Zeta-laillistaminen

Zeta funktio laillistaminen on menetelmä regularisointi ja määritetään (in) on operaattorien , jotka näkyvät laskelmat koko polkuja on Kvanttikenttäteoria .

Laplacian tapaus

Joko kompakti alue aluksella . Tässä kentässä otetaan huomioon positiivinen operaattori , missä on Laplacian , jolla on kentän reunalla rajaedellytykset (Dirichlet, Neumann, sekoitettu), jotka määrittelevät ongelman täysin. $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ osittainen \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\Delta$ $\ osittainen \ Omega$

Kun kenttä on kompakti, positiivisella operaattorilla on erillinen ominaisarvojen spektri , johon liittyy ominaisvektorien ortonormaalipohja (tässä käytetään Diracin merkintöjä ): $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ displaystyle {\ hattu {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Spektrinen zeta-toiminto

Määritelmä

Oletamme tässä, että perustavanlaatuinen . Esittelemme analogisesti Riemannin zeta-funktion kanssa spektraalisen zeta-funktion Dirichlet-tyyppisarjalla : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

Tämä sarja yhtyy vain riittävän suurille $Re$ ( s ): lle, mutta se myöntää meromorfisen jatkeen koko monimutkaiselle tasolle.

Kun spektri operaattori ei tiedetä selvästi, voimme käyttää virallista määritelmää kuin jälki : ${\ hattu {H}}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ exp \ \ vasen [\ - \ s \ \ ln {\ hattu {H}} \ \ oikea]}$

Yhteys determinanttiin

Operaattorin H determinantti määritetään seuraavasti:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Henkilöllisyyden kanssa:

${\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ oikea) \ = \ \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hattu {H}}}$

osoitamme helposti muodollisen suhteen:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hattu {H}} \ = \ \ exp \, \ vasen [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}$

jossa zeta-funktion derivaatti arvioidaan arvolla s = 0.

Yhdistä lämpöytimeen

Zeta-toiminto on linkitetty Mellin-tyyppisellä muunnoksella :

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {d} t \ t ^ {s- 1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

jälkiä ja lämmön ytimen , joka määritellään:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Yhdistä integraaliin

N kokonaisluvulle zeta-laillistaminen antaa mahdollisuuden antaa merkityksen muodon erilaisille integraaleille ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n} \:}$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n} = {\ frac {n} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d } xx ^ {n-1} + \ zeta (-n) - \ summa _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2r}} {(2r)!}} a_ {n, r } (n-2r + 1) \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {d} xx ^ {n-2r}}

a _ {{n, r}} = {\ frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (n-2r + 2)}}

Tämän menetelmän esittivät kvanttikenttäteoriassa fyysikot, kuten James Hartle ja Emilio Elizalde. Sitä voidaan käyttää kahden jakauman tuloksen laillistamiseen konvoluutiolauseen kanssa divergenttien integraalien kanssa ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {d} t (xt) ^ {m} t ^ {n}}$

Laajennukset

Kaikki edelliset määritelmät on siirretty aivan luonnollisesti Laplace-Beltrami-operaattorin tapaukseen pienikokoisessa Riemannin- pakosarjassa , jolla on sitten myös erillinen spektri. Ne ulottuvat myös aluksella oleviin ei-kompakteihin lajikkeisiin, kun spektri on edelleen erillinen.

Teoriaa on myös mahdollista laajentaa toiselle elliptiselle operaattorille .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Bibliografia

Lähdekirjat

(en) E. Elizalde, Spectral Zeta -toimintojen kymmenen fyysistä sovellusta, luentotiedot fysiikassa. Uusi sarja M35 (Springer-Verlag, 1995), luku 1 .
(en) E. Elizalde, SD Odintsov, A. Romeo ja S. Zerbini, Zeta Regularization Techniques With Applications , (World Scientific, 1994).

Artikkelit

(en) JS Dowker ja R.Critchley, tehokas Lagrangian- ja energiamomenttiensori de Sitter spaceessä , Physical Review D 13 (1976), 3224-3232.
(en) Stephen Hawking , Zeta-funktion laillistaminen reittiintegraaleissa kaarevassa avaruudessa , Communications in Mathematical Physics 55 (2) (1977), 133-148. Euclid-projekti .
(en) André Voros, Spektraalitoiminnot, erikoistoiminnot ja Selbergin zeta-toiminto , Matemaattisen fysiikan viestinnät 110 (3) (1987), 439–465. Euclid-projekti .
Pierre Cartier ja André Voros, Selbergin jälkikaavan uusi tulkinta , Osittaisten differentiaaliyhtälöiden päivät (1988), Art. Nro 13. Numdam

(en) E. Elizalde, Zeta-funktion laillistaminen on hyvin määritelty ja hyvin , Journal of Physics A 27 (1994), L299-304.