Kelvinin lause

Kelvin lauseen mukaan liikkeen nopeuden kentän pitkin suljetut profiilit ole laitteita nesteen barotrope . Kelvin totesi sen vuonna 1868.

Se on turbulenssimekanismien tutkimisen kannalta välttämätöntä.

Määritelmät

Olkoon C (t) virtauksen suljettu muoto. Kiertopiste C: llä on C: n tangentin komponentin integraali C: llä. Merkitään l tangenttiyksikkövektoria

Γ=∮VSV⋅dl{\ displaystyle \ Gamma = \ anint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}

Pyörteisyyden = (ω 1 , co 2 , ω 3 ), jonka määrittää pyörimisnopeuden liittyy verenkierrosta rotaatio lauseω{\ displaystyle {\ lihavoitu symboli {\ omega}}}ω = ∇×V{\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ omega}} ~ = ~ \ nabla \ times \ mathbf {V}}

Γ=∫Sω⋅dS{\ displaystyle \ Gamma = \ int _ {S} {\ lihavoitu symboli {\ omega}} \ cdot \ mathrm {d} S}

missä S on C.

Rivi pyörteisyyden määritelty vektori k = (k 1 , k 2 , k 3 ) missään vaiheessa määritellään tangentti pyörteisyyttä

dk1dω1=dk2dω2=dk3dω3{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} k_ {1}} {\ mathrm {d} \ omega _ {1}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {2}} {\ mathrm { d} \ omega _ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {3}} {\ mathrm {d} \ omega _ {3}}}}.

Pyöreysputki määritetään sarjaan virtaviivoja, jotka on painettu C.

Kelvinin lause

Seuraavassa oletetaan Eulerin yhtälöiden kuvaama väliaine, joka ei ole puristettavissa ulkoisella voimalla g . Tiheys ρ ei ole välttämättä vakio.

Kiertoyhtälön johtaminen antaa, käyttämällä impulssisäilöyhtälöä

dΓdt=∮VSdVdt⋅dl+∮VSV⋅ddt(dl)=∮VS(-1ρ∇s)⋅dl+∮VSg⋅dl⏟= 0+∮VS∇(V22)⋅dl⏟= 0=-∮VSdsρ{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} & = & \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ lub _ {C} \ mathbf {V} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} (\ mathrm {d} \ mathbf {l}) \\ [0.6em] & = & \ anint _ {C} \ vasemmalle (- {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ alaosa {\ anint _ {C} \ mathbf {g} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ nabla \ left ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} \\ [0.6em] & = & - \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} \ end {array}}}

Kaksi esiintyvistä termeistä on nolla, koska yksi integroituu suljettuun käyrään. Jäljellä oleva termi, jota kutsutaan barokliiniseksi termiksi, on nolla, jos tiheys on vakio.

Yleensä tämä termi voidaan kirjoittaa eri tavalla kiertolauseen avulla

-∮VSdsρ=∫SΠ⋅dS{\ displaystyle - \ voitelu _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} = \ int _ {S} \ Pi \ cdot \ mathrm {d} S}

missä Π on barokliininen vektori

Π=-∇(1ρ)×∇s{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} = - \ nabla \ vasen ({\ frac {1} {\ rho}} \ oikea) \ kertaa \ nabla p}

Tämä termi on nolla, kun pinta-isobaareja ja isopyynejä sekoitetaan.

Huomautuksia

1. Vortex-vektori määritetään joskus puoliksi pyörteestä.
2. pinnat tasaisella tiheydellä.

Viitteet

1. (in) William Thomson, "  Me Vortex Motion  " , liiketoimet Royal Society of Edinburgh , vol.  25,1868, s.  217-260 ( DOI  10.1017 / S0080456800028179 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">