Eulerin lause (pintojen kaarevuus)

In ero geometria , Eulerin lause liittyvät kaarevuussäteet , että käyrät piirretään kahdesti differentioituva pinnan S antaa arvon kaarevuuksien käyrien tämän pinnan läpi samassa pisteessä M, muodossa:

{\ displaystyle \ kappa _ {X} = \ kappa _ {1} \ cos ^ {2} (\ theta) + \ kappa _ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)}

tai:

${\ displaystyle \ kappa _ {X}}$ on pintaan S piirretyn käyrän normaali kaarevuus ja ottamalla X tangenttivektoriksi pisteessä M. Se on myös käyrän kaarevuus, joka saadaan pinnan S leikkauspisteenä tangentin kanssa kohtisuorassa M: ssä Kohdassa S ja sisältää vektorin X;
${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$ ja ovat pinnan pääkaarevuudet tarkasteltavassa pisteessä; $\ kappa_2$
$\ theta$ on kaarevuuden pääsuunnan ja vektorin X välinen kulma. ${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$

Täten pinnan M: n läpi kulkevien käyrien normaali kaarevuus esittää kaksi erityistä suuntaa (saatu yllä olevasta merkinnästä vastaavasti ja ). Näitä kahta suuntaa kutsutaan kaarevuuden pääsuunniksi . Ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden (katso kuva). ${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$

Toisin sanoen, jos oletetaan, että normaali taso pyörii vektorin ympäri, joka on normaalia pintaan nähden kyseisessä kohdassa, käyrät, joiden poikkileikkaus on näin määritelty, käyvät läpi maksimin ja minimin. Tätä maksimia ja tätä minimiä vastaavat tasot ovat kohtisuorassa. Vastaavien osien kaarevuuksien tunteminen mahdollistaa minkä tahansa osan kaarevuuden laskemisen helposti Eulerin lauseen ansiosta.

Kun nämä kaksi pääkaarevuutta ovat nollasta poikkeavia ja samanmerkkisiä, pinnan pisteen sanotaan olevan elliptinen .
Kun ne ovat nollasta poikkeavia ja vastakkaisten merkkien kanssa, pisteen sanotaan olevan hyperbolinen .
Kun vain yksi kaarevuuksista on nolla, pisteen sanotaan olevan parabolinen .
Kun molemmat ovat nollia, pisteen sanotaan olevan tasainen .
Kun nämä kaksi kaarevuutta ovat nollasta poikkeavia ja yhtäläisiä (erityisesti saman merkin kohdalla), kyseistä pistettä kutsutaan napaksi . Kaikki suunnat ovat sitten tärkeimmät.

Tämän lauseen ja sen kuvaamien pintojen erityisominaisuudet osoitti Euler vuonna 1760.

Huomautuksia ja viitteitä

Pääkäyrien keskimääräistä summaa kutsutaan keskimääräiseksi kaarevuudeksi . Tuotteen pääasiallisen kaarevuuksista kutsutaan Gaussin kaarevuus . ${\ displaystyle (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}) / 2}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {1} \ kappa _ {2}}$
Pääsuunnat vaihtelevat yleensä pinnan pisteen mukaan. Kun pinta on riittävän säännöllinen, nämä pääsuunnat ovat kahden käyräsarjan kirjekuoria, joita kutsutaan pinnan kaarevuuksiksi . Nämä kaksi viivasarjaa ovat kohtisuorassa toisiinsa kaikissa säännöllisissä pisteissä, lukuun ottamatta napaa (Darboux-pisteitä).

(en) Euler - Tutkimus pintojen kaarevuudesta - Berliinin tiedeakatemian muistelmat (1767)

Aiheeseen liittyvät artikkelit