M×EI{\ displaystyle (e _ {(x, y)}) _ {(x, y) \ M \ kertaa N}}

Haluamme muodon elementit

• e(x+y,z)-e(x,z)-e(y,z){\ displaystyle e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}}
• e(x,y+z)-e(x,y)-e(x,z){\ displaystyle e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}}
• e(ax,y)-ae(x,y){\ displaystyle e _ {(\ alpha x, y)} - \ alpha e _ {(x, y)}}
• e(x,ay)-ae(x,y){\ displaystyle e _ {(x, \ alpha y)} - \ alpha e _ {(x, y)}}

tunnistetaan nolliksi. Siksi kutsumme D : ksi C: n alamoduulia , jonka edellisen muodon elementit tuottavat. Kutsutaan tensoritulo sekä M ja N , ja merkitään M ⊗ N osamäärä moduuli C / D . On tärkeää määrittää skalaarien rengas A tensorituotteen merkinnässä. Jos tilanne on kuitenkin riittävän selkeä, meillä on varaa olla ylikuormittamatta luokituksia. Huomaa luokan sisään M ⊗ N . x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}e(x,y){\ displaystyle e _ {(x, y)}}

Vastaus alkuperäiseen kysymykseen

Tensorituotteen rakenteen avulla voimme vahvistaa, että se on kaksisuuntainen kartta, jota me merkitsemme . (x,y)↦x⊗y{\ displaystyle (x, y) \ mapsto x \ otimes y}φ:M×EI→M⊗ATEI{\ displaystyle \ varphi: M \ kertaa N \ - M \ otimes _ {A} N}

Osoitetaan, että tämä moduuli ratkaisee johdannossa esitetyn bilineaaristen sovellusten ongelman. Annetaan tätä varten kaksisuuntainen kartta . Koska moduuli C on ilmainen, määritellä lineaarinen kartoitus C ja F on yhtä valita kuvaelementtien kanonisen perusteella C . Määritämme sovelluksen seuraavasti: f:M×EI→F{\ displaystyle f: M \ kertaa N \ - F}f¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}

∀(x,y)∈M×EI,f¯(e(x,y))=f(x,y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ M \ kertaa N, {\ overline {f}} (e _ {(x, y)}) = f (x, y)}

Mutta se, että f on bilineaarinen, tarkoittaa, että:

• f¯(e(x+y,z)-e(x,z)-e(y,z))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x + y, z)} - e _ {(x, z)} - e _ {(y, z)}) = 0}
• f¯(e(x,y+z)-e(x,y)-e(x,z))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, y + z)} - e _ {(x, y)} - e _ {(x, z)}) = 0}
• f¯(e(ax,y)-ae(x,y))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(\ alpha x, y)} - \ alpha e _ {(x, y)}) = 0}
• f¯(e(x,ay)-ae(x,y))=0{\ displaystyle {\ overline {f}} (e _ {(x, \ alpha y)} - \ alpha e _ {(x, y)}) = 0}

Joten alimoduuli D sisältyy . Johdamme osamäärään, että on olemassa sellainen sovellus , joka: f¯{\ displaystyle {\ overline {f}}}g:M⊗ATEI=VS/D.→F{\ displaystyle g: M \ otimes _ {A} N = C / D \ - F}

f(x,y)=g(x⊗y)=g∘φ(x,y){\ displaystyle f (x, y) = g (x \ otimes y) = g \ circ \ varphi (x, y)}

Lisäksi, g on ainutlaatuinen, koska elementtien muodossa tuottaa . x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}M⊗ATEI{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

Osoittakaamme lopuksi, että se on ainutlaatuista paitsi isomorfismi, toisin sanoen jos on olemassa moduuli H , joka: M⊗ATEI{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

• On bilineaarinen sovellus .φ′:M×EI→H{\ displaystyle \ varphi ': M \ kertaa N \ - H}
• Jos f  : M × N → F on kaksisuuntainen kartta, on olemassa ainutlaatuinen lineaarinen kartta g  : H → F siten, että .f=g∘φ′{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi '}

silloin H on isomorfinen . M⊗ATEI{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}

Jos näin on, kuten bilineaarinen, on olemassa sovellus , kuten . Samoin, koska se on bilineaarinen, on olemassa sellainen sovellus , että . Niin ja koska on myös lineaarista karttaa vuonna tyydyttää , me päätellä yksikäsitteisyysominaisuuden että . Sama . Joten ja ovat A - isomorfisia moduuleja . φ:M×EI→M⊗ATEI{\ displaystyle \ varphi: M \ kertaa N \ - M \ otimes _ {A} N}u1:H→M⊗ATEI{\ displaystyle u_ {1}: H \ M \ otimes _ {A} N}φ=u1∘φ′{\ displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ \ varphi '}φ′:M×EI→H{\ displaystyle \ varphi ': M \ kertaa N \ - H}u2:M⊗ATEI→H{\ displaystyle u_ {2}: M \ otimes _ {A} N \ H}φ′=u2∘φ{\ displaystyle \ varphi '= u_ {2} \ circ \ varphi}φ=u1∘u2∘φ{\ displaystyle \ varphi = u_ {1} \ circ u_ {2} \ circ \ varphi}id{\ displaystyle id}M⊗ATEI{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}M⊗ATEI{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}φ=id∘φ{\ displaystyle \ varphi = id \ circ \ varphi}u1∘u2=id{\ displaystyle u_ {1} \ circ u_ {2} = id}u2∘u1=id{\ displaystyle u_ {2} \ circ u_ {1} = id}M⊗ATEI{\ displaystyle M \ otimes _ {A} N}H{\ displaystyle H}

Huomaa: osamoduulissa M ⊗ N kuva M × N on kartio .

Kahden ilmaisen moduulin kotelo

Jos kaksi A- moduulia M ja N ovat vapaita (esimerkiksi jos kommutatiivinen rengas A on kenttä ja M , N kaksi vektoritilaa tällä kentällä), niin niiden tensorituote on vapaa: jos ( m i ) i ja ( n j ) j ovat vastaavia emäksiä ja M ja N , pohjan M ⊗ N on ( m i ⊗ n j ) ( i , j ) .

Erityisesti, tensoritulo kahden vektoriavaruuksia M ja N on ulottuvuus dim ( M ) x dim ( N ).

Esimerkiksi complexified  (in) todellisen vektorin tila E (erikoistapaus laajentaminen skalaareja ), joka on määritelmän mukaan kompleksinen vektori tila ℂ⊗ ℝ E , on, nähdään todellinen vektori tilaa, kaksinkertainen ulottuvuus, joka on e : mikä tahansa vektori ℂ⊗ ℝ e on summa, joka tensoritulo on 1 vektorin e ja i toinen vektori e ja jos ( e j ) j on perusta e (päällä ℝ), sitten perustan on ℝ ja ℂ⊗ ℝ e on muodostettu 1⊗ e j ja i ⊗ e j (kun taas pohjalta ℂ on ℂ⊗ ℝ e on (1⊗ e j ) j ).

Yleistäminen moduulien lopputuotteesta

Aikaisemmin tehty on yleistettävissä helposti monirivisovelluksiin. Tai E 1 , ..., E n ja -modules. Otetaan huomioon tuotteen moduuli E = E 1 ×… × E n . Kartta f  : E → F sanotaan olevan n- lineaarinen , jos

Indeksistä i ja n - 1 riippumatta osittainen kartta on lineaarinen.xk∈Ek(k≠i){\ displaystyle x_ {k} \ muodossa E_ {k} (k \ neq i)}xi↦f(x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xei){\ displaystyle x_ {i} \ mapsto f (x_ {1}, \ pisteet, x_ {i-1}, x_ {i}, x_ {i + 1}, \ pisteet, x_ {n})}

On olemassa -moduulista, joka merkitään ja n -linear kartan ja E on sellainen, että mikä tahansa n -linear kartta E käytettäessä saapumista moduuli F , on olemassa yksikäsitteinen lineaarista karttaa siten, että . ⨂i=1eiEi{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}φ:(x1,...,xei)↦x1⊗x2⊗⋯⊗xei{\ displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ pisteet, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}}⨂i=1eiEi{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}g:⨂i=1eiEi→F{\ displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ - F}f=g∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}

Itse asiassa kahden moduulin tensoritulo on assosiatiivinen seuraavassa mielessä: jos E , F , G ovat kolme A- moduulia, niin moduulit ( E ⊗ A F ) ⊗ A G , E ⊗ A (F ⊗ A G ) ja E ⊗ A F ⊗ A G ovat isomorfisia.

Luokan kieli

Ja kiinteä -modules E 1 , ..., E n , usean muuttujan kartat , jossa F kulkee -modules, ovat esineet on luokka , joka on morfismi objektin objektin ollessa lineaarinen kartta h ja F on G , kuten sitä . Kielellä luokkiin, omaisuutta edellä kartan sekä in , nimittäin, että kaikki n -linear kartta käytettäessä saapumista moduuli F , on olemassa ainutlaatuinen lineaarinen kartta siten, että kokonaismäärä on selvää, että on alkuperäisen olion , että luokan osalta, tai jälleen: että covariant functor josta kaikki moduulit F liittää moduulin Multilineaarinen kuvaukset on edustettuna mukaan .  E1×⋯×Eei→F{\ displaystyle \ E_ {1} \ kertaa \ cdots \ kertaa E_ {n} \ oikeanpuoleinen nuoli F} f:E1×⋯×Eei→F{\ displaystyle \ f: E_ {1} \ kertaa \ cdots \ kertaa E_ {n} \ oikeanpuoleinen nuoli F} g:E1×⋯×Eei→G{\ displaystyle \ g: E_ {1} \ kertaa \ cdots \ kertaa E_ {n} \ oikeanpuoleinen nuoli G} g=h∘f{\ displaystyle \ g = h \ circ f}φ:(x1,...,xei)↦x1⊗x2⊗⋯⊗xei{\ displaystyle \ varphi: (x_ {1}, \ pisteet, x_ {n}) \ mapsto x_ {1} \ otimes x_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes x_ {n}} E1×⋯×Eei{\ displaystyle \ E_ {1} \ kertaa \ cdots \ kertaa E_ {n}}⨂i=1eiEi{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}} E1×⋯×Eei{\ displaystyle \ E_ {1} \ kertaa \ cdots \ kertaa E_ {n}}g:⨂i=1eiEi→F{\ displaystyle g: \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} \ - F}f=g∘φ{\ displaystyle f = g \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}E1×...×Eei→F{\ displaystyle E_ {1} \ kertaa \ ldots \ kertaa E_ {n} \ - F}⨂i=1eiEi{\ displaystyle \ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}

Lisäksi varten kiinteän -moduulista N , data bilineaarinen kartta M x N on F on yhtä kuin lineaarista karttaa M on moduuli Hom ( N , F ), lineaarisen karttoja N on F , niin, että functor - ⊗ N on lisänä vasemmalla ja functor Hom ( N , -), eli meillä on luonnollinen isomorphism:

Hom(M⊗EI,F)≃Hom(M,Hom(EI,F)).{\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M \ otimes N, F) \ simeq \ mathrm {Hom} (M, \ mathrm {Hom} (N, F)).}

Huomautuksia ja viitteitä

1. Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], 3 e ed., Pariisi, Dunod, 2004, s. 618-620.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Algebrojen tensorituote
• Yoneda lemma

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">