Dirichlet-sarja

On matematiikka , joka on Dirichlet sarja on sarja $f ( t )$ toimintoja on määritelty joukon yli ℂ on kompleksilukujen , ja liittyy sarja $( n )$ kompleksilukuja jollakin seuraavista tavoista:

{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} \ quad {\ text {tai}} \ quad f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

Tässä sekvenssi $( λ n )$ on todellinen, positiivinen, tiukasti kasvava ja rajoittamaton. Verkkotunnuksen absoluuttinen lähentyminen on dirichlet'n sarja on joko avoin puoli-tasossa on ℂ, rajoittaa linja, jonka kaikki pisteet on sama abskissa, tai tyhjä joukko , tai ℂ kokonaan. Verkkotunnuksen yksinkertainen lähentyminen on luonteeltaan samanlaisia. Yksinkertaisen lähentymisen alueella sarjan määrittelemä toiminto on holomorfinen . Jos todellinen osa $s$ pyrkii $+ \infty$ , summa toiminto, jos se on olemassa, yleensä $0$ .

Dirichlet- sarjoja käytetään analyyttisessä lukuteoriassa . Dirichlet analysoi joitain niistä, Dirichletin L-sarja , osoittaakseen aritmeettisen etenemisen lauseen vuonna 1837 . Riemannin hypoteesi on ilmaistu, että nollia ja analyyttinen jatkaminen summan funktio dirichlet'n sarja.

Määritelmät ja esimerkit

Määritelmät

Dirichlet-sarjassa on kaksi erilaista määritelmää:

Dirichlet-sarja on seuraavan muotoinen sarja, jossa $( a n )$ tarkoittaa kompleksilukujen sarjaa:

{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

Tässä artikkelissa käytetään yleisempää määritelmää:

Dirichlet-sarja on seuraavan muotoinen sarja, jossa $( a n )$ tarkoittaa kompleksilukujen sarjaa ja $( λ n )$ todellista, positiivista, tiukasti kasvavaa ja rajoittamatonta sekvenssiä:

{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

Ensimmäinen määritelmä vastaa erityistapausta $λ n = ln ( n )$ .

Yhdistämme tällaiseen sarjaan klassisesti kaksi toimintoa ${\ displaystyle A (u) = \ summa _ {1 \ leq n \ leq u} a_ {n}, \ quad A _ {\ lambda} (x) = \ summa _ {\ lambda _ {n} \ leq x } vuosi}}$ .

Esimerkkejä

"Klassisen" Dirichlet-sarjan joukossa ensimmäisen määritelmän mukaiset ovat Dirichlet L -sarja , jotka vastaavat tapauksia, joissa sekvenssi $( a n )$ on täysin kerrottava ja jaksollinen . Yksinkertaisin esimerkki tällaisesta sekvenssistä (kutsutaan Dirichlet-merkiksi ) on vakiosekvenssi $a n = 1$ , joka vastaa Riemann-sarjaa ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}$ .
Dirichlet-sarjan teoria sallii muiden klassisten teorioiden sisällyttämisen sallimalla muut eksponenttisekvenssit λ n kuin sekvenssi (ln ( n )) :
- Jos arvot $λ n$ vahvistavat: $λ n = n$ ja jos merkitsemme $z = e - s$ , sarja on muoto: ${\ displaystyle f (z) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$ .Löydämme kokonaisen sarjan määritelmän , paitsi additiivivakion.
- Tapauksessa, jossa $λ n = 2π n$ , muuttujan $s = -i t$ muutos osoittaa, että Fourier-sarja on myös Dirichlet-sarjan erityistapaus.

Lähentyminen abscissa

Yksinkertainen lähentyminen ja absoluuttinen lähentyminen

Kun sarjalla ei ole positiivisia kertoimia (tai samaa merkkiä), on välttämätöntä erottaa absoluuttinen konvergenssi yksinkertaisesta konvergenssista.

Esimerkki : Dirichlet eta -funktion Dirichlet-sarja on . Se yksinkertaisesti lähenee (se on vuorotteleva sarja ) reaaliluvuille $> 0$ (ja eroaa, jos $s$ $<0$ ) ja yhtyy ehdottomasti reaaliluvuille $> 1$ (ja vain niille). Lisäksi etafunktio ulottuu holomorfisesti koko kompleksitasolle, vaikka sarja ei lähentyisi, jos $s$ $\leq 0$ . ${\ displaystyle \ eta (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ yli n ^ {s}}}$

Sanomme, että $0$ on yksinkertaisen konvergenssin abscissa , että $1$ on Dirichlet-sarjan absoluuttisen konvergenssin abscissa ja että $-\infty$ on holomorfian absessi .

Yksinkertainen lähentyminen abscissa

Olkoon $C f$ reaalilukujen $a$ joukko siten, että sarja $f ( a + b i)$ yhtenee ainakin yhdelle todelliselle $b: lle$ . Tämä sarja sallii määritelmän:

Yksinkertainen lähentyminen abskissa , jota kutsutaan myös lähentymistä abskissa, on alaraja $σ c$ joukon $C f$ . Toisin sanoen: jos $C f: tä$ ei aliarvioida, niin $σ c = -\infty$ , jos $C f$ on tyhjä, $σ c = + \infty$ , ja kaikissa muissa tapauksissa $σ c$ on suurin todellinen $σ$ sellainen, että puoliskon kaikissa pisteissä -taso $Re ( s ) <σ$ , sarja eroaa.

Tämä lähentymisen paise on ehdotuksen kohde:

Puolitasossa $Re ( s )> σ c$ sarja $f$ on yhtenevä.
Tämän puolitason minkä tahansa pisteen $s 0$ kohdalla konvergenssi on tasainen kaikilla muodon sektorilla $| arg ( s - s 0 ) | \leq θ$ , missä $0 \leq θ <π / 2$ .

Johtopäätöksenä on, että konvergenssi on tasainen puolitason minkä tahansa pienikokoisen osajoukon suhteen, joten seuraus:

Dirichlet-sarja on holomorfinen puolitasotasollaan ja . ${\ displaystyle f '(s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} - \ lambda _ {n} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} }$

Jos sekvenssi $( A ( n ))$ on rajattu , niin konvergenssi-absessi on negatiivinen tai nolla. Yleisemmin :

Olkoon $L olla$ seuraavat yläraja : $L = \ limsup _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {\ ln | A (n) |} {\ lambda _ {n}}}.$ Jos $L > 0,$ niin $σ c = L$ ; jos $L \leq 0,$ niin $σ c \leq 0$ .

Todistamalla tämän ominaisuuden saamme välittämällä seuraavan kiinteän lausekkeen:

Kaikille kompleksiluvuille $s$ , joiden todellinen osa on ehdottomasti suurempi kuin $max (σ c , 0)$ , ${\ displaystyle (*) \ quad f (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x }$ .

Klassisten Dirichlet-sarjojen tapauksessa (ts. $Λ n = ln ( n )$ ), tästä kaavasta tulee muuttujaa muuttamalla:

{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}

. Esittelyt

Näiden mielenosoitusten päätyökalu on pieni muunnelma Abelin summauskaavasta (saatu Abelin muunnoksella ):

{\ displaystyle (1) \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} - \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} x}} \ vasen (\ mathrm {e} ^ {- sx} \ oikea) \ mathrm {d} x = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}

ja vastaavasti, jos $p \leq q$ :

{\ displaystyle (2) \ quad \ summa _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = (A (q) -A (p -1)) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {\ lambda _ {p}} ^ {\ lambda _ {q}} \ vasemmalle (A _ {\ lambda } (x) -A (p-1) \ oikea) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}

(mikä vastaa korvaa $1$ $,$ $2$ $, ...,$ $p$ $- 1$ , jonka $0$ olevassa ensimmäisessä kaavassa).

Yhtenäinen lähentyminen:
Merkintöjen keventämiseksi voimme ensin palata tapaukseen $s 0 = 0$ muuttamalla muuttujaa ja muuttamalla kertoimia kirjoittamalla sarja muotoon ${\ displaystyle \ summa \ vasen (a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s_ {0} \ lambda _ {n}} \ oikea) \ mathrm {e} ^ {- (s-s_ {0}) \ lambda _ {n}}}$ .Olkoon $ε$ ehdottomasti positiivinen reaali ja $D$ sektori $| arg ( s ) | \leq θ$ , tavoitteena on osoittaa, että: ${\ displaystyle \ on olemassa N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall s \ in D \ quad \ forall p, q \ geq N {\ text {with}} p \ leq q \ quad \ left | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ oikea | \ leq \ varepsilon}$ .Hypoteesin mukaan Dirichlet-sarja lähentyy arvoon $s 0 = 0$ , ts. Sekvenssi $( A ( n ))$ on konvergentti. Jos $N$ valitaan riittävän suureksi, meillä on siis: ${\ displaystyle q \ geq p \ geq N \ Rightarrow | A (q) -A (p-1) | \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta)}$ .Jokaisella pisteellä $s$ ja $D$ ja kaikkien $q \geq p \geq N$ , me sitten päätellä kaava (2): ${\ displaystyle {\ alkaa {tasattu} \ vasen | \ summa _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ oikea | & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ big (} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} + {\ frac {| s |} {\ mathrm {Re } (s)}} vasemmalle (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {p}} - \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} \ oikea) {\ iso)} \\ & = \ varepsilon \ cos (\ theta) \ vasen ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} - \ vasen ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} -1 \ oikea) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {q} {\ text {Re}} (s)} \ right) \\ & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ frac { | s |} {{\ text {Re}} (s)} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} \\ & \ leq \ varepsilon. \ end {tasattu}}}$ Soveltamista Cauchyn kriteeri päättyy todiste.
$max (0, L ) \geq σ c$ ja jos $Re ( s )> max (0, L ),$ niin $f ( s )$ annetaan kaavalla (*):
Osoitetaan tälle, että jos $Re ( s )> max ( 0, L )$ , sitten Dirichlet-sarja $s: ssä$ yhtenee (mikä osoittaa, että $max (0, L ) \geq σ c$ ) ja sen arvo annetaan tällä kaavalla. Olkoon $σ$ sellainen todellinen, että $Re ( s )> σ> max (0, L )$ . Koska $σ> L$ , meillä on jokaiselleriittävän suurelle $n$ : lle: ${\ displaystyle | A (n) | \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}}}$ ja koska $σ> 0,$ meillä on sitten: ${\ displaystyle \ forall x \ in [\ lambda _ {n}, \ lambda _ {n + 1} [\ quad | A _ {\ lambda} (x) | = | A (n) | \ leq \ mathrm { e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}} \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma x}}$ .Näin ollen, kun teemme $q$ yleensä on $+ \infty$ kohdassa (1), ensimmäinen kaksi termiä summa pyrkii $0$ ja toinen on (täysin) suppenevan kiinteä, joka tekee.
Jos $L > 0$ niin $σ c \geq L$ :
Näytämme miksi $max (0, σ c ) \geq l$ ja tätä tarkoitusta varten, aseta todellinen $σ$ ehdottomasti suurempi kuin $0$ ja $σ c$ ja sitten näyttää, $σ \geq L$ .
Merkitään $B n$ osittaisten summien ja Dirichlet'n sarjan $σ$ ja $M$ ylemmän sidottu n itseisarvo $B n$ . Muutos Abel osoittaa, että: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = \ summa _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma}) + B_ {n} \ mathrm {e } ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}$ .Voimme päätellä: ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ leq M \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} \ oikea) + M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma } \ leq 2M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}$ ,mikä osoittaa, että: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sigma \ geq {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left (\ ln \ left (\ left | \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ oikea | \ oikea) - \ ln (2M) \ oikea)}$ .Siksi meillä on $σ \geq L$ .
Yhteenveto kahden edellisen seikkaa:
Jos $L > 0$ sitten $σ c \geq L$ ja $σ c \leq max (0, L ) = L$ , niin $σ c = l$ .
Jos $L \leq 0,$ niin $σ c \leq max (0, L ) = 0$ .
Lopuksi (*) pätee kaikkiin todellisen osan $s-$ arvoihin, jotka ovat ehdottomasti suurempia kuin $max (0, L )$ , mikä on molemmissa tapauksissa todellakin yhtä suuri kuin $max (σ c , 0)$ .

Toinen ehdotus käsittelee tapausta, jossa yksinkertainen konvergenssi-absessi on ehdottomasti negatiivinen:

Jos Dirichlet-sarjan yksinkertainen konvergenssi-absessi on ehdottomasti negatiivinen, se on sama kuin seuraava raja: ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ left (\ left | \ sum _ {k = n + 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ right | \ right) } {\ lambda _ {n + 1}}}}$ .

Holomorfinen paise

Tämä absissi $σ h$ määritellään reaalilukujoukon $x$ alarajaksi siten, että sarja sallii holomorfisen pidentymisen puolitasossa $Re ( s )> x$ .

Edellä esitetyn perusteella meillä on aina

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {h}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}}}

mutta merkittävä ero kokonaislukusarjojen kanssa on, että tämä epätasa-arvo voi olla tiukka, kuten esimerkki Dirichlet L -funktioista liittyy muihin kuin päähahmoihin .

Meillä on kuitenkin tasa-arvo, jos sarjan kertoimet ovat positiivisia:

Landaun lause - Olkoon Dirichlet-sarja

{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

joiden kaikki kertoimet

a n

ovat positiivisia tai nolla reaaleja ja joiden konvergenssi-abscissa

σ c

on todellinen. Sitten

σ c

f:

n yksikköpiste ja meillä on

σ h = σ c

. Esittely

Oletetaan järjetöntä , että sarja sallii analyyttisen jatkeen levylle, jonka keskipiste on $σ c$ ja säde $3ε> 0$ . Sitten se olisi sen Taylor-sarjan summa levyllä, jolla on sama säde ja keskipiste $σ c + ε$ . Kuitenkin tässä keskuksessa sen Taylor-kertoimet lasketaan johtamalla termi termiltä Dirichlet-sarja. $Arvioimalla$ tämän levyn pisteessä $σ c - ε$ saisimme näin:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} + \ infty &> \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (- \ lambda _ {n}) ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ oikea) {\ frac {(-2 \ varepsilon) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} \ vasemmalle (\ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ lambda _ { n} ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ oikea) {\ frac {(2 \ varepsilon) ^ {k}} { k!}} \\ & = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon) } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2 \ varepsilon \ lambda _ {n}) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ summa _ {n = 1 } ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ mathrm {e} ^ {2 \ varepsilon \ lambda _ { n}} \\ & = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} - \ varepsilon)} , \ end {tasattu}}}

kaksoissarjan kääntäminen on perusteltua, koska se on positiivinen. Dirichlet-sarja olisi siis konvergentti $σ c - ε: ssä$ , mikä on vastoin $σ c:$ n määritelmää .

Meillä on myös $σ h = σ c$ muiden täydentävien oletusten yhteydessä, poseeraamalla

\ Delta = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac n {\ lambda _ {n}}} \ quad {\ text {et}} \ quad G = \ liminf _ {{n \ to \ infty}} (\ lambda _ {{n + 1}} - \ lambda _ {n})

Jos $Δ = 0$ , jos $G > 0$ ja jos $σ c$ on äärellinen, niin mikä tahansa suoran $Re ( s ) = σ c$ piste on yksikön funktiolle.
Jos $Δ$ on rajallinen, jos $G > 0$ ja jos $σ c$ on äärellinen, niin mikä tahansa suoran $Re ($ $s$ $) = σ$ $c$ pituuden $2 π / G$ segmentti sisältää ainakin yhden yksikön funktiolle (joka yleistää tosiasian, että koko sarjan osalta konvergenssilevyn reuna sisältää ainakin yhden yksittäisen pisteen).

Absoluuttinen lähentyminen abscissa

Määritämme samalla tavalla absoluuttisen konvergenssin $α$ $a$ abskissan reaalilukujoukon $x$ alarajana , jolle sarja on absoluuttisesti yhtenevä puolitasossa $Re ($ $s$ $)>$ $x$ . Kaksi abcissaa $σ$ $a$ ja $σ$ $c$ (ilmeisesti yhtä suuri positiivisten kertoimien sarjassa) ovat yleensä yhteydessä eriarvoisuuksiin:

\ sigma _ {{{\ mathrm c}}} \ leq \ sigma _ {{{{\ mathrm a}}} \ leq \ sigma _ {{{{\ mathrm c}}} + D \ nelos \ grave u}}} \ quad D = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ ln n} {\ lambda _ {n}}}.

Osoitamme lisäksi, että:

{\ displaystyle {\ text {si}} \ quad D = 0 \ quad {\ text {then}} \ quad \ sigma _ {\ mathrm {c}} = \ sigma _ {\ mathrm {a}} = \ limsup _ {n \ - \ infty} {\ frac {\ ln | a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}}

joka yleistää Cauchy-Hadamard-lause on lähentymistä säde koko sarjan. Huomaa, että $D$ on nolla heti, kun $Δ$ on äärellinen, mutta se ei riitä varmistamaan yksittäisten pisteiden olemassaoloa kriittisellä viivalla.

"Klassisen" Dirichlet-sarjan tapauksessa : meillä on $D$ $= 1$ , joten: $\ summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {a_ {n} \ yli n ^ {s}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {c}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {a}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}} +1}

Esimerkki Dirichlet-sarjan Dirichletin ( ) etafunktiosta osoittaa, että meillä on optimaalinen epätasa-arvo: sarja yksinkertaisesti lähentyy (se on vuorotteleva sarja ) vain reaaliluvuille $> 0$ ja ehdottomasti vain reaaliluvuille. Reaaliluvut $> 1$ . $\ eta (s) = \ summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {(- 1) ^ {{n-1}} \ yli n ^ {s}}$

Kehityksen ainutlaatuisuus

Palataan tapaukseen, jossa kahdella vertailtavalla sarjalla on sama tyyppi (eli sama $λ n$ ) ottamalla vastaavien tyyppiensä (järjestäytyneellä tavalla järjestetty) unioni.

Tässä tapauksessa, jos niillä on sama rajafunktio puolitasossa $Re ( s )> σ,$ missä ne molemmat yhtyvät, niin heillä on Perronin kaavan mukaan samat kertoimet.

Tähän riittää, että $σ$ on muodoltaan $Re ( s 0 ) + ε$ tietylle $s 0: lle,$ jossa kaksi sarjaa yhtenevät ja tietty $ε> 0,$ ja että tämän puolitason kaksi toimintoa yhtyvät toistensa pisteiden äärettömyyteen sektorille $| arg ( s - s 0 ) | \leq θ,$ kun $θ <π / 2$ . Itse asiassa, jos ero näiden kahden toiminnon ei ole nolla, niin sen nollat kuten verkkotunnuksen ovat rajalliset, koska eristettiin ja rajoittuu (koska ero kaksi sarjaa, jaettuna sen ensimmäinen ei-nolla aikavälillä, suppenee $s 0$ siis tasaisesti yhtenevä tällä sektorilla , niin että siihen liittyvä toiminto pyrkii kohti $1,$ kun $s$ on ääretön).

Esimerkkejä Dirichlet-sarjan hajoamisista

${\ frac 1 {\ zeta (s)}} = \ summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}$ missä $μ$ on Möbius-funktio .
${\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}}$ missä $φ$ on Euler-indikaattori
ja yleisemmin, missä $J$ $k$ on Jordanian osoitusfunktio . ${\ frac {\ zeta (sk)} {\ zeta (s)}} = \ summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}}$
$\ zeta (s) \ zeta (sa) = \ summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ sigma _ {{a}} (n)} {n ^ {s} }}$ missä $σ a ( n )$ on jakajafunktio .
${\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = = summa _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}}$ .

Analyyttiset ominaisuudet

Monissa tapauksissa Dirichlet-sarjaan liittyvällä analyyttisellä toiminnolla on analyyttinen laajennus suuremmalla kentällä. Tämä on asianlaita Riemannin Zeta funktio , meromorphic on ℂ yhdellä napa on $s = 1$ . Yksi tärkeimmistä ja ratkaisemattomimmista matematiikan oletuksista, nimeltään Riemannin hypoteesi, koskee tämän funktion nollia.

Ensimmäinen vaihe yleisen Dirichlet-sarjan analyyttisen laajennuksen tutkimuksessa

{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

on määritellä uusi Dirichlet-sarja

{\ displaystyle F (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ mu _ {n}}, \ quad \ mathrm {o { \ grave {u}}} \ quad \ mu _ {n} = \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n}}}

joka yhtyy ainakin puolitasolle $Re ( s )> 0,$ jos $σ c <\infty$ (ja jopa koko tasolle, jos $σ c <0$ ).

Käyttämällä sitä funktio $Γ$ tyydyttää minkä tahansa reaaliosan $> 0$ kompleksin $s$ ( muuttujan $x = t μ$ $n muutoksella$ )

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ Gamma (s) = \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- t \ mu _ {n}} t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t}

ja perustelemalla sarjaintegraalin inversio riittävillä korotuksilla saadaan sitten kompleksille $s$ niin, että $Re ( s )> max (σ c , 0)$ :

f (s) = {\ frac 1 {\ Gamma (t)}} int _ {0} ^ {\ infty} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t

Päättelemme ohimennen, että kaikkien $σ> max (σ c , 0)$ , $F ( t )$ on ensisijainen arvo on

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {\ sigma - \ mathrm {i} \ infty} ^ {\ sigma + \ mathrm {i} \ infty} \ Gamma (\ zeta) f (\ zeta) \ zeta ^ {- s} ~ \ mathrm {d} \ zeta}

Mutta ilmentymistä $f$ funktiona $F$ on erityisen hyödyllinen päätellä meromorphic pidentämistä, tiettyjen oletusten:

Lause ( Hardy - Musta ) - Jos $σ c <\infty$ ja jos $F$ ulottuu meromorfiseksi funktioksi $0: ssa$ , napan järjestys $q \geq 0$ , niin $f$ ulottuu meromorfiseksi funktioksi koko monimutkaisella tasolla niin, että vain mahdollista yksinkertaisten pylväiden pylväät $1, 2,\dots, q$ .

Esittely

Voimme helposti todistaa, että $F$ on nopeasti vähenemässä , joten

\ Gamma (s) f (s) = \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t + \ int _ {x} ^ {{ + \ infty}} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t

missä kaikille $x > 0$ : lle toinen integraali on kokonaisfunktio . Hypoteesin mukaan $F: llä$ on $nollan$ läheisyydessä muodon kehitys:

F (t) = \ summa _ {{k = 0}} ^ {\ infty} c_ {k} t ^ {{kq}}

siksi $x: lle$ riittävän pieni ja kompleksille $s$ niin, että $Re ( s )> q$ :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t = \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {kq + s}} {kq + s}}}

Kuitenkin, tämä sarja suppenee mitään monimutkaisia $s$ eri kokonaislukujen $q , q - 1, q - 2, ...$ (koska suppenemissäde koko sarjan kertoimien $c k$ ei muuteta, kun jakaa näitä kertoimia, joita $k - q + s$ ) ja määrittelee meromorfisen funktion, jossa (yksinkertaiset) navat $q - k$ kaikille luonnollisille numeroille $k$ . Koska funktio $1 / Γ$ on kokonaisluku, saadaan siten meromorfinen jatko, jonka merkitsemme jälleen $f$ : llä koko kompleksitasolla:

{\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} vasemmalle (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {k -q + s}} {kq + s}} + \ int _ {x} ^ {+ \ infty} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t \ oikea)}

Lopuksi nollat $1 / Γ$ pisteissä $0, -1, -2$ jne. kompensoida vastaavat yksinkertaiset navat, siksi $f: llä$ on vain mahdolliset (yksinkertaiset) navat $q , q - 1,\dots, 1$ .

Voimme myös laskea, kokonaislukujen $q - k$ , The tähteen tai arvoon $f$ , riippuen siitä $0 \leq k < q$ tai $k \geq Q$ :

\ forall n \ in \ {q, q-1, \ ldots, 1 \} \ quad {\ text {Res}} (f, n) = {\ frac {c _ {{qn}}} {\ Gamma ( n)}}

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f (-n) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {\ Gamma (-n + \ varepsilon)}} { \ frac {c_ {q + n} x ^ {\ varepsilon}} {\ varepsilon}} = {\ frac {c_ {q + n}} {{\ text {Res}} (\ Gamma, -n)}} = (-1) ^ {n} ~ n! ~ C_ {q + n}}

Historiallinen

Dirichlet määritteli nämä sarjat vuonna 1837 ja käytti niitä osoittamaan aritmeettisen etenemislausekkeen, jonka mukaan missä tahansa aritmeettisessa etenemisessä $an + b$ on päälukujen ääretön heti, kun $a$ ja $b$ ovat ensisijaisia toisilleen. Heitä tutkittiin vain Eugène Cahenin työstä , joka teki siitä väitöskirjansa aiheeksi vuonna 1894. Mutta hänen väitöskirjaansa kritisoitiin monin tavoin ja se aiheutti uutta työtä. Harald Bohrin määrittelemä melkein jaksollisten toimintojen avulla voitiin osoittaa, että Dirichlet-sarjan määrittelemät toiminnot positiivisilla kertoimilla ovat melkein jaksollisia absoluuttisen lähentymisen puolitasossa.

Osa teorian kehityksestä, katsottuna historiallisesta näkökulmasta, löytyy tästä linkistä.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Dirichlet-sarja " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Huomautuksia

Valiron 1926 .
Tämän määritelmän mukaan, koko sarja on nolla $0$ .
Petkov ja Yger 2001 , s. 8
Katso esimerkiksi Valiron 1926 , s. 7, Petkov ja Yger 2001 , s. 11, Mandelbrojt 1969 , s. 12 tai (fi) DV Widder , Johdatus muutoksen teoriaan , Academic Press ,1971( lue verkossa ) , s. 31.
Cahen 1894: n alkuperäinen lausuma ”jos σ c ≥ 0 niin σ c = N ” ja sen todiste, vaikka sellaiseksi otetaan Apostol 1990 , s. 162-164 ( esikatselu päällä Google Books ), ovat vääriä jos $σ$ $c$ $= 0$ . Kuitenkin Hardy ja Riesz 1915 , s. Kuviot 6-7 osoittavat tämän lausunnon Cahen sillä lisäolettamuksella, että sarja eroaa 0: sta tai lähentyy nollasta poikkeavaan arvoon, ja (in) Hugh L.Montgomery ja RC Vaughan , Multiplikatiivinen numeroteoria I: Klassinen teoria , UPC , 2007( lue verkossa ) , s. 13tee niin ilman tätä oletusta, mutta vain klassiselle Dirichlet-sarjalle ( ts . $λ n = ln ( n )$ ).
(julkaisussa) T. Kojima , " Dirichletin sarjan konvergenssipuoliskosta " , TMJ , voi. 6,1914, s. 134 - 139edellyttäen variantti $N '$ ( nähty päällä Google Books ), joka on aina sama kuin $σ c$ , vaikka $N'$ ei ole ehdottoman positiivinen: vrt Maurice Blambert , " Yleisen Dirichlet-sarjan yksinkertaisen lähentymisen absisseista ", Ann. Inst. Fourier , voi. 14, n ° 21964, s. 509-518 ( lue verkossa ).
Katso suorat todisteet tässä tapauksessa ja esimerkkejä artikkelista " Abelin yhteenvetokaava ".
Petkov ja Yger 2001 , s. 12
Petkov ja Yger 2001 , s. 9 ja Colmez 2009 , s. 274
Cahen 1894 , s. 92
Hardy ja Riesz 1915 , s. 6
Petkov ja Yger 2001 , s. 47
on syntymässä Mellin muunnos ja $F$ .
Erityistapausta, jossa $f$ on Riemannin zeta-funktio - $F ( t )$ on selvästi yhtä suuri kuin $1 / (e t - 1),$ käsitellään artikkelin “Riemann zeta -toiminto” §: ssä ”Integraali lauseke” .
Petkov ja Yger 2001 , s. 49
Petkov ja Yger 2001 , s. 49 yleisessä tapauksessa. Klassisen Dirichlet-sarjan osalta katso myös Colmez 2009 , s. 280 ja sitä seuraavat.
Colmez 2009 , s. 247: Holomorfiset toiminnot, jotka on määritelty integraalilla
" [...] ensimmäinen yritys rakentaa systemaattista teoriaa funktion $f '( t )$ tehtiin CAHEN vuonna muistelmateos joka tosin suuri osa analyysistä, joka sisältää on avoin kritisoitu vahvasti, on toiminut - ja mahdollisesti vain tästä syystä - lähtökohtana useimmille aiheen myöhemmille tutkimuksille. » , Hardy ja Riesz 1915 , s. 1-2

Viitteet

(en) Tom M. Apostol , Modulaariset toiminnot ja Dirichlet-sarja numeroteoriassa , Springer , coll. " GTM " ( n o 41)1990( lue verkossa )
Eugène CAHEN , " On the toiminto $ζ ( t )$ Riemannin ja vastaavat toiminnot " Asens , 3 E -sarja, voi. 11,1894, s. 75-164 ( lue verkossa )
Pierre Colmez , Analyysin ja algebran (ja lukuteorian) elementit , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 Sivumäärä ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , lue verkossa ) , luku . 7
(en) GH Hardy ja Marcel Riesz , General Theory of Dirichlet'n sarja , Coll. "Cambridge Tracts in Mathematics",1915( lue verkossa )
S. Mandelbrojt , Dirichlet'n sarja. Periaatteet ja menetelmät , Pariisi, Gauthier-Villars ,1969
Vesselin Petkov ja Alain Yger , Analytical singularities Dirichlet'n sarja , Bordeaux'n yliopisto I ,2001( lue verkossa )
G. Valiron , " Dirichlet-sarjan yleinen teoria ", Matematiikkatieteiden muistomerkki , voi. 17,1926, s. 1-56 ( lue verkossa )

Lisäluettelo

Vladimir Bernstein (de) , Dirichlet-sarjan teorian viimeaikaisia edistysaskeleita , 1933
Colin, Dirichlet-sarja , Magistère de Cachan, 1995-1996
(en) Edward Charles Titchmarsh , Theory of Functions , Oxford University Press , Lontoo, 1939