Prouhet-Tarry-Escott-ongelma

Vuonna matematiikan , erityisesti lukuteoria ja combinatorics The ongelma Prouhet-Jää-Escott on löytää jokaiselle kokonaisluku , kaksi ja sekä kokonaislukuja, kuten: ei{\ displaystyle n}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ei{\ displaystyle n}

∑klo∈ATkloi=∑b∈Bbi{\ displaystyle \ summa _ {a \ sisään A} a ^ {i} = \ summa _ {b \ B} b ^ {i}}

Kunkin ja jopa tietyn kokonaisluku . Jos ja vahvista nämä ehdot, kirjoitamme . i{\ displaystyle i}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}AT=kB{\ displaystyle A = _ {k} B}

Etsimme ratkaisua, joka on vähimmäiskoko tietylle tutkinnolle . Tämä edelleen avoin ongelma on nimetty Eugène Prouhet , joka tutki sitä vuonna 1851, ja Gaston Tarry ja Edward Brind Escott, jotka pitivät sitä 1910-luvun alussa. ei{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}

Suurin arvo, jolle tiedämme ratkaisun, on . Vastaava ratkaisu saadaan seuraavista sarjoista: k{\ displaystyle k}ei=k+1{\ displaystyle n = k + 1}k=11{\ displaystyle k = 11}

AT={±22,±61,±86,±127,±140,±151} ,B={±35,±47,±94,±121,±146,±148}{\ displaystyle A = \ {\ pm 22, \ pm 61, \ pm 86, \ pm 127, \ pm 140, \ pm 151 \} \, qquad B = \ {\ pm 35, \ pm 47, \ pm 94, \ pm 121, \ pm 146, \ pm 148 \}}

Esimerkki

Määritelmän kokonaisluku on aste ja kokonaisluku on koko . On helppo nähdä, että mihin tahansa ratkaisuun meillä on . Etsimme siis vähimmäiskokoa. k{\ displaystyle k}ei{\ displaystyle n}ei>k{\ displaystyle n> k}

Koko ja aste , molemmat sarjat ei=6{\ displaystyle n = 6}k=5{\ displaystyle k = 5}

{0,5,6,16,17,22}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \}} ja {1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {1,2,10,12,20,21 \}}

ovat ratkaisu ongelmaan, koska:

0+5+6+16+17+22=66=1+2+10+12+20+21{\ displaystyle 0 + 5 + 6 + 16 + 17 + 22 = 66 = 1 + 2 + 10 + 12 + 20 + 21}02+52+62+162+172+222=1090=12+22+102+122+202+212{\ displaystyle 0 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} + 16 ^ {2} + 17 ^ {2} + 22 ^ {2} = 1090 = 1 ^ {2} + 2 ^ { 2} + 10 ^ {2} + 12 ^ {2} + 20 ^ {2} + 21 ^ {2}}03+53+63+163+173+223=19998=13+23+103+123+203+213{\ displaystyle 0 ^ {3} + 5 ^ {3} + 6 ^ {3} + 16 ^ {3} + 17 ^ {3} + 22 ^ {3} = 19998 = 1 ^ {3} + 2 ^ { 3} + 10 ^ {3} + 12 ^ {3} + 20 ^ {3} + 21 ^ {3}}04+54+64+164+174+224=385234=14+24+104+124+204+214{\ displaystyle 0 ^ {4} + 5 ^ {4} + 6 ^ {4} + 16 ^ {4} + 17 ^ {4} + 22 ^ {4} = 385234 = 1 ^ {4} + 2 ^ { 4} + 10 ^ {4} + 12 ^ {4} + 20 ^ {4} + 21 ^ {4}} 05+55+65+165+175+225=7632966=15+25+105+125+205+215{\ displaystyle 0 ^ {5} + 5 ^ {5} + 6 ^ {5} + 16 ^ {5} + 17 ^ {5} + 22 ^ {5} = 7632966 = 1 ^ {5} + 2 ^ { 5} + 10 ^ {5} + 12 ^ {5} + 20 ^ {5} + 21 ^ {5}}.

Ihanteellinen ratkaisu on ratkaisu, jonka koko on yhtä suuri kuin aste +1, joten yllä oleva ratkaisu on ihanteellinen.

Historia

Vuonna 1851 Eugène Prouhet esitti yleisemmän ongelman jakamalla kokonaisluvut x 1: stä n m : een n luokkaan niin, että kunkin luokan kokonaislukujen k-s: n tehojen summa on sama, kun k = 0, 1 , ... menetelmä hän aikoo määrät numeroinnin luokkiin 0 n - 1, hajottamiseksi kukin kokonaisluku x - 1 määrän pohja n , täsmää sen numeroa, laskea jäljellä r tästä määrästä modulo n ja määritä kokonaisluku x luokalle r .

Tapauksessa, jossa n = 2, kokonaisluvun x sijoittaminen toiseen kahdesta indeksin 0 tai 1 luokasta tapahtuu sen mukaan, onko Prouhet-Thue-Morse-sekvenssin x- kolmas termi 0 vai 1. ensimmäiset 8 kokonaislukua on jaettu yhtäältä: 1, 4, 6, 7 ja toisaalta 2, 3, 5, 8, ja näiden kahden luokan kokonaislukujen k- osien summa yhtenevät, kunnes k = 2.

Leonard Eugene Dickson omistaa kappaleen hänen History of Number Theory on "  Sarjaa kokonaislukuja yhtä summia kuten valtuuksia  " , ja luettelot peräti 70 artikkelia tästä aiheesta. Edward Maitland Wright toteaa historiallisessa artikkelissaan, että Prouhetin artikkeli löydettiin uudelleen vasta vuonna 1948.

Peter Borwein ja hänen kirjoittajansa kuvaavat viimeaikaista kehitystä . katso myös Filasetan ja Markovichin artikkeli. Alpers ja Tijdeman (2007) ovat tutkineet kaksiulotteista versiota .

Ominaisuudet ja tulokset

• Jos pari ja on tutkintoratkaisu , niin kaikille ja kaikille pariskunnilleAT={klo1,klo2,...,kloei}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}}B={b1,b2,...,bei}{\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}k{\ displaystyle k}EI≠0{\ displaystyle N \ neq 0}M{\ displaystyle M}AT′={EIklo1+M,EIklo2+M,...,EIkloei+M}etB′={EIb1+M,EIb2+M,...,EIbei+M}{\ displaystyle A '= \ {Na_ {1} + M, Na_ {2} + M, \ ldots, Na_ {n} + M \} \ quad {\ rm {ja}} \ quad B' = \ {Nb_ {1} + M, Nb_ {2} + M, \ ldots, Nb_ {n} + M \}}on edelleen saman asteen ratkaisu. Joten ratkaisu{0,5,6,16,17,22}=5{1,2,10,12,20,21}{\ displaystyle \ {0,5,6,16,17,22 \} = _ {5} \ {1,2,10,12,20,21 \}}antaa myös ratkaisun{1,6,7,17,18,23}=5{2,3,11,13,21,22}.{\ displaystyle \ {1,6,7,17,18,23 \} = _ {5} \ {2,3,11,13,21,22 \}.}Tämän havainnon avulla voidaan standardoida ratkaisut asettamalla esimerkiksi, että ne sisältävät vain positiivisia tai nolla kokonaislukuja, ja että nolla esiintyy niissä.
• Emme tiedä ihanteellista ratkaisua jokaiselle tutkinnolle, mutta tiedämme, että jokaiselle tutkinnolle on kooltaan sopiva ratkaisu .k{\ displaystyle k}ei≤k(k+1)/2+1{\ displaystyle n \ leq k (k + 1) / 2 + 1}
• Symmetriset ratkaisut: Tasakokoinen ratkaisu on symmetrinen, jos jokainen komponentti on muodoltaanei=2m{\ displaystyle n = 2m}{±vs.1,±vs.2,...,±vs.m}.{\ displaystyle \ {\ pm c_ {1}, \ pm c_ {2}, \ ldots, \ pm c_ {m} \}.}Johdannossa annettu ratkaisu on tässä muodossa.
• Pariton kokoinen ratkaisu on symmetrinen, jos ratkaisun komponentit ovat vastakkaisia, ts.AT={klo1,klo2,...,kloei}{\ displaystyle A = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \}} ja B={-klo1,-klo2,...,-kloei}.{\ displaystyle B = \ {- a_ {1}, - a_ {2}, \ ldots, -a_ {n} \}.}

Ihanteelliset ja symmetriset ratkaisut

Ihanteelliset ja symmetriset ratkaisut tunnetaan tutkinnoista lukuun ottamatta seuraavia  : k≤11{\ displaystyle k \ leq 11}k=10{\ displaystyle k = 10}

• k=1{\ displaystyle k = 1}

{±2}=1{±1}{\ displaystyle \ {\ pm 2 \} = _ {1} \ {\ pm 1 \}}

• k=2{\ displaystyle k = 2}

{-2,-1,3}=2{2,1,-3}{\ displaystyle \ {- 2, -1,3 \} = _ {2} \ {2.1, -3 \}}

• k=3{\ displaystyle k = 3}

{±3,±11}=3{±7,±9}{\ displaystyle \ {\ pm 3, \ pm 11 \} = _ {3} \ {\ pm 7, \ pm 9 \}}

• k=4{\ displaystyle k = 4}

{-8,-7,1,5,9}=4{8,7,-1,-5,-9}{\ displaystyle \ {- 8, -7,1,5,9 \} = _ {4} \ {8,7, -1, -5, -9 \}}

• k=5{\ displaystyle k = 5}

{±4,±9,±13}=5{±1,±11,±12}{\ displaystyle \ {\ pm 4, \ pm 9, \ pm 13 \} = _ {5} \ {\ pm 1, \ pm 11, \ pm 12 \}}

• k=6{\ displaystyle k = 6}

{-51,-33,-24,7,13,38,50}=6{51,33,24,-7,-13,-38,-50}{\ displaystyle \ {- 51, -33, -24,7,13,38,50 \} = _ {6} \ {51,33,24, -7, -13, -38, -50 \}}

• k=7{\ displaystyle k = 7}

{±2,±16,±21,±25}=7{±5,±14,±23,±24}{\ displaystyle \ {\ pm 2, \ pm 16, \ pm 21, \ pm 25 \} = _ {7} \ {\ pm 5, \ pm 14, \ pm 23, \ pm 24 \}}

• k=8{\ displaystyle k = 8}

{-98,-82,-58,-34,13,16,69,75,99}=8{98,82,58,34,-13,-16,-69,-75,-99}{\ displaystyle \ {- 98, -82, -58, -34,13,16,69,75,99 \} = _ {8} \ {98,82,58,34, -13, -16, - 69, -75, -99 \}}

• k=9{\ displaystyle k = 9}

{±99,±100,±188,±301,±313}=9{±71,±131,±180,±307,±308}{\ displaystyle \ {\ pm 99, \ pm 100, \ pm 188, \ pm 301, \ pm 313 \} = _ {9} \ {\ pm 71, \ pm 131, \ pm 180, \ pm 307, \ pm 308 \}}

Tämä viimeinen ratkaisu annetaan yhdessä muiden kanssa Borwein et ai. (2003) . Ihanteellista ratkaisua ei tunneta . k=10{\ displaystyle k = 10}

Algebrallinen muotoilu

On algebrallisempi tapa muotoilla ongelma:

Ehdotus  -  Seuraavat ehdot vastaavat:

1. ∑i=1eikloij=∑i=1eibij,(j=1,...,k){\ displaystyle \ summa _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {j} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {j}, \ quad (j = 1, \ ldots, k)}
2. deg⁡(∏i=1ei(x-kloi)-∏i=1ei(x-bi))≤ei-(k+1){\ displaystyle \ deg \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-a_ {i}) - \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-b_ {i}) \ oikea) \ leq n- (k + 1)}
3. (x-1)k+1|∑i=1eixkloi-∑i=1eixbi.{\ displaystyle (x-1) ^ {k + 1} \ vasen | \ summa _ {i = 1} ^ {n} x ^ {a_ {i}} - \ summa _ {i = 1} ^ {n} x ^ {b_ {i}} \ oikea ..}

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan peräisin englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista "  Prouhet - Tarry - Escott-ongelma  " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Huomautuksia

1. Borwein (2002) , s.  85
2. Nuutti Kuosan, Jean-Charles Meyrignacin ja Chen Shuwenin vuonna 1999 antama ratkaisu , katso The Prouhet-Tarry-Escott -ongelma .
3. ME Prouhet, Muistio joistakin numeroiden voimien välisistä suhteista , CR Acad. Sci. Pariisi, sarja I, voi. 33, 1851, s.  225 .
4. (in) Leonard Eugene Dickson , historia teorian Numbers  (fi) [ yksityiskohta painokset ], lento. 2, 1919, c. XXIV, s.  705-716 .
5. Wright (1959)
6. Borwein ja Ingalls (1944)
7. Borwein (2002)
8. Borwein, Lisonĕk ja Percival 2003
9. (in) Michael Filaseta ja Maria Markovich , "  Newton polygoneja ja Prouhet-Jää-Escott ongelma  " , Journal of Number Theory , vol.  174, 2017, s.  384–400 ( DOI  10.1016 / j.jnt.2016.10.009 ).
10. Borwein (2002) ja The Prouhet-Tarry-Escott -ongelma .
11. Katso viitteitä Borwein ja Ingalls (1944) .

Viitteet

• (en) Andreas Alpers ja Robert Tijdeman , "  Kaksiulotteinen Prouhet-Tarry-Escott-ongelma  " , J. Number Theor. , voi.  123,2007, s.  403-412
• (en) Peter Borwein , laskennalliset retket analyysissä ja numeroteoriassa , New York / Berliini / Heidelberg, Springer , coll.  "CMS-kirjat matematiikassa",2002, 220  Sivumäärä ( ISBN  0-387-95444-9 , lue verkossa )Luku 11: Prouhet - Tarry - Escott -ongelma (sivut 85-96) on omistettu ongelmalle.
• (en) Peter Borwein ja Colin Ingalls , ”  Prouhet-Tarry-Escott -ongelma palasi  ” , opettaja. Matematiikka. , voi.  40, n luu  1-2,1994, s.  3-27 ( lue verkossa )
• (en) Peter Borwein , Petr Lisonĕk ja Colin Percival , ”  Prouhet-Tarry-Escott -ongelman laskennalliset tutkimukset  ” , Math. Comp. , voi.  72, n °  244,2003, s.  2063-2070 ( lue verkossa )
• (de) Albert Gloden  (lb) , Mehrgradige Gleichungen: Mit einem Vorwort von Maurice Kraitchik , Groningen, P. Noordhoff,1944( Matemaattiset arvostelut  0019638 )
• GH Hardy ja EM Wright (  englanniksi kääntänyt F. Sauvageot), Johdatus lukuteoriaan [“  Johdanto numeroiden teoriaan  ”], Pariisi ja Heidelberg, Vuibert ja Springer2007Osa 20.5 “Neljän neliön lause” käsittelee tätä aihetta. Luvut 21.9 “Prouhetin ja Tarryn ongelma: numero  ” ja 21.10, s. 423-427, on omistettu Prouhet-Tarryn ongelmalle.P(k,j){\ displaystyle P (k, j)}
• (en) Edward M. Wright , ”  Prouhetin vuoden 1851 ratkaisu vuoden 1910 Tarry-Escott-ongelmaan  ” , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol.  66,Maaliskuu 1959, s.  199-201

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Prouhet-Thue-Morse -sviitti
• Eulerin arvelu
• Erdős-Suranyin lause

Ulkoiset linkit

• (en) Chen Shuwen, Prouhet-Tarry-Escott-ongelma
• (en) Eric W.Weisstein , "  Prouhet-Tarry-Escott-ongelma  " , MathWorldissa

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">