Kaarevuussäde

Kaarevuussäde linjan, yleensä huomattava ρ (kreikkalainen kirjain rho) ilmaisee sen tason kaarevuus: mitä suurempi kaarevuussäde on, sitä lähempänä rivi on suora viiva, ja päinvastoin. Matemaattisesti kaarevuussäde on käyrään tangentin ympyrän säteen absoluuttinen arvo halutussa pisteessä, ympyrä, joka "seuraa tätä käyrää mahdollisimman hyvin" siellä. Tätä ympyrää kutsutaan tässä kohdassa käyrässä oskilloivaksi ympyräksi . Kaarevuussäde on myös käänteinen , että kaarevuus γ: ρ = 1 / γ.

Tasokaaren kaarevuussäde

Tarkastellaan tasoa, jossa on ortonormaali koordinaatisto, ja kaarta tässä tasossa.

Jos kaari määritetään parametrisella yhtälöllä ( x ( t  ), y ( t  )), kaarevuussäde on:

ρ(t)=(x′2+y′2)3/2x′y″-y′x″kanssax′=dxdt,x″=d2xdt2,y′=dydtjay″=d2ydt2{\ displaystyle \ rho (t) = {\ frac {(x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {x'y '' - y'x ''} } \ quad {\ text {with}} \ quad x '= {\ frac {dx} {dt}}, \ quad x' '= {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} }, \ quad y '= {\ frac {dy} {dt}} \ quad {\ mbox {et}} \ quad y' '= {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} }}

erityisesti Napakoordinaatistossa , , jossa kahdesti derivoituva, x(t)=r(t)cos⁡(t){\ displaystyle x (t) = r (t) \ cos (t)}y(t)=r(t)synti⁡(t){\ displaystyle y (t) = r (t) \ sin (t)}r(t){\ displaystyle r (t)}

ρ(t)=(r′2(t)+r2(t))3/22r′2(t)+r2(t)-r(t)r″(t){\ displaystyle \ rho (t) = {\ frac {(r '^ {2} (t) + r ^ {2} (t)) ^ {3/2}} {2r' ^ {2} (t) + r ^ {2} (t) -r (t) r '' (t)}}}

kun nimittäjä ei ole nolla.

Jos kaari määritetään suorakulmaisella yhtälöllä y = ƒ ( x ), säde on:

ρ(x)=|(1+y′2)3/2y″|{\ displaystyle \ rho (x) = \ vasen | {\ frac {(1 + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {y ''}} \ oikea |}.

Kun johdannainen on pieni ( y ' << 1), toisin sanoen kun tangentti on lähellä vaakatasoa, otamme usein likiarvon (1 + y' 2 ) donc 1 ja siksi

ρ ( x ) ≈ 1 / y '' .

Sovellukset

• On geometrinen optiikka , kaarevuussäde on mahdollista erottaa eri optiset linssit . Linssi koostuu sisääntulo- ja poistopinnoista, jotka voivat olla kaarevat tai tasaiset. Siten linssit luokitellaan kahden pinnan välisten symmetristen ominaisuuksien ja niiden kaarevuussäteen arvon perusteella.
• Rautatien kaarevuussäde on usein rajoitettu minimiin, jotta junat voivat käyttää sitä, koska ne eivät voi kääntyä liian julmasti suistumisriskiltä (hitausvoimansa johdosta).).

Katso myös

• Kaaren kaarevuus
• Sinuusus

Viitteet

1. (.) Mr. Bourne, "  8. Kaarevuussäde  " osoitteessa http://www.intmath.com (luettu 4. kesäkuuta 2017 )