q -analogi
Vuonna matematiikassa , tarkemmin alalla combinatorics , joka on Q -analogue on lauseen, henkilö- tai lausekkeen on yleistys, joihin sisältyy uusi parametri Q ja joka on erikoistunut alkuperäisen lauseen kun otetaan asiassa raja , kun q lähestyy 1 Tyypillisesti matemaatikot ovat kiinnostuneita tapauksista, joissa q- analogi esiintyy luonnollisesti, eikä tapauksista, joissa lisätään mielivaltaisesti parametri q jo tunnettuun lauseeseen. Ensimmäisen q -analogues tutkittu yksityiskohtaisesti olivat Hypergeometrinen sarja perus-, joka otettiin käyttöön XIX th -luvulla.
Q analogit löytää sovelluksia useilla aloilla, kuten tutkimus fraktaalit , lukuteoria , ja ilmaisujen entropian kaoottisen dynaamisten järjestelmien. Q -analogues näkyvät myös tutkimuksessa kvantti ryhmien ja superalgebras (in) q -déformées .
Q- analogeja on kaksi pääryhmää : q klassiset -analogit, jotka otettiin käyttöön Leonhard Eulerin teoksessa ja joita sitten laajensi Frank Hilton Jackson (vuonna) , ja q epätavanomaiset -analogit.
q - klassinen teoria
q -johdannainen
Johdannainen todellinen muuttuja funktio on on raja kasvu , kun lähestyy , ja on perinteisesti kutsuttu ero niin . Mutta nollan ulkopuolella voimme merkitä myös osamäärän niin . Juuri tätä viimeistä osamäärää kutsutaan en- q- johdannaiseksi , joka taipuu hyvin kohti, kun se pyrkii kohti 1, jos se on johdettavissa . Tällöin funktion q- johdannainen on arvoinen , mikä pyrkii hyvin kohti johdannaista, kun se pyrkii kohti 1. Tämä oikeuttaa seuraavan määritelmän:
f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}τ=f(x′)-f(x)x′-x{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}x′{\ displaystyle x '}x{\ displaystyle x}h{\ displaystyle h}x′-x{\ displaystyle x'-x}τ=f(x+h)-f(x)h{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}x{\ displaystyle x}q{\ displaystyle q}x′/x{\ displaystyle x '/ x}τ=f(qx)-f(x)(q-1)x{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}f′(x){\ displaystyle f '(x)}q{\ displaystyle q}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}x↦xei{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}qei-1q-1xei-1{\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1}}eixei-1{\ displaystyle nx ^ {n-1}}q{\ displaystyle q}
q- säätimet
Määritämme positiivisen kokonaisluvun q- analyysin seuraavasti:
ei{\ displaystyle n}
[ei]q=1-qei1-q=qei-1q-1=1+q+q2+...+qei-1.{\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ ldots + q ^ {n-1}.}q -faktori
Sitten tietenkin määritellä q -analogue n kertoma kokonaisluvun mukaan:
ei{\ displaystyle n}
ei!q{\ displaystyle n! _ {q}}
|
=[1]q⋅[2]q⋯[ei-1]q⋅[ei]q{\ displaystyle = [1] _ {q} \ cdot [2] _ {q} \ cdots [n-1] _ {q} \ cdot [n] _ {q}}
|
|
=1-q1-q⋅1-q21-q⋯1-qei-11-q⋅1-qei1-q{\ displaystyle = {\ frac {1-q} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {2}} {1-q}} \ cdots {\ frac {1-q ^ {n -1}} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}}}
|
|
=1⋅(1+q)⋯(1+q+⋯+qei-2)⋅(1+q+⋯+qei-1).{\ displaystyle = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n-1}).}
|
Tämä Q -analogue n kertoma on seuraavat kombinatorinen tulkinta: kun on määrä järjestyksen permutaatioiden , laskea nämä samat muunnelmia ja pitää kirjaa siitä, kuinka monta käännellen . Toisin sanoen, että jos on määrä kääntämisten permutaatioryhmän ja kaikki permutaatioista järjestyksessä n , meillä on: .
ei!{\ displaystyle n!}ei{\ displaystyle n}ei!q{\ displaystyle n! _ {q}}inv(σ){\ displaystyle {\ text {inv}} (\ sigma)}σ{\ displaystyle \ sigma}Sei{\ displaystyle S_ {n}}∑σ∈Seiqinv(σ)=ei!q{\ displaystyle \ summa _ {\ sigma \ muodossa S_ {n}} q ^ {{\ text {inv}} (\ sigma)} = n! _ {q}}
Q -factorial on myös suppea kannalta on Pochhammer n q -symbols :
ei!q=(q;q)ei(1-q)ei{\ displaystyle n! _ {q} = {\ frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}}.
q -binomial kertoimet
Vuodesta q -factorial määrittelemme Q -binomial kertoimia tai Gaussin Binomikertoimien , Q -analogues on binomisen kertoimia :
(eik)q=ei!q(ei-k)!qk!q{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q} = {\ frac {n! _ {q}} {(nk)! _ {q} k! _ {q}}}}, totesi myös .
[eik]q{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {q}}Tämä mahdollistaa myös määritellä q -analogue räjähdysmäinen (in)
eqx=∑ei=0∞xei[ei]q!{\ displaystyle e_ {q} ^ {x} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {[n] _ {q}!}}},
sitten määritellä q -analogues trigonometriset ja hyperbolinen toimintoja, sekä q -analogue on Fourier-muunnos .
q - ei-klassiset analogit
Sovellukset
Huomautuksia ja viitteitä
(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu
englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista
" q-analog " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
-
(in) Harold Exton, q-Hypergeometrisen toiminnot ja sovellukset , E. Horwood, 1983 ( ISBN 978-0-85312491-7 ) .
-
(sisään) FH Jackson, "Meillä on q-toimintoja ja meillä on erilainen operaattori", Trans. Roy. Soc. Edin. , lento. 46, 1908, s. 253 - 281.
-
(en) Thomas Ernst , “ A method for q-calculus ” , JNMP , voi. 10, n o 4,2003, s. 487-525 ( lue verkossa ).
-
(en) Victor Kac ja Pokman Cheung, Quantum Calculus , Springer,2002( lue verkossa ) , luku 1
-
(in) George Pólya ja Gábor Szegő , Problems and Theorems in Analysis , voi. Minä, Springer ,1997( 1 st toim. 1972) ( lue linja ) , s. 11. Tämän sivun 11 alaosaan on kirjoitettu: “ Vrt. CF Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vuosikerta. 2, erityisesti s. 16–17 . "
-
Vrt. Esimerkiksi (in) Eric W.Weisstein , " q- binomiokerroin " , MathWorldissa tai ( " ) " Umbral calculus " , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , lue verkossa ).
Katso myös
Aiheeseen liittyvä artikkeli
q -peräinen (sisään)
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">