Lämpötila-jakauma

Karkaistu jakelu on jatkuva lineaarinen muoto yli Schwartz tilaa . Tilaa karkaistu jakaumat on siis topologinen kaksi on By tiheys ja on , se on yksilöity vektori aliavaruus tilan kaikkien jakaumat : ( oikea ) aliavaruus ja ulottuu jatkuvasti osingonjakoarvoa ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} '$ ${\ mathcal {S}}.$ $\ mathcal {D}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {D}} '$ ${\ mathcal {S}}.$

Esimerkiksi jatkuvat rajoitetut funktiot , kuten vakiofunktio 1, määrittelevät karkaistut jakaumat sekä kaikki kompaktisti tuetut jakaumat , kuten Dirac-jakauma .

Lauhkean jakauman otti käyttöön Laurent Schwartz , mutta aluksi nimellä "pallomaiset jakaumat" , mikä selittää Schwartzin itse käyttämän S- kirjaimen .

Määritelmä

Karkaistu jakelu on jatkuva lineaarinen muodossa jatkuvuus on lineaarinen muoto on voidaan ilmaista kahden vastaavan tavalla: $\ mathbb {R} ^ {N}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

joko peräkkäisellä jatkuvuudella : mihin tahansa sekvenssiin, joka lähentyy sisään $(\ phi _ {n}) _ {{n \ sisään \ mathbb {N}}}$ $\ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ langle T, \ phi _ {n} \ rangle = \ langle T, \ phi \ rangle}$ ;
joko käyttämällä perheen semi-standardien määritellään topologia $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ sisään \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}}$ : on luonnollinen luku ja todellinen luku , joka $s$ $VS$ $\ forall \ phi \ sisään {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}), \ quad | \ langle T, \ phi \ rangle | \ leq C {\ mathcal {N}} _ {p } (\ phi).$

Kaikki karkaistua jakelu on siis rajoitettu rajallinen, jotta jakelu ja tiheys on , jakelu T ulottuu (ainutlaatuinen) karkaistu jakelu jos ja vain jos se täyttää tällainen epätasa-arvon kaikille $\ mathcal {D}$ ${\ mathcal {S}}$ $\ phi \ muodossa {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$

Lämpötila- jakaumien karakterisointi - Lämpötila- jakaumat ovat täsmälleen muodon jakaumia : $\ mathbb {R} ^ {N}$ $T$

T = \ osittainen _ {x} ^ {{\ alpha}} \ vasen ((1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {n} f \ oikea)

missä on moni-indeksi , on luonnollinen kokonaisluku ja on jatkuva ja rajattu funktio , ja jossa johdannainen ymmärretään jakaumien muodossa . $\ alpha \ sisään \ mathbb {N} ^ {N}$ $ei$ $f$ $\ mathbb {R} ^ {N}$

"Tämä kuvaus [on] erittäin hyödyllinen käytännössä, mutta […] sen esittely [on] hieman hankala. "

Topologia

Tarjoamme heikon topologian - * ; on sitten paikallisesti kupera tila (ja sen topologinen kaksoistunnus identifioidaan ). Tarkemmin sanottuna koko lomakkeen kokoelma ${\ mathcal {S}} '$ ${\ mathcal {S}} '$ ${\ mathcal {S}}$

\ {\ Lambda \ muodossa {\ mathcal {S}} '\ mid \, | \ langle \ Lambda, \ phi _ {1} \ rangle | <\ varepsilon, \ dots, | \ langle \ Lambda, \ phi _ { N} \ rangle | <\ varepsilon \}

(missä ja )

\ phi _ {1}, \ pisteitä \ phi _ {N} \ kohteessa {\ mathcal {S}}

\ varepsilon \ sisään \ mathbb {R} ^ {{\ ast +}}

on naapuruusperusta 0.

Konvergenssi on siis, kuten , yksinkertainen konvergenssi : sanoa, että T : n suuntainen sekvenssi tarkoittaa, että minkä tahansa funktion suhteen meillä on ${\ mathcal {S}} '$ ${\ mathcal {D}} '$ $(T_ {N})$ ${\ mathcal {S}} '$ $\ phi \ kielellä {\ mathcal {S}}$ $\ langle T-T_ {N}, \ phi \ rangle {\ alaviivat {N \ rightarrow \ infty} \ longrightarrow} 0.$

Esimerkkejä lauhkeista jakautumisista

Kompaktit tukiautomaatit

Kaikki kompaktin tuen omaavat jakelu karkaistaan ja ruiskutetaan jatkuvasti ${\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).$

Lievät toimenpiteet

Mikä tahansa rajattu mittaus ja yleisemmin mikä tahansa Borelin mittaus $μ$ ( signeerattu tai jopa kompleksinen (en) ) ℝ N : llä edustaa jakaumaa $T μ$ , joka määritetään lineaarisella injektiolla $T$ :

$\ langle T _ {{\ mu}}, \ phi \ rangle: = \ int _ {{{\ mathbb {R} ^ {N}}} \ phi \, {\ mathrm {d}} \ mu$ mihin tahansa toimintoon $\ phi \ muodossa {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$

Tämän jakauman karkaisemiseksi riittää, että mitta $μ$ karkaistaan, eli se täyttää seuraavat vastaavat ehdot, jos positiivinen mitta | $μ$ | on vaihtelu on $μ$ :

on olemassa luonnollinen luku p , joka mittaa tiheyden (1 + ║ x ║ 2 ) - p | $μ$ | on valmis ;
on olemassa luonnollinen luku p , joka | $μ$ | ( B (0, R )) = O ( R p ) (kun pallon B (0, R ) säde R on ääretön).

Esittely

"Karkaistun mitan" kaksi määritelmää vastaavat: olkoon p luonnollinen luku.
- Jos mitta (1 + ║ x ║ 2 ) - p | $μ$ | on valmis, eli jos $C: = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {{- p}} ~ {{\ rm {d }}} | \ mu | (x) <+ \ infty$ niin $| \ mu | (B (0, R)) \ leq C (1 + R ^ {2}) ^ {p} = O (R ^ {{2p}}).$
- Jos | $u$ | ( B (0, R )) = O ( R p ), toisin sanoen, jos on olemassa jatkuva $C$ siten, että kaikille $R$ , $\ int _ {{B (0, R)}} {{\ rm {d}}} | \ mu | \ leq CR ^ {p}$ niin $\ int _ {{\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {{- p-1}} {{\ rm {d}} } | \ mu | (x) = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ int _ {{B (0, n + 1) \ setminus B (0, n)}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {{- p-1}} {{\ rm {d}}} | \ mu | (x) \ leq \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} (1 + n ^ {2}) ^ {{- p-1}} C (n + 1) ^ {p} <+ \ infty.$
Jos $μ$ on karkaistu mitta, niin $T μ$ on karkaistu jakauma: jos joillekin luonnolliselle luvulle p , $C: = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {{- p}} ~ {{\ rm {d }}} | \ mu | (x) <+ \ infty$ niin

$\ forall \ phi \ kielellä {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ left | \ int _ {{{\ mathbb {R} ^ {N}}} \ phi \, {\ mathrm {d}} \ mu \ right | \ leq C \ sup _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {N}}} | \ phi (x) | (1 + x_ {1} ^ { 2} + \ ldots + x_ {N} ^ {2}) ^ {p} \ leq C (N + 1) ^ {p} {\ mathcal {N}} _ {{2p}} (\ phi).$

Huomaa: tämä riittävä ehto ei ole välttämätön. Esimerkiksi funktiolla x , funktio x ↦ sin (e x ) on karkaistun mittan tiheys suhteessa Lebesgue-mittaukseen $λ$ , joka siis määrittelee karkaistun jakauman, joten sen johdannainen x ↦ e x cos (e x ) määrittelee myös lauhkean jakauman, vaikka se kasvaa räjähdysmäisesti.

Säännölliset lauhkeat jakaumat

Kaikille paikallisesti integroitaville funktioille $f$ edelliset näkökohdat koskevat mittausta tiheydellä $μ = f λ$ .

Siksi jakautuma $T f λ$ , jota kutsutaan säännölliseksi, karkaistaan esimerkiksi, jos:

$f$ on (paikallisesti integroitava ja) polynomikasvun kanssa (ts. O: ssa (║ x ║ c ) tietylle reaaliluvulle c , äärettömyyden läheisyydessä);
$f$ kuuluu Lebesgue tila $L s$ (ℝ N ) , jossa on $1 \leq p \leq \infty$ .

Tarkemmin sanottuna, $L s$ (ℝ N ) on ruiskutetaan jatkuvasti ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).$

Lämpimät jakaumat tuella ℤ N: ssä

Edellä esitetystä sovelletaan myös kaikkiin toimenpidettä $μ$ kanssa tukea ℤ N , kanonisesti liittyy sekvenssin monen indeksoitu $= ($ $k$ $)$ $k$ $\inℤ$ $N$ ja kompleksien suhteella $k$ $= μ ({$ $k$ $})$ . Liittyvä jakauma $T$ $μ$ , joka sitten kirjoitetaan $T _ {\ mu} = \ summa _ {{k \ sisään \ mathbb {Z} ^ {N}}} a_ {k} \ delta _ {k},$ Siksi karkaistaan heti, kun sekvenssillä a $on$ polynomikasvu.

Säännölliset jakelut

Jakelun yli sanotaan olevan jaksollista, jos missä merkitsee $T$ $\ mathbb {R} ^ {N}$ $a \ sisään \ mathbb {R} ^ {N}$ $T \ circ \ tau _ {a} = T,$ $\ tau _ {a}: x \ mapsto x + a$ $klo.$

Kohdassa ℝ N mahdollinen jaksollinen jakauma karkaistaan.

Yksinkertaisimpia esimerkkejä ovat Dirac-kampa Ш 1 - joka on sekä jaksollinen että tuettu ℤ: ssä - ja jaksolliset säännölliset jakaumat, ts. Liittyvät paikallisesti integroitaviin jaksollisiin toimintoihin .

Toiminnot lauhkeilla jakaumilla

Näytämme seuraavat:

Jos niin, tuote (kielen väärinkäytöllä) ja johdannainen kuuluvat kaikille moniindekseille . Lisäksi, kertolasku ja johtaminen on jatkuva lineaarinen karttoja vuonna $T \ kohteessa {\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ alpha, \ beta \ mathbb {N} ^ {N},$ $x ^ {{\ alpha}} T.$ $\ osittainen ^ {{\ beta}} T.$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $T \ mapsto x ^ {{\ alpha}} T$ $T \ mapsto \ osittainen ^ {{\ beta}} T$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$

Antaa on lauhkea jakauma on sitten $T$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).$

Kertominen kanssa on yhteensopiva. Minkä tahansa johdannaisfunktion kanssa, jolla on polynomikasvu , jakauma ${\ mathcal {O}} _ {M}$ $f \ muodossa {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $fT \ muodossa {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).$
Konvoluutiotuote on yhteensopiva. Mihin tahansa jakeluun kompaktilla tuella ${\ mathcal {E}} '$ $S \ sisään {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N}), ~ S \ ast T \ sisään {\ mathcal {S}}' (\ mathbb {R} ^ {N}).$

Lämpötila-jakaumien Fourier-muunnos

Määritelmä

Kutsumme Fourier vuonna transpoosin n Fourier-muunnos on . Panemme sen merkille uudelleen , toisin sanoen pyydämme ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {F}}$

\ forall T \ muodossa {\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R } ^ {N}) \ quad \ left \ langle {\ mathcal {F}} T, \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle T, {\ mathcal {F}} \ phi \ right \ rangle.

Huomaa: löydämme tavallisen Fourier-muunnoksen, jos T identifioituu funktion $L 1$ tai $L 2 kanssa$ tai paikallisesti integroitavan jaksollisen funktion kanssa ( vrt. Yksityiskohtainen artikkeli ).

Fourier-inversio

Määritämme samalla tavalla operaattorin , joka siirtää sen päälle : ${\ mathcal {{\ bar {F}}}}$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall T \ muodossa {\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R } ^ {N}) \ quad \ left \ langle {\ mathcal {{\ bar {F}}}} T, \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle T, {\ mathcal {{\ bar {F} }}} \ phi \ oikea \ rangle.

Operaattoreiden ominaisuuksista johtopäätökset niiden siirtojen analogisista ominaisuuksista: ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Fourier-inversio kaavaa ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ - Fourier-muunnos on automorphism n vektorin avaruuden lauhkean jakaumia, joiden vastavuoroinen automorphism on jossa antipody operaattori on määritelty mitään jakelua S on par $\ mathbb {C}$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}} = {\ tilde {}} \ circ {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F}} \ circ {\ tilde {}},$ ${\ tilde {}}$ $\ mathbb {R} ^ {N}$

{\ tilde {S}} = S \ circ (-Id _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}}) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ forall \ phi \ {{mathcal {D}} mathbb {R} ^ {N}), \ quad \ langle {\ tilde {S}}, \ phi \ rangle = \ langle S, \ phi \ circ (-Id _ {{\ mathbb {R} ^ {N} }}) \ rangle.

Huomaa: tämä kaava riippuu Fourier-muunnokseen valitusta käytännöstä funktioiden tilassa. Se pätee Fourier-muunnokseen, joka ilmaistaan taajuusavaruudessa, jonka määritelmä käyttää ${\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi \ cdot x}.$

Muut ominaisuudet

Fourier-muunnos perii sen ominaisuudet ${\ mathcal {S}} '$ ${\ mathcal {S}}.$

${\ mathcal {F}}$ on jakson 4 automorfismi (ts. 4 on pienin positiivinen kokonaisluku k siten, että ), kaksisuuntainen ( on myös jatkuva ). ${\ mathcal {F}} ^ {4} = {{\ rm {Id}}}$ ${\ mathcal {F}} ^ {{- 1}}$
Erityisesti perii peräkkäisen jatkuvuuden. Kaikille lauhkean jakauman sarjoille ${\ mathcal {F}}$ $(T_ {n}) _ {{n \ sisään \ mathbb {N}}}$ $T_ {n} {\ alaviiva {n \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow}} T \ Rightarrow {\ mathcal {F}} T_ {n} {\ alaviiva {n \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {F}} T.$
Sisään Fourier-muunnos vaihtaa konvolaattoreiden tilan ja kertojien tilan ja vaihtaa konvoluutiotuotteen ja kerrottavan tuotteen. Toisin sanoen joko ja sitten meillä on ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $S \ muodossa {\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N}), T \ kohteessa {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $f \ muodossa {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {F}} T \ sisään {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}), \ quad {\ mathcal {F}} f \ sisään {\ mathcal {O }} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {F}} (T \ ast S) = ({\ mathcal {F}} T) ({\ mathcal {F}} S) \ quad {{\ rm {et}}} \ quad {\ mathcal {F}} (fS) = ({\ mathcal {F}} f) \ ast ({\ mathcal {F}} S).$

Esimerkkejä jakaumien Fourier-muunnoksista

Kaavat riippuvat Fourier-muunnokseen valitusta sopimuksesta toimintojen tilassa. Ne ovat voimassa taajuusavaruudessa ilmaistulle Fourier-muunnokselle, jonka määritelmä käyttää ${\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi \ cdot x}.$

Tavalliset toiminnot

Olkoon T karkaistu jakauma funktioiden tapauksessa silloin käytetyt toiminnot ovat nyt kelvollisia ilman lisäoletuksia. $\ mathbb {R} ^ {N}.$

Johdanto: kaikesta , $k = 1, \ ldots, N \ qquad$ ${\ mathcal {F}} (\ osittainen _ {{x_ {k}}} T) = 2 \ pi {{\ rm {i}}} \ xi _ {k} {\ mathcal {F}} T.$
Kertominen polynomilla: kaikille , $k = 1, \ ldots, N \ quad$ ${\ mathcal {F}} (x_ {k} T) = 1 / ({{\ rm {i}}} 2 \ pi) \ osittainen _ {{x_ {k}}} {\ mathcal {F}} T .$
Käännös: kaikelle $a \ sisään \ mathbb {R}, ~ {\ mathcal {F}} (T \ circ \ tau _ {a}) = e _ {{2 \ pi a}} {\ mathcal {F}} T.$
Modulaatio: kaikkeen $a \ sisään \ mathbb {R}, ~ {\ mathcal {F}} (e _ {{- 2 \ pi a}} T) = ({\ mathcal {F}} T) \ circ \ tau _ {a} .$

Tavalliset muunnokset

Sinimuotoiset muutokset $e _ {{\ omega}}: \ xi \ mapsto {{\ rm {e}}} ^ {{{{{\ rm {i}}} \ omega \ cdot \ xi}} ~:$

${\ mathcal {F}} e _ {{\ omega}} = \ delta _ {{\ omega / 2 \ pi}}.$

Dirac-massojen muunnokset. Kaikelle ja kaikelle monihakemistolle $a \ sisään \ mathbb {R} ^ {N}$ $\ alpha \ sisään \ mathbb {N} ^ {N} ~:$

${\ alkaa {tasattu} {\ mathcal {F}} \ delta _ {0} & = 1 \\ {\ mathcal {F}} (\ osittain _ {\ alpha} \ delta _ {0}) & = \ xi \ mapsto (- {{\ rm {i}}} 2 \ pi \ xi) ^ {\ alpha} \\ {\ mathcal {F}} \ delta _ {a} & = \ xi \ mapsto {{\ rm { e}}} ^ {{- 2 \ pi a \ cdot \ xi}} \\ {\ mathcal {F}} (\ osittainen _ {\ alfa} \ delta _ {a}) & = \ xi \ mapsto (- {{\ rm {i}}} 2 \ pi \ xi) ^ {\ alpha} {{\ rm {e}}} ^ {{- 2 \ pi a \ cdot \ xi}}. \ end {tasattu}}$

Polynomimuunnokset: mille tahansa monihakemistolle $\ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots) \ sisään \ mathbb {N} ^ {N},$

${\ mathcal {F}} (\ xi _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ xi _ {2} ^ {{\ alpha _ {2}}} \ ldots \ xi _ {N} ^ {{\ alpha _ {N}}}) = {\ frac 1 {({{\ rm {i}}} 2 \ pi) ^ {{| \ alpha |}}}} \ osittainen _ {1} ^ {{\ alpha _ {1}}} \ osittainen _ {2} ^ {{\ alpha _ {2}}} \ ldots \ osittainen _ {N} ^ {{\ alpha _ {N}}} \ delta _ { 0}.$

Säännölliset jakelut

U- T- jaksollisen jakauman Fourier-muunnos on Diracsin summajakauma $\ mathbb {R}$

{\ mathcal {F}} U = \ summa _ {{k \ sisään \ mathbb {Z}}} c_ {k} \ delta _ {{k / T}}

toisin sanoen signaali, näytteistetty taajuudella , jonka näytteet antaa ${\ frac {1} {T}}$ $(c_ {k}) _ {{k \ sisään \ mathbb {Z}}}$

c_ {k} = {\ mathcal {F}} (\ phi U) (k / T)

testitoimintojen varmentamiseksi ${\ displaystyle \ phi \ paikassa {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R})}$ $\ summa _ {{k \ sisään \ mathbb {Z}}} \ phi (\ cdot + k) \ equiv 1.$

Jakelujen kompakti tuki

Tässä osassa T: n oletetaan olevan kompakti tuki .

Fourier-muunnos

Todistamme, että kartta $f on$ määritelty ℝ N : llä

f (\ xi) = \ langle T_ {x}, {{\ rm {e}}} ^ {{- {{\ rm {i}}} x \ cdot \ xi}} \ rangle

on C-luokan ∞ , jossa siis (käyttäen jatkuvuus T suhteen osittain normien ja tiiviyden sen tuki), jossa polynomi kasvua. Sen vuoksi määrittelee säännöllisen karkaistu jakelu $T$ $f$ ja tarkistamme, että $\ osal ^ {{\ alpha}} f (\ xi) = \ langle T_ {x}, (- {{\ rm {i}}} x) ^ {{\ alpha}} {{\ rm {e}} } ^ {{- {{\ rm {i}}} x \ cdot \ xi}} \ rangle$

{\ mathcal F} T = T_ {f}.

Fourier-Laplace-muunnos

Älkäämme nyt antaa määritelmä Fourier-Laplace-muunnos on T , laajennus ℂ n sen Fourier:

{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}, \ quad z \ mapsto \ langle T_ {x}, {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x \ cdot z} \ rangle.}

Näytämme ( Paley-Wiener-lause ), että tämä funktio on kokonaisluku .

Siten kompaktin tukijakauman Fourier-muunnos on analyyttinen .

Tämä huomautus on yhdenmukainen loputtoman hajoamisen ja säännöllisyyden välisen vaihto-omaisuuden kanssa. Koska tuen kompakti on suurin nopeuden pieneneminen äärettömyyteen, on ennakoitavissa, että tämä ominaisuus vaihdetaan äärimmäisen säännöllisyyteen, toisin sanoen ominaisuuteen olla kokonaislukufunktio.

Huomautuksia ja viitteitä

L. Schwartz , " Jakautumisteoria ja Fourier-muunnos ", Annales de l ' Université de Grenoble , voi. 23, 1947-1948, s. 7–24 ( lue verkossa ).
L. Schwartz , jakelu Theory , Hermann ,1966( 1 st ed. 1950-1951), chap. VII, 4 §, s. 239-241.
(in) G. Friedlander ja herra Joshi , Johdatus teoria Distributions , UPC ,1998( lue verkossa ) , s. 97-98.
Schwartz 1966 , s. 223.
Schwartz 1966 .

Walter Rudin , Toiminnallinen analyysi [ yksityiskohdat painoksista ]
F. Golse , Distributions, Fourier -analyysi, osittaiset differentiaaliyhtälöt , Éditions de l'École polytechnique, 2012, kurssin moniste.