Schwartz-tila

On matematiikka , Schwartz tila on tila vähenemisen toimintoja (se on: se laski nopeasti loputtomiin differentiable toimintoja , sekä niiden johdannaiset kaikki tilaukset). Kaksi tästä tilasta on tila lauhkean jakaumat . Tilat ja niillä on keskeinen rooli Fourier-muunnoksen teoriassa . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Määritelmä

Funktio $f$ on osa tilaa, kun se on rajattomasti erotettavissa, ja jos $f$ ja kaikki sen johdannaiset vähenevät nopeasti , ts. Niiden tulo millä tahansa polynomifunktiolla on sidottu äärettömyyteen. Tähän kuuluvien toimintojen sanotaan vähenevän . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

Kahdelle usean indeksit , me määrittelemme normien mukaan ${\ displaystyle \ alfa, \ beta}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alfa, \ beta}}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

jossa on derivaatan ja $f$ . Sitten Schwartz-tilaa voidaan kuvata seuraavasti ${\ displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\beeta$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ sisään {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Jos ei ole epäselvyyttä, välilyönti voidaan yksinkertaisesti edustaa kirjaimella . ${\ mathcal {S}}$

Ominaisuudet

Topologia

Schwartz tila voidaan varustaa topologiassa alkuperäisen topologia liittyvät perheen semi-normien , joka vastaa liittyvän jonka suodatus perheen semi-normien määritellään: $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ sisään \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ sisään \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ summa _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ sisään \ mathbb {N}.

Schwartz-tila on tämän topologian mukana Fréchet-tila . Laskettavissa oleva puolinormien suodatusperhe määrittää sen itse asiassa paikallisesti kuperan , erotetun , mitoitettavan tilan , ja osoitamme edelleen, että se on täydellinen .

Lähentyminen sekvenssin ja määritellään näin ollen seuraavasti. Sekvenssi toimintojen suppenee erään jos ja jos toiminto ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ sisään \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ kohteessa {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall p \ sisään \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Sen topologinen dualismi on lauhkean jakauman ${\ mathcal {S}} '$ tila .

Esimerkkejä

Tila sisältää tilan ja toimintojen C ∞ kompakti tukea . Tämä tila, totesi myös , on tiheä vuonna mielessä, että (voimakas) lähentyminen on määritelty edellä. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Se sisältää myös muita elementtejä, kuten polynomin ja Gaussin tuotemuodon toiminnot:

x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ in {\ mathcal {S}}

minkä tahansa monihakemiston α ja minkä tahansa todellisen suhteen .

a> 0

Tila on vektori aliavaruus eri tilat $L$ $s$ on $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ . Se on lisäksi tiheä kussakin näistä ryhmistä, paitsi $L$ $\infty$ . ${\ mathcal {S}}$

Schwartz-avaruusoperaatiot

Tila on vakaa sisäisellä summauksella ja johdolla, ja nämä toiminnot määrittelevät jatkuvia operaattoreita. ${\ mathcal {S}}$
Avaruus on vakaa sisäisellä kertomalla tai jopa kertomalla millä tahansa funktiolla. Erityisesti se on vakaa kertomalla polynomifunktiolla. Tahansa funktio on , operaattorin määrittämä on jatkuva on itsessään. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $f$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Kertoimet :

{\ mathcal {S}}

Määritämme kertojien avaruuden sellaisten funktioiden osajoukkona, joiden kaikkien johdannaisten polynomikasvu on eli ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ olemassa C _ {\ alpha}> 0, \ olemassa N _ {\ alpha} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ sisään \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ osittainen ^ {\ alfa} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alfa}}}.

Kutsumme hitaasti kasvavien toistaiseksi erilaistuvien toimintojen tilaa. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Fourier-muunnoksen indusoi topologinen automorphism on . Tämän automorfismin antaa ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ missä käänteisen automorfismin antaa $\ xi x = \ summa _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ Plancherel-Parseval lause sanoo, että jos me antaa prehilbertian rakenne indusoi Fourier-muunnos on yksikkö operaattori on itsessään. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Schwartz luokka on imukykyinen, että konvoluution tuotteen kanssa ${\ mathcal {E}} '$ : tahansa jakelu kompakti tukea ja Schwartz toiminto olemme $T \ sisään {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ kielellä {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

T \ ast \ phi \ muodossa {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).

Yleisemmin, merkitään joukko convolors ja joka on sanoa joukko jakaumia , kuten lähetetään jatkuvasti sisään Tämä joukko on vektori aliavaruus (toisin sanoen siitä tilasta, karkaistu jakaumien ), joka sisältää jakaumat kompakti tukea ja paikallisesti integroituva nopea rappeutuminen toimintoja . Siksi kutsumme nopeasti laskevien jakaumien tilaa. Konvoluutiotuotteella varustettu on lisäksi assosiatiivinen , kommutatiivinen ja yhtenäinen algebra , johon ja jotka ovat yhtenäisiä moduuleja . ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $T \ sisään {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Huomautuksia ja viitteitä

Merkintä

Viitteet

(en) Harish-Chandra , ” Diskreetti sarja puoliksi yksinkertaisille Lie-ryhmille. II. Merkkien nimenomainen määrittely ” , Acta Math. , voi. 116,1966, s. 1-111
L. Schwartz , " Jakaumateoria ja Fourier-muunnos ", Annales de l ' Université de Grenoble , voi. 23, 1947-1948, s. 7–24 ( lue verkossa )
Laurent Schwartz , jakeluteoria , Pariisi, Hermann,1966, 418 Sivumäärä ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , Jakelut , Fourier-analyysi, osittaiset differentiaaliyhtälöt , École-ammattikorkeakoulu, 2012, kurssin moniste