Abelin summauskaava
Vuonna matematiikan , Abel summattu kaavaa , joka on nimetty kirjailija Niels Henrik Abel , on kaava käytetään laajasti analyyttinen lukuteoria . Sitä käytetään numeeristen sarjojen laskemiseen .
Osavaltiot
Antaa olla jono todellinen tai monimutkaisia numeroita ja todellinen tai monimutkainen funktio on luokan C 1 .
(kloei)ei∈EI∗{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ sisään \ mathbb {N} ^ {*}}}φ{\ displaystyle \ varphi}
Me poseeraa
AT(x)=∑1≤ei≤xkloei.{\ displaystyle A (x) = \ summa _ {1 \ leq n \ leq x} {a_ {n}}.}
Joten kaikille todellisille x: lle ,
∑1≤ei≤xkloeiφ(ei)=AT(x)φ(x)-∫1xAT(u)φ′(u)du{\ displaystyle \ summa _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} \ varphi (n) = A (x) \ varphi (x) - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \, \ mathrm {d} u}.
Esittely
Se on integrointia osat on Stieltjes kiinteä , mutta tässä tapauksessa voidaan osoittaa suoraan.
Funktio A on nolla yli ] –∞, 1 [ joten jos x <1 , yhtälö kiehuu arvoon 0 = 0.
Oletetaan nyt, että x ≥ 1 ja merkitään N: llä 1 sen kokonaisluku (siten A ( x ) = A ( N ) ). Osien yhteenlaskemisen kaava antaa:
∑1≤ei≤xkloeiφ(ei)-AT(x)φ(x)=AT(EI)φ(EI)-∑ei=1EI-1AT(ei)(φ(ei+1)-φ(ei))-AT(x)φ(x)=-∑ei=1EI-1AT(ei)(φ(ei+1)-φ(ei)))-AT(EI)(φ(x)-φ(EI))=-∑ei=1EI-1∫eiei+1AT(u)φ′(u)du-∫EIxAT(u)φ′(u)du=-∫1xAT(u)φ′(u)du.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ summa _ {1 \ leq n \ leq x} {a_ {n} \ varphi (n)} - A (x) \ varphi (x) & = A (N) \ varphi (N) - \ summa _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ iso (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n) {\ iso)} - A (x) \ varphi (x) \\ & = - \ summa _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ iso (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n)) {\ iso )} - A (N) {\ iso (} \ varphi (x) - \ varphi (N) {\ iso)} \\ & = - \ summa _ {n = 1} ^ {N-1} \ int _ {n} ^ {n + 1} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u- \ int _ {N} ^ {x} A (u) \ varphi' (u) \, \ mathrm {d} u \\ & = - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u. \ loppu {tasattu}}}
Esimerkkejä
Euler-Mascheronin vakio
Varten ja , toteamalla kokonaislukuosa x , löydämme (mitään todellista x ≥ 1, tai jopa X > 0):
kloei=1{\ displaystyle a_ {n} = 1}φ(u)=1/u{\ displaystyle \ varphi (u) = 1 / u}⌊x⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
∑1≤ei≤x1ei=⌊x⌋x+∫1x⌊u⌋u2du{\ displaystyle \ summa _ {1 \ leq n \ leq x} {\ frac {1} {n}} = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {x}} + \ int _ {1} ^ {x } {{\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {2}}} \ mathrm {d} u}}
josta voimme päätellä Euler-Mascheronin vakion kiinteän lausekkeen :
y=1-∫1∞ x-E(x)x2dx{\ displaystyle \ gamma = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x}
(missä E on kokonaisfunktio ).
Dirichlet-sarja
Kaikille klassisille
Dirichlet-sarjoille
f(s)=∑ei=1+∞kloeieis{\ displaystyle f (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}},
Abelin summauskaava, johon sovelletaan , osoittaa, että kompleksiluvuille s , joiden reaaliosa on ehdottomasti suurempi kuin 0, ja sarjan lähentymisabissille :
φ(u)=u-s{\ displaystyle \ varphi (u) = u ^ {- s}}
f(s)=s∫1∞AT(u)u1+sdu{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}.
Alla on kaksi esimerkkiä. Toinen löytyy artikkelista " von Mangoldtin toiminta ".
Riemannin zeta-toiminto
Sillä saamme:
kloei=1{\ displaystyle a_ {n} = 1}
∑1∞1eis=s∫1∞⌊u⌋u1+sdu{\ displaystyle \ summa _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor } {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}.
Tämä kaava pätee arvoon Re ( s ) > 1. Johdetaan erityisesti Dirichletin lause, jonka mukaan Riemannin ζ ( s ) funktion zeta sallii yksinkertaisen jäännöksen 1 navan s = 1: ssä.
Käänteinen Riemannin zeta-funktiosta
Varten (jäljempänä Möbius toiminto ):
kloei=μ(ei){\ displaystyle a_ {n} = \ mu (n)}
∑1∞μ(ei)eis=s∫1∞M(u)u1+sdu{\ displaystyle \ summa _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {{\ frac { M (u)} {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}}.
Tämä kaava koskee Re ( s )> 1. Symboli M osoittaa Mertens-funktion , jonka määrittelee
M(u)=∑1≤ei≤uμ(ei){\ displaystyle M (u) = \ summa _ {1 \ leq n \ leq u} {\ mu (n)}}.
Merkintä
-
Tämä on erityinen tapaus yleisen Dirichlet-sarjan ominaisuudesta, joka osoitetaan samalla tavalla.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">