Kruunu tuote
Kruunu Tuote on käsite ryhmä teoria ( matematiikka ). Se on tietty ryhmä, joka on rakennettu ryhmästä ja ryhmästä, joka toimii joukossa . Kruunutuotteesta on itse asiassa useita käsitteitä, samanlaisia, mutta erillisiä. Ryhmässä Teoriassa kruunu tuote, lisäksi tarjoaa eri counterexamples, tekee mahdolliseksi erityisesti kuvaamaan Sylow alaryhmien on rajallinen symmetrinen ryhmä . Se löytyy myös graafiteoria , koska ryhmä automorphisms tiettyjen kaavioita , muun muassa tiettyjen graafi, jonka ulkonäkö kruunu. Kruunutuotteen käsite voidaan laajentaa puoliryhmiin .
Yleissopimukset
Joukolle X merkitään tässä merkintä S X ja kutsumme X: n symmetriseksi ryhmäksi X: n permutaatioiden joukkoa, jolla on ryhmälaki ∘, jonka määrittelee f ∘ g: X → X: x ↦ f (g ( x)). Tämä määritelmä soveltuu ryhmän vasemmalla puolella olevien toimintojen tutkimiseen . Ryhmän tässä vastakkaisryhmä S X soveltuu oikealla olevien toimien tutkimiseen. Kun puhumme ryhmän toiminnasta joukossa, se on toiminta vasemmalla. Tiedämme, että kanteen vasemmalla ryhmän G on joukko X on luonnollisesti vastaa Homomorfismi ryhmien välillä G S X , niin että voimme nähdä molemmat ja päinvastoin.
Ja permutaatio α joukko X ja elementti x on X , me joskus kirjoittaa ax sijasta α (x). Kaksi a: ja p permutaatiot samat E, me tapahtuu kirjoittaa sijasta αβ α β ∘, mikä merkitsee huomata multiplikatiivisessa ryhmässä S E .
Sanomme, että ryhmän G elementtiperheellä on rajallinen tuki, jos Y: n elementit y siten, että y ≠ 1 ovat rajallisia. Tällainen perhe on Y: n kartta (joukon taustalla) G. Toisin sanoen sanotaan, että kartalla f Y: stä G: hen on rajallinen tuki, jos Y: n elementit y niin, että f (y) ≠ 1 ovat äärellisiä lukumäärässä.
Jos G on ryhmä ja Y joukko, merkitään G Y: llä perheen suora (ulkoinen) tulo, indeksoitu Y: llä, ryhmistä, jotka kaikki ovat yhtä suuria kuin G. Siksi G Y: llä on elementteille perheet, jotka on indeksoitu Y: llä, G: n alkuaineista ja on sen vuoksi yhdistämisryhmä Y: stä G: hen, ryhmälaki on "termistä aikaväliin kertova".
Merkitään G: llä (Y) saman perheen rajoitettua (ulkoista) summaa, jonka Y on indeksoinut, ryhmät, jotka kaikki ovat yhtä suuria kuin G. Siksi G (Y): llä on elementeille äärelliset tukiperheet, jotka on indeksoitu Y: llä, G ja on siksi rajallisten tukikartoitusten ryhmä Y: stä G: hen, ryhmälaki on aina "aikavälistä kertaluonteinen kertolasku". Jos joukko Y on rajallinen, suora tulo ja rajoitettu summa ovat identtiset.
Koska G on ryhmä, merkitsemme λ (G) kuvaa G homomorfismilla
(kloy)y∈Y{\ displaystyle \ (a_ {y}) _ {y \ Y}}
λ:G→SG:g↦λg:h↦:gh{\ displaystyle \ lambda: G \ oikeanpuoleinen nuoli S_ {G}: g \ mapsto \ lambda _ {g}: h \ mapsto: gh}alkaen vuonna . Elementille g G, λ g on vasemmalta käännös g G. Niin λ (G) on ryhmä, permutaatioiden (taustalla joukko) G ja mukaan on cayleyn lause , ryhmä λ (G) on isomorfinen G
: lle. Ryhmälle G kutsumme G: n säännöllistä toimintaa G: n toiminnaksi vasemmanpuoleisten käännösten taustalla .
G{\ displaystyle \ G} SG{\ displaystyle \ S_ {G}}
Kahden permutaatioryhmän kruunutuote
Olkoon G ryhmä ei-tyhjän joukon X permutaatioita ja H ryhmä tyhjän joukon Y permutaatioita.
Minkä tahansa S X: n elementin ja minkä tahansa Y: n elementin y suhteen sovimme merkitsevän joukon X × Y ( suorakulmainen tulo ) permutaatiota, joka määritellään seuraavasti: kaikille X : n elementeille x ja Y: n kaikille elementeille y ' ,
y{\ displaystyle \ \ gamma} yY,y{\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y}}
yY,y(x,y′)=(yx,y){\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y} (x, y ') = (\ gamma x, y)} jos y '= y;
yY,y(x,y′)=(x,y′){\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y} (x, y ') = (x, y')} jos y '≠ y.
Minkä tahansa S Y: n elementin η kohdalla merkitään seuraavaksi määritellyn joukon X × Y permutaatio:
ηX∗{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*}}
ηX∗(x,y)=(x,η(y)).{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*} (x, y) = (x, \ eta (y)).}(Merkinnät eivätkä ole vakiona.)
yY,y{\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y}}ηX∗{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*}}
Tahansa elementti y Y, määrittää injektiivinen homomorfismi ryhmästä G-ryhmäksi S X x Y . Jos me viitataan kuvan G tämän homomorfismi, siis määrittää isomorfismi ryhmän G alaryhmä G Y, y S X x Y .
Samoin, määritellään isomorfismi ryhmän H alaryhmän S X x Y , jota on Merkitään y↦yY,y{\ displaystyle \ \ gamma \ mapsto \ gamma _ {Y, y}}GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}} y↦yY,y{\ displaystyle \ \ gamma \ mapsto \ gamma _ {Y, y}}
η↦ηX∗{\ displaystyle \ eta \ mapsto \ eta _ {X} ^ {*}} HX∗.{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}.}
Kruunu tuote G ja H (tai G H) on määritelmän mukaan alaryhmä S X x Y syntyy , jossa y kulkee Y, ja se on usein merkitty G ≀ H, mutta on olemassa d 'muut merkintätavat . Suostumme käyttämään tässä vain merkintää G ≀ H, varaamalla muut merkinnät kruunutuotteen versioille, jotka esitellään myöhemmin.
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}} HX∗.{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}.}
Olkoon G, H ei-tyhjien joukkojen permutaatioiden ryhmät. Varmistamme helposti seuraavan ominaisuuden:
- Jos G ja H ovat transitiivisia, G ≀ H on transitiivisia.
Meillä on myös lähes assosiatiivisuuden ominaisuus:
- Jos G, H ja K ovat kolme ei-tyhjien joukkojen permutaatioiden ryhmää, permutaatioryhmät (G ≀ H) ≀ K ja G ≀ (H ≀ K) ovat samanlaisia .
Tarkemmin sanottuna, jos G, H ja K ovat vastaavasti X: n, Y: n ja Z: n permutaatioiden ryhmät, jos f tarkoittaa (X: n bijektiota ((x, y), z) ↦ (x, (y, z)) × Y) × Z X: ssä × (Y × Z), jos f * tarkoittaa isomorfismia s ↦ f is s ∘ f −1 S: stä (X × Y) × Z S X: ssä (Y × Z) , niin G ≀ (H ≀ K) on f: n (G ≀ H) ≀ K kuva.
Edellä hypoteeseja G ja H, alaryhmä B G ≀ H syntyy , jossa y kulkee Y, kutsutaan pohja ryhmä kruunu tuotteen G ≀ H. Siksi G ≀ H syntyy B ja .
Jos on G: n ja y: n elementti Y: n, jos η on H: n elementti, niin
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}} HX∗{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}}
y{\ displaystyle \ \ gamma}
(1)ηX∗∘yY,y∘ηX∗-1=yY,ηy{\ displaystyle \ (1) \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} \ circ \ gamma _ {Y, y} \ circ \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ gamma _ {Y, \ eta y}}josta piirrämme, että B on normaali G ≀ H: ssa ja että G ≀ H on B: n sisäinen puolisuora tulo B⋊HX∗{\ displaystyle \ B \ rtimes H_ {X} ^ {*}} HX∗.{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}.}
Tarkistamme, että alaryhmät , joissa y kulkee Y: n läpi, ovat summarajoitettuja, ts. Että B on perheen sisäinen rajoitettu summa. Joten, kun otetaan huomioon G : n elementtien rajallinen tukiperhe , voimme määritellä yksiselitteisesti
GY,y{\ displaystyle G_ {Y, y}}(GY,y)y∈Y.{\ displaystyle (G_ {Y, y}) _ {y \ Y}.}(yy)y∈Y{\ displaystyle (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y}}
∏y∈Y(yy)Y,y,{\ displaystyle \ \ prod _ {y \ Y} (\ gamma _ {y}) _ {Y, y},}jossa tuote vastaa S-ryhmään oikeuden X x Y . Lisäksi,
(yy)y↦∏y∈Y(yy)Y,y{\ displaystyle \ (\ gamma _ {y}) _ {y} \ mapsto \ prod _ {y \ Y} (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}}määrittää isomorfismin G (Y): stä B: hen.
Edellä esitetystä seuraa, että jos Y on rajallinen, G ≀ H: n järjestys annetaan
(2)|G≀H|=|G||Y||H|.{\ displaystyle \ (2) \ qquad \ vert G \ wr H \ vert = \ green G \ vert ^ {\ green Y \ green} \ green H \ vert.}Jos G ja H ovat mitä tahansa kahta ryhmää (joita emme usko toimivan joukkoina), kutsumme H: n G: n säännölliseksi kruunutuotteeksi kruunutuotteen λ (G) ≀ λ (H) (missä λ on määritelty kuten sopimukset kohta ). Joskus huomaamme sen . Havaitaan, että toisin kuin kruunutuotteessa case, ei välttämättä ole isomorfinen ryhmänä ryhmään ( Kaavasta (2) saadaan helposti kruunutuotteen G ≀ H järjestys, kun Y on valmis .)
G r≀H{\ displaystyle G \ _ {r} ^ {\ wr} H} (G r≀H) r≀K{\ displaystyle \ (G \ _ {r} ^ {\ wr} H) \ _ {r} ^ {\ wr} K} G r≀(H r≀K).{\ displaystyle \ G \ _ {r} ^ {\ wr} (H \ _ {r} ^ {\ wr} K).}
Ryhmän rajoitettu kruunutuote
Määritelmä
Kohdan (1) mukaan B: n vaikutus konjugaation avulla kuvataan seuraavasti: minkä tahansa G (Y) -elementin ,
HX∗{\ displaystyle \ H_ {X} ^ {*}} (yy)y∈Y{\ displaystyle \ (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y}}
(3)ηX∗(∏y∈Y(yy)Y,y)ηX∗-1=∏y∈Y(yy)Y,ηy,{\ displaystyle \ (3) \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} (\ prod _ {y \ Y: ssä (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}) \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ prod _ {y \ Y} (\ gamma _ {y}) _ {Y, \ eta y},}toisin sanoen
ηX∗(∏y∈Y(yy)Y,y)ηX∗-1=∏y∈Y(yη-1y)Y,y.{\ displaystyle \ \ qquad \ eta _ {X} ^ {*} (\ prod _ {y \ Y} (\ gamma _ {y}) _ {Y, y}) \ eta _ {X} ^ {* ^ {- 1}} = \ prod _ {y \ Y} (\ gamma _ {\ eta ^ {- 1} y}) _ {Y, y}.}Yleensä, jos G on ryhmä (eikä välttämättä ryhmä permutaatioita), jos H on ryhmä, joka toimii joukolla Y (olematta välttämättä ryhmä permutaatioita), kutsumme toiminto siirtämällä H G: llä (Y) (liittyy H: n toimintaan Y: hen) H: n vaikutus G: hen (Y) seuraavien määriteltyjen automorfismien avulla:
H×G(Y)→G(Y):(η,(yy)y∈Y)↦(yη-1y)y∈Y.{\ displaystyle \ H \ kertaa G ^ {(Y)} \ oikealle G ^ {(Y)}: (\ eta, (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y}) \ mapsto (\ gamma _ {\ eta ^ {- 1} y}) _ {y \ Y}.}Piirretään kohdasta (3), että jos G on joukko X: n permutaatioita, jos H on joukko Y: n permutaatioita, niin
(4) G ≀ H on isomorfinen ulkoinen osittain suora tuote G (Y) ⋊ H G (Y) H suhteen siirtyminen toiminta H G (Y) (tämä muutos toiminta on määritetty alkaen luonnollisen H: n vaikutus).
Tämä viittaa tähän yleisempään määritelmään: ryhmälle G ja ryhmälle H, joka toimii ei-tyhjällä joukolla Y, G: n rajoitettu kruunutuote H: llä (suhteessa kyseessä olevaan H: n toimintaan Y: ssä) on tuote ulkoinen puolisuora G ( G ) : n G (Y) (H ( H) suhteessa H: n siirtymän vaikutukseen G (Y): een (liittyy H: n toimintaan Y: hen).
Näemme, että tämä kruunutuote ei riipu G: n toiminnasta joukossa. Sitä kutsutaan "rajoitetuksi", koska se muodostetaan rajoitetusta summasta G (Y) . Usein huomataan G ≀ H, mutta jotta se erotettaisiin kahden permutaatioryhmän kruunutuotteesta, huomaamme sen tässä artikkelissa . Tuloksemme (4) tarkoittaa siis sitä, että jos G ja H ovat permutaatioryhmiä, G ≀ H on isomorfinen (ryhmänä) , määritelty suhteessa H: n luonnolliseen toimintaan.
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
Alaryhmä on sanotaan olevan yksikön ryhmä rajoitettu kruunu tuote.
B=G(Y)×1{\ displaystyle B = G ^ {(Y)} \ kertaa {1}} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
Kuten useat kirjoittajat huomauttavat, rajoitetun kruunutuotteen (G≀H jne.) Nykyisillä merkinnöillä ei ole tarkkuutta, koska ne jättävät H: n toiminnan Y: n yli, mikä on määritelmän olennainen osa.
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
Rajoitetun kruunutuotteen permutaatioversio
Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjällä joukolla X, tai H ryhmä, joka toimii tyhjällä joukolla Y. Seuraavien lausekkeiden yksinkertaisuuden vuoksi merkitsemme G (Y) -elementit kartoituksina eikä perheinä. Merkitään omilla G: n homomorfismi S X: ssä, joka vastaa G: n vaikutusta X: ään, ja ψ H: n homomorfismi SY: ssä, joka vastaa H: n vaikutusta Y: hen. Jos kyseiset kaksi toimintaa ovat uskollisia , G on isomorfinen to (G): lle ja H - ψ (H): lle ja osoitamme sen
(f,h)↦(∏y∈Y(φ(f(y)))Y,y)∘(ψ(h))X∗{\ displaystyle \ (f, h) \ mapsto (\ prod _ {y \ in Y} (\ varphi (f (y))) _ {Y, y}) \ circ (\ psi (h)) _ {X } ^ {*}}(jossa S X: ssä , y : lle Y: ssä ja η: lle Y Y : ssä ja niillä on edellisessä osassa annettu merkitys) määrittelee kruunutuotteen isomorfismin, joka on rajattu kruunutuotteeseen φ (G) ≀ ψ ( H) permutaatioryhmistä φ (G) ja ψ (H). (Kuten edellisessä osassa todettiin, ei aiheuta ongelmaa.) Sanomme, että φ (G) ≀ ψ (H) on rajoitetun kruunutuotteen permutaatioversio .
y{\ displaystyle \ \ gamma} yY,y{\ displaystyle \ \ gamma _ {Y, y}}ηX∗{\ displaystyle \ eta _ {X} ^ {*}} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} ∏y∈Y{\ displaystyle \ \ prod _ {y \ vuonna Y}} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
Täysi kruunutuote
Olkoon G ryhmä tai H ryhmä, joka toimii ei-tyhjällä joukolla Y. Rajoitetun kruunutuotteen määritelmässä mikään ei estä rajoitetun summan G (Y) korvaamista suoralla tulolla G Y ja toiminta siirtämällä H G (Y) toiminnolla siirtämällä H kohtaan G Y :
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
H×GY→GY:(η,(yy)y∈Y)↦(yη-1y)y∈Y.{\ displaystyle \ H \ kertaa G ^ {Y} \ oikeanpuoleinen G ^ {Y}: (\ eta, (\ gamma _ {y}) _ {y \ Y}) \ mapsto (\ gamma _ {\ eta ^ {-1} y}) _ {y \ vuonna Y}.}Saamme siis seuraavan määritelmän:
ryhmä G ja ryhmä H toiminta on asetettu Y, täydellinen kruunu tuote G H (suhteessa kanteen kysymykseen H Y) on ulkoinen osittain suora tuote G Y ⋊ H G Y H suhteessa kanteen siirtämällä H G Y .
Arvostamme tämän tuotteen täydeksi kruunuksi. Rajoitettu kruunutuote on alaryhmä . Jos joukko Y on rajallinen ja identtinen.
G WH{\ displaystyle \ G \ _ {W} H} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} G WH{\ displaystyle \ G \ _ {W} H} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} G WH{\ displaystyle \ G \ _ {W} H}
Rajoitetussa tapauksessa ei voida mallintaa tuotteen "täydellistä versiota" täydellisessä kruunussa, koska jos ryhmän elementtiperheellä ei ole rajallista tukea, tämän elementtiperheen tuotetta ei ole määritelty.
Esimerkkejä
- (L. Kaloujnine) Olkoon p alkuluku ja r luonnollinen luku. Sylow p-alaryhmien ja ovat isomorfinen Iteroidun kruunu tuote Ssr{\ displaystyle \ S_ {p ^ {r}}}
λ(Z/sZ)≀...λ(Z/sZ){\ displaystyle \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) \ wr \ ldots \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})}
ja r ryhmien permutaatioiden yhtä kuin . (Kun otetaan huomioon ≀: n lähes assosiatiivisuus, iteroidun kruunutuotteen sulkeita ei tarvitse määrittää.)
λ(Z/sZ){\ displaystyle \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})}
Yleisemmin jos p on alkuluku, jos n on luonnollinen luku, jos kirjoittaminen n base p on 0 + a 1 p + ... + a r p r , jos me ilmi W (s, p) iteroitu kruunu tuotteen s permutaatioryhmä yhtä kuin , sitten Sylow p-alaryhmiä, S n on isomorfinen suora tuote on 1 kappaletta W (1, s), on 2 kappaletta W (2, s ), ... ja r- kopiot W: stä (r, p).
λ(Z/sZ){\ displaystyle \ lambda (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z})}
- Tässä ”kuvaaja” ymmärretään tarkoittavan suuntaamaton verkko (merkityksessä graafiteoria ).
Tarkastellaan ensin saatua kaaviota seuraavasti.
-
Kaavio Γ
-
Kaavio Γ 1
-
Kaavio Γ 2
Edustamme säännöllisen viisikulmion viittä kärkeä ja jokaisesta kärjestä vedämme ulospäin viisikulmasta 3 suljettua segmenttiä varmistaen, että kahdella kahdesta erillisestä kärjestä tulevalla suljetulla segmentillä ei koskaan ole yhteistä pistettä. (Numerot 5 ja 3 ovat itse asiassa mielivaltaisia.) Otetaan kuvaajan pisteiksi viisikulmion ja muiden segmenttien reunojen pisteet. Otamme segmentit kuvaajan reunoiksi. Saamme siis kuvaajan Γ, jossa on 5 kytkettyä komponenttia. Nämä liitetyt komponentit ovat kaikki isomorfinen kuvaaja, jonka ryhmä automorphisms on isomorfinen S 3 . Osoitamme, että minkä tahansa permutaation s ja 5 kärkien viisikulmio, on olemassa 3 5 automorphisms kuvaajan Γ joka permute nämä 5 kärjet samalla tavalla kuin s , ja että ryhmä isomorfisuudella on Γ on isomorfinen S 3 ≀ S 5 .
Tämä voidaan supistaa seuraavaan yleiseen tosiseikkaan: jos E on joukko, jos E: n osio on joukkoina kaikki ekvipotentit samalle joukolle F, E: n permutaatiot f siten, että I : n mille tahansa elementille i on olemassa elementti j I tyydyttää (toisin sanoen permutaatioista E, joka permutoimaan E i niiden välillä) muodostaa alaryhmän S E isomorfinen (määritelty suhteessa luonnollisen toiminnan ).
(Fi)i∈Minä{\ displaystyle \ (F_ {i}) _ {i \ in I}} f(Fi)=Fj{\ displaystyle \ f (F_ {i}) = F_ {j}} SF WSMinä{\ displaystyle \ S_ {F} \ _ {W} S_ {I}} SMinä{\ displaystyle \ S_ {I}}
Kuvaajan Γ kytkemättömyys ei tietenkään ole välttämätön: jos Γ: n kärkeen lisätään viisikulmion keskipiste ja kaavion reunoihin, lisätään keskuksen yhdistävät segmentit viisikulmion kärkeen, saadaan tällä kertaa kytketty kaavio Γ 1 , jonka automofismiryhmä on isomorfinen S 3 ≀ S 5: n kanssa .
Otetaan taas kaavio (ei kytketty) Γ ja lisätään sen reunoihin viisikulmion 5 sivua. Olkoon obtained 2 näin saatu kaavio. Toisin kuin with: n kohdalla, Γ 2: n automorfismi ei voi millään tavalla läpäistä viisikulmion viittä kärkeä,
sen on läpäistävä ne kuin kierto. Osoitamme, että Γ 2: n automorfismiryhmä on isomorfinen S3≀λ(Z/5Z).{\ displaystyle \ S_ {3} \ wr \ lambda (\ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}).}
Kruunutuotteella rakennettuja vasta-esimerkkejä
- Olkoon G ei-triviaalinen abeliryhmä ( triviaalilla , tarkoitamme tässä pelkistettynä neutraaliin elementtiin) ja H-ryhmä, joka toimii uskollisesti ja siirtymällä ei-tyhjällä joukolla Y, joko vastaava rajoitettu kruunutuote, tai B perusryhmä. Osoitamme, että keskus on on alaryhmän B parien muodostamassa (f, 1), missä f kulkee karttoja Y G, jotka ovat sekä vakio ja rajallinen tukea. Jos Y on ääretön, rajallinen tukikartta Y: stä G: hen voi olla vakio vain, jos sillä on arvo 1 kaikkialla, joten jos Y on ääretön, sen keskipiste pienenee neutraaliksi elementiksi. G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}
Olkoon p alkuluku. Voimme valita ääretön p-ryhmä K (esimerkiksi
Prüfer p-ryhmä , tai suora tuote tai suora summa ääretön perheen ryhmien järjestys s ). Otetaan Y: lle K: n taustajoukko ja H: lle ryhmä λ (K), joka toimii luonnollisesti Y: llä = K; otetaan G: lle joukko järjestystä p . Edellä esitetystä keskipiste pienenee neutraaliksi elementiksi. Nyt p-ryhmien perheen (äärellinen tai ääretön) rajoitettu summa on p-ryhmä ja kahden p-ryhmän puolisuora tuote on p-ryhmä, joten se on p- ryhmä . Tämä osoittaa, että toisin kuin ei-triviaalit rajalliset p -ryhmät, äärettömällä p- ryhmällä voi olla triviaali keskus.
G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H} G wH{\ displaystyle \ G \ _ {w} H}- Rajoitetussa kruunu tuote (vastaa luonnollisen vaikutuksen ) generoidaan kaksi elementtiä (f 1 , 0) ja (0, A 1 ), jossa f 1 tarkoittaa soveltamista Z osaksi Z nolla kaikkialla muualla paitsi 1, jossa se on 1, ja missä λ 1 tarkoittaa käännöstä x ↦ x + 1 Z: ssä . Toisaalta tämän kruunutuotteen perusryhmä ei ole rajallinen, koska kaikkien ei-triviaalien ryhmien äärettömän perheen rajoitettu summa ei ole rajallinen tyyppiryhmä. Tämä osoittaa, että äärellisen tyyppisen ryhmän alaryhmä ei välttämättä ole äärellisen tyyppinen. Z wλ(Z){\ displaystyle \ \ mathbb {Z} \ _ {w} \ lambda (\ mathbb {Z})} λ(Z){\ displaystyle \ \ lambda (\ mathbb {Z})}
Huomaa: Ryhmän λ ( Z ) ja sen luonnollisen toiminnan sijasta olisimme voineet pitää ryhmää Z ja sen säännöllistä toimintaa.
W=Z/2Z WZ{\ displaystyle \ W = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ _ {W} \ mathbb {Z}}
suhteessa
Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z}}
W on siis osittain suoraan tuotteen mukaan suhteessa toiminnan päälle shift:
(Z/2Z)Z{\ displaystyle \ (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}} Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z}} Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z}} (Z/2Z)Z{\ displaystyle \ (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}}
Z×(Z/2Z)Z→(Z/2Z)Z:(k,(uei)ei∈Z)↦(uei-k)ei∈Z{\ displaystyle \ \ mathbb {Z} \ kertaa (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}} \ rightarrow (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}} :( k, (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}) \ mapsto (u_ {nk}) _ {n \ sisään \ mathbb {Z}}}
Merkitään V 0: lla nollaperheiden muodostama alaryhmä missä tahansa tiukasti negatiivisessa indeksissä. Olkoon V W: n alaryhmä V 0 × {0}. Minkä tahansa järkevän kokonaisluvun k tapauksessa W: n alaryhmän (0, k) V (0, k) -1 (missä 0 merkitsee nollaperhettä kaikkialla) muodostaa perheet, jotka ovat nolla kaikissa n <k. Joten jos k> 0, niin (0, k) V (0, k) -1 sisältyy tiukasti V: ään. Tämä osoittaa, että alaryhmän konjugaatti voi sisältyä tiukasti tähän alaryhmään. Joten, jotta ryhmän G elementti x
normalisoi G: n alaryhmän H, ei aina riitä, että xHx -1 sisältyy H: hen.
(Z/2Z)Z{\ displaystyle \ (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {Z}}}
Kaluzhninin ja Krasnerin lause
Krasner ja Kaloujnin osoittivat vuonna 1951, että jos K ja Q ovat ryhmiä, mikä tahansa K: n Q-pidennys on isomorfinen Q: n Q- kruunutuotteen alaryhmään verrattuna Q: n säännölliseen toimintaan.
Tuotettu kahden puoliryhmän kruunussa
Kruunutuotteen käsite voidaan laajentaa monin tavoin ryhmistä puoliryhmiin .
Huomautuksia ja viitteitä
-
Määritelmä sopusoinnussa DJS Robinson kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996, s. 32-33.
-
Katso DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996, s. 33, tai JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, s. 173.
-
Katso DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996, s. 33.
-
Säännöllinen (JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., Painos 1999, s. 175) tai standardin (DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996 , s. 41) anglosaksisessa terminologiassa. . Säännöllisesti julkaisussa J. Delcourt, Théorie des groups , Pariisi, Dunod, 2001, s. 162.)
-
JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, s. 175.
-
J. Delcourt, teoria ryhmien , Pariisi, Dunod, 2001, s. 161.
-
JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , 4 th ed., 1999 painos, s. 172; IM Isaacs, Finite Group Theory , American Mathematical Society, 2008, s. 73.
-
JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, s. 173.
-
"Äärellisten symmetristen ryhmien Sylow-p-ryhmien rakenteesta ja joidenkin näiden ryhmien loputtomista yleistyksistä", Séminaire Bourbaki, joulukuu 1948, s. 29-31, saatavana Numdamin verkkosivustolta . Katso myös JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, s. 176, tai DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996, s. 41-42.
-
JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, Ex. 7.36, s. 178.
-
JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, s. 174-175 ja harjoittele. 7.30, s. 177.
-
J. Delcourt, teoria ryhmien , 2 toinen painos, Pariisi, Dunod 2012, s. 160-161 ja 191.
-
J. Delcourt, teoria ryhmien , Pariisi, Dunod, 2001, s. 162; DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996, s. 139, harjoitus. 11.
-
DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th painos, Springer, 1996, s. 43, harjoitus. 15.
-
J. Delcourt, teoria ryhmien , Pariisi, Dunod, 2001, s. 162 ja 190.
-
M. Krasner, L. Kaloujnine, "Permutaatioryhmien ja ryhmän laajennusongelman I täydellinen tuote", Acta Sci. Matematiikka. Szeged , 13 (1950) s. 208–230; M. Krasner, L. Kaloujnine, "Permutaatioryhmien ja ryhmän laajennusongelman II täydellinen tuote", Acta Sci. Matematiikka. Szeged, 14 (1951) s. 39–66 ja 69–82. Viite, jonka ovat antaneet EA Golubov ja LN Shevrin, "Wreath-tuote", julkaisussa AL Shmel'kin (alullepanija), Matematiikan tietosanakirja (Springer), online .
-
Saat esittelyn, katso JJ Rotman, Johdatus teoria ryhmien , Springer, 4 th ed., 1999 painos, s. 187 ja huomautus s. 188, tai DJS Robinson, kurssille teorian ryhmät , 2 th ed., Springer, 1996, s. 326, harjoitus. 11 ja 12.
-
EA Golubov ja LN Shevrin, "Seppele", julkaisussa AL Shmel'kin (alullepanija), Matematiikan tietosanakirja (Springer), verkossa .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">