Erdős-Suranyin lause
In lukuteoria , lause on Erdős - Surányi (hu) todetaan, että jokainen kokonaisluku n on kirjoitettu ääretön tavalla, muodossa:
ei=∑k=1EIklokk2klovevs.klok∈{1,-1}.{\ displaystyle n = \ summa _ {k = 1} ^ {N} {a_ {k} k ^ {2}} \ quad {\ rm {with}} \ quad a_ {k} \ in {1, - 1 \}.}
Esittely
Varmistamme helposti, että m 2 - ( m + 1) 2 - ( m + 2) 2 + ( m + 3) 2 on riippumaton m: stä ja on yhtä suuri kuin 4. Sitten riittää löytää hajotukset 0, 1, 2: lle ja 3 modulo 4 , esimerkiksi:
0 = tyhjä summa , 1 = 1 2 , 2 ≡ ± (1 2 ± 2 2 + 3 2 ) (mod 4) ja 3 ≡ –1 2 (mod 4).
Saamme siten muodon
n hajoamisen aloituksenei=∑k=1EIklokk2+4q{\ displaystyle n = \ summa _ {k = 1} ^ {N} {a_ {k} k ^ {2}} + 4q}
(joista kaikki ehdot - erityisesti N - riippuu jäljellä r on jakoyhtälö ja n- 4 ja valinnasta hajoamisen r modulo 4). Riittää sitten korvaamaan 4 q = ± 4 | q | kirjoittanut | q | peräkkäisen dekompositiot on ± 4 tyyppiä ± [ m 2 - ( m + 1) 2 - ( m + 2) 2 + ( m + 3) 2 ], alkaen m = N + 1. hajoamisen n , me pystyy aina rakentamaan pidemmän, lisäämällä samalla kaksi peräkkäistä hajotusta 4 ja –4.
Esimerkki: kun n = 9, yhtenevä 1 modulo 4: n kanssa, löydämme seuraavan:
9=12+4×2=12+(22-32-42+52)+(62-72-82+92)=12+(22-32-42+52)+(62-72-82+92)+(102-112-122+132)-(142-152-162+172)=...{\ displaystyle {\ begin {aligned} 9 & = 1 ^ {2} +4 \ kertaa 2 \\ & = 1 ^ {2} + (2 ^ {2} -3 ^ {2} -4 ^ {2} + 5 ^ {2}) + (6 ^ {2} -7 ^ {2} -8 ^ {2} + 9 ^ {2}) \\ & = 1 ^ {2} + (2 ^ {2} - 3 ^ {2} -4 ^ {2} + 5 ^ {2}) + (6 ^ {2} -7 ^ {2} -8 ^ {2} + 9 ^ {2}) + (10 ^ {2 } -11 ^ {2} -12 ^ {2} + 13 ^ {2}) - (14 ^ {2} -15 ^ {2} -16 ^ {2} + 17 ^ {2}) \\ & = \ ldots \ end {tasattu}}}
mutta meillä on myös:
9=12+22+32-42-52+62,{\ displaystyle 9 = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} -4 ^ {2} -5 ^ {2} + 6 ^ {2},}
mikä osoittaa, että algoritmi ei ole optimaalinen pituuden kannalta.
Yleistykset
Bleicher korvasi eksponentin 2 millä tahansa positiivisella eksponentilla p : mikä tahansa kokonaisluku n voidaan kirjoittaa äärettömällä määrällä tapoja muodossa:
ei=∑k=1EIklokksklovevs.klok∈{1,-1}.{\ displaystyle n = \ summa _ {k = 1} ^ {N} {a_ {k} k ^ {p}} \ quad {\ rm {with}} \ quad a_ {k} \ in {1, - 1 \}.}
Esimerkkejä:
3=13-23+33+43+53+63-73+83-93+103-113-123+133,{\ displaystyle 3 = 1 ^ {3} -2 ^ {3} + 3 ^ {3} + 4 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} -7 ^ {3} + 8 ^ { 3} -9 ^ {3} + 10 ^ {3} -11 ^ {3} -12 ^ {3} + 13 ^ {3},}
2=-14+24+34-44+54+64-74+84+94-104-114+124+134+144+154-164-174-184+194.{\ displaystyle 2 = -1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} -4 ^ {4} + 5 ^ {4} + 6 ^ {4} -7 ^ {4} + 8 ^ {4} + 9 ^ {4} -10 ^ {4} -11 ^ {4} + 12 ^ {4} + 13 ^ {4} + 14 ^ {4} + 15 ^ {4} -16 ^ {4 } -17 ^ {4} -18 ^ {4} + 19 ^ {4}.}
Ilmeisesti itsenäisesti Bodini et ai. ja Yu laajennettu tämä tulos korvaamalla k p , jossa f ( k ), jossa f on jokin kokonaisluku-arvo polynomin , jonka GCD arvojen on yhtä suuri kuin 1.
Boulanger'n ja Chabert laajennettu sen lisäksi, korvaamalla Lisäksi rengas on suhteellisen kokonaislukuja mukaan kuin kokonaislukuja on cyclotomic kentän (ja ± 1, jonka juuret yksikön tällä alalla).
Huomautuksia ja viitteitä
-
(in) Paul Erdős ja János Surányi, Aiheita numeroteoriassa , Springer Science & Business Media ,2003( lue verkossa ) , luku . 7, s. 227 - 228, esim. 15.
-
(sisään) Michael N. Bleicher, " It's Problem is PRIELIPP Signed Sums ofkth Powers " , Journal of Number Theory , voi. 56, n o 1,1996, s. 36-51 ( DOI 10.1006 / v.1996 .0004 ).
-
(en) Jacques Boulanger ja Jean-Luc Chabert, " Kokonaislukujen esittämisestä polynomin peräkkäisten arvojen lineaarisina yhdistelminä " , Trans. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi. 356,2004, s. 5071-5088 ( lue verkossa ).
-
Olivier Bodini, Pierre Duchet ja Sandrine Lefranc, "Erdősin lauseen ympärillä yhdistelmistä, joiden ensimmäisten neliöiden kerroin on kerroin + tai -1", RMS , voi. 112, 2001, s. 3-8 .
-
(in) Hong Bing Yu, " Allekirjoitettu summia polynomin arvoja " , Proc. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi. 130,2002, s. 1623-1627 ( lue verkossa ).
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoinen linkki
Jean-Paul Quelen, JAVA-algoritmit ja sovelmat, jotka liittyvät lauseeseen
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">