Irrationaalinen numero

Irrationaaliluku on reaaliluku , joka ei ole järkevä , eli se ei voi kirjoittaa kuin murto-osa $klo / b$ , jossa $a$ ja $b$ ovat kaksi suhteellista kokonaislukua (joissa $b$ ei ole nolla). Irrationaaliluvut voidaan luonnehtia vastaavasti reaalilukuina, joiden desimaalilaajennus ei ole jaksollinen tai joiden jatkuva murtolaajennus on ääretön.

Erotamme irrationaaliluvuista kaksi toisiaan täydentävää osajoukkoa : ei-rationaaliset algebralliset ja transsendenttiset numerot . Algebralliset numerot määritellään polynomien juuriksi, joilla on järkevät kertoimet; tämä laskettava joukko sisältää kaikki rationaaliluvut , mutta myös joitain irrationaalisia . Ei-algebrallisten numeroiden, kuten $π$ ja $e$ , sanotaan olevan transsendentteja; ne ovat kaikki irrationaalisia. Jotkut klassisesti tutkitut irrationaalilukujoukot voivat kuitenkin sisältää sekä algebrallisia että transsendenttilukuja; näin on esimerkiksi laskettavissa olevilla numeroilla . Olemme myös arveluja , että on olemassa algebrallinen normaaleja numeroita , ja tiedämme jotkut ovat ylivertainen.

Ensimmäisessä irrationaalilukuja löysi ovat neliön juuret kokonaislukujen, jotka eivät ole täydellisiä neliöitä , muun muassa √ 2 , jonka järjettömyys perustettiin vuonna antiikin ; Yleisesti ottaen irrationaalisilla konstruoituvilla luvuilla , algebrallisten numeroiden osajoukolla, josta löydämme muun muassa kultaisen suhteen , on suuri historiallinen merkitys, koska ne liittyvät hallitsijan rakentamiseen liittyviin ongelmiin ja kompassiin, joka on välttämätön euklidisen aikakauden geometrialle .

Järjettömyyden $π$ ja $e$ perustettiin paljon myöhemmin, vuonna XVIII th luvulla; nämä ovat ensimmäisiä transsendenttilukuja, joiden irrationaalisuus on osoitettu. Hän on myös esitetty XIX : nnen vuosisadan että lähes kaikki todelliset luvut ovat irrationaalisia ja jopa transendentaaleja. Vuonna 2018 useiden tärkeiden vakioiden, kuten Euler-Mascheroni-vakion, tilaa ei tunneta .

Historia

Tunnetuimmat muinaiset irrationaalisia teokset tuotettiin Kreikan maailmassa .

Kreikan antiikin

Historiankirjoitus on pitkään rikki tutkimuksen irrationaalisuuden kolmeen vaiheeseen: löytö, luultavasti jonka Pythagoraan , erikoistapaus ei- mitallista suuruuksia, ja sen jälkeen otetaan järjettömyyden muutamia vastaavia esimerkkejä ja lopuksi järjestelmällistä tutkimusta siitä, vuonna erityisesti Euclid . Eri vaiheiden tarkkaa järjestystä ei kuitenkaan ole helppo rekonstruoida, koska kaikkia aikakauden tekstejä ei tunneta ja ne, joista on ollut kiistaa, erityisesti niiden tulkinnan suhteen.

Käytetty sanasto

Yksi irrationaalisuutta käsittelevien muinaisten tekstien tutkimisen vaikeuksista on siinä, että tähän käytettävät termit ja niiden merkitys vaihtelevat ajoittain ja että jotkut saattavat esiintyä yhdessä samassa tekstissä. Vuonna antiikin Kreikan käsite irrationaalisuuden voidaan näin ollen esittää seuraavat sanat:

ἂρρητος / arrestos : selittämätön ;
ἀσύμμετρος / asymmetros : yhteismitaton tämä termi pysty täsmennettävä:
- μήκει ἀσύμμετρος / mkei asymmetros : mittaamattoman pitkä;
- σύμμετρος δυνάμει / symmetros dynamei : suhteutettavissa neliöön;
ἄλογος / alogos : kirjaimellisesti, joka ei voi muodostaa suhdetta ; se on lähinnä nykyaikaista termiä irrationaalinen .

Kaikkien näiden ehtojen vain ἂρρητος ei näy Kirja X on Eukleideen elementtejä . Toisaalta sanaa ῥητος (joka on ehdottomasti leksikaaliselta kannalta vastakohta sanalle ἂρρητος ) käytetään vastakohtana sanalle ἄλογος, joka tarkoittaa irrationaalista ; sen määritelmä kuitenkin sisältää käsitteen σύμμετρος δυνάμει ( mitallista neliön ): numero √ 2 olisikin "järkevä" tämän määritelmän mukaan, mikä ei pidä paikkaansa vanhemmilla teksteissä kaltaisiin Platon . Siksi kahden kirjoittajan aikakausien välillä tapahtui merkityksenmuutos, ja nykyaikainen käsitys irrationaalisuudesta ei ole täysin päällekkäinen Euclidin kanssa. Kreikkalaisille ei myöskään ole irrationaalista lukua, mutta sellaisia kokopareja, että ensimmäinen ei ole toisen järkevä kerroin.

Tekstien ymmärtämistä vaikeuttaa myös sellaisten teknisten termien käyttö, jotka kääntävät käsitteitä, joilla ei ole vastaavuutta nykyisillä kielillä. Esimerkiksi nimi δύναμις / dynamis tarkoittaa jokapäiväisessä kielessä "voimaa", mutta tällä merkityksellä ei ole merkitystä muinaisissa matemaattisissa teksteissä. Se on usein käännetty "neliöjuureksi" sen kontekstin vuoksi, jossa sitä käytetään. Kuitenkin sen todellinen merkitys, joka on todennäköisesti lainattu rahoituksesta, jossa se ilmaisee valuutan arvon, on pikemminkin neliön nimeäminen, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin jo tunnistettu pinta; täten δύναμις on suorakulmion , jonka pituus on $2$ ja leveys $1$ on neliön alueella $2$ . Tämä termi, joka on todistettu Chiosin Hippokratesen ajalta , toi monia väärinkäsityksiä tulkitsemaan useita tekstejä, mukaan lukien Platonin Theetetus .

Irrationaalisten löytäminen

Päivää, jolloin kreikkalaiset löysivät irrationaalisuuden käsitteen, ei tiedetä varmuudella: se on yleensä V - vuosisadan alussa eKr. BC ja ensimmäisellä neljänneksellä IV : nnen vuosisadan eaa. JKr . Joka tapauksessa se edeltää Democrituksen kirjaa Irrationaaliset luvut ja kiinteät aineet , joka on peräisin tältä ajalta.

Päinvastoin kuin yleisesti uskotaan, mikään ei osoita varmuudella, että vertailukelvottomuuden löytö tulee tutkimasta neliön lävistäjää ja toista sivua, ominaisuutta, joka vastaa √ 2: n irrationaalisuutta . Löytö on joskus johtuu matemaatikko Hippasius on Metapontus työstään osa äärimmäisen ja väliaineen syystä nyt kutsutaan kultainen suhde, joka on myös suhde pituus lävistäjä viisikulmion kuin 'yksi sen sivut. On myös mahdollista, että irrationaalisuuden käsite on päivitetty tutkimalla aritmeettista ongelmaa löytää kokonaisluku, joka on sekä täydellinen neliö että toisen täydellisen neliön kaksinkertainen luku; tämän ongelman liukenemattomuus vastaa todellakin √ 2: n irrationaalisuutta . Jos löytö itsessään on salaisuuden peitossa, tunnetuin esimerkki Platonin aikojen älymystöstä on diagonaalin ja neliön sivun mittaamattomuus.

Ensimmäisten löydettyjen suhteuttamattomien määrien tarkkaa luonnetta ei tunneta, eikä myöskään tiedetä, miten tämä ei-vertailukelpoisuus todettiin, ja on esitetty useita esittelyideoita. Yksi niistä perustuu parillisen ja parittoman periaatteeseen, Aristoteles mainitsee sen erityisesti . Muita muinaisten todisteiden rekonstruointeja on suunniteltu: jotkut turvautuvat äärettömään laskeutumiseen , toiset algoritmiin, jonka nykyisessä mielessä suhtaudumme jatkuviin murtolukuihin . Tämä viimeinen tekniikka peritään Mesopotamian kulttuureista .

Irrationaalisten jatkotutkimus

Erään irrationaalisen tapauksen löytämisen jälkeen vallitsi pitkä yhteisymmärrys väittämään, että mittaamattomien suuruuksien tutkimista oli jatkettu Theodore of Cyrene -yrityksen laatimalla muita esimerkkejä, jotka kiehuvat numeroiksi. $\sqrt n$ ( $n$ ei-neliön kokonaisluvun välillä $3$ ja $17$ ). Tämä oletus johti tutkimukseen menetelmään, jota käytettiin tähän, ja syihin, jotka estivät Kyrenen Theodore ylittämästä √ 17 ; se on kuitenkin todennäköisesti väärin. Itse asiassa se johtuu Theetetuksen kohdasta , mutta Platonin tekstissä ei mainita mielenosoitusta, eikä se siksi osoita, että Theodore olisi tuottanut sellaisen. Toinen hypoteesi on, että ensimmäiset todisteet irrationaalisuudesta perustuvat olennaisesti pariteetin käsitteeseen, joka ei salli osoittaa √ 17: n irrationaalisuutta .

Tämänhetkisen tietämyksen mukaan on vaikea ehdottaa tarkkaa aikajärjestystä kreikkalaisen vertailukelpoisuuden tutkimuksen alkuista. Kymmenes kirja Elements , kirjoitettu noin -300 , esittelee luokittelu irrationaalinen suuruudet; emme kuitenkaan tiedä, milloin siellä esitetyt ehdotukset juontavat juurensa, kun aiemmat matemaattiset tekstit menetetään.

Myöhemmin kreikkalaiset matemaatikot kehittivät mittaamattomien suuruuksien arviointimenetelmiä. Archimedes käytti erityisesti uupumuksen menetelmää estimaatin antamiseksi $π: lle$ ja Alexandrialainen Heron paljastaa menetelmän neliöjuuren arvioimiseksi .

Keskustelu "säätiöiden kriisin" muinaisesta olemassaolosta

Legenda, josta kerrotaan toistuvasti, kertoo, että Pythagoralainen, toisinaan nimeltään Hippasius, hukkui, koska hän oli paljastanut maallikoille mittaamattomuuden. Tämä legenda osoittaisi, että löytö olisi todellakin Pythagoraan ja että siitä olisi tehty tabu; se on usein mainittu tukemaan väitettä, jonka mukaan irrationaalisuus aiheutti perustavanlaatuisen ongelman muinaisille matemaatikoille.

Olemassaolon syvää kriisiä keskuudessa matemaatikot ja kreikkalaiset filosofit johtuu löytö irrationaalisuuden on pitkään otettu historioitsijoiden, ja tämä siitä työstä Paul Tannery 1887, ja vielä enemmän ensimmäisinä vuosikymmeninä XX : nnen vuosisadan . Muut historioitsijat ovat sittemmin arveltu, että kriisi aiheuttama irrationaalinen oli pikemminkin jälleenrakennus virka , jossa matemaatikot XX : nnen vuosisadan mallinnettu heidän kriisi perustusten muinoin päätellen Kreikan matemaattisia teoksia valossa modernin matemaattisia käsitteitä. Tutkimus suoritettiin jälkipuoliskolla XX : nnen vuosisadan näin heikentyneet käsitteeseen "antiikki kriisi säätiöt" .

Keskiaikainen Lähi-itä

Keskiajalla näki kehittämisen algebran sisällä arabia matematiikan , joka mahdollisti irrationaaliluvut tulla esineitä saman algebrallinen luonto kokonaislukuja ja rationaalilukuja. Arabien ja muslimien maailman matemaatikot lopettavat, toisin kuin edeltäneen kreikkalaisen maailman, manipuloivat vain geometrisia määriä suhteidensa mukaan . Elementin kirjaa X koskevassa selityksessään persialainen matemaatikko Al-Mahani tutkii ja luokittelee asteen ja kuution irrationaaliarvot pitämällä niitä omina numeroinaan, vaikka hän käyttää myös geometrista näkökulmaa niiden nimeämiseen. Hän antaa myös algebrallisen lähestymistavan irrationaalisiin, selittäen, että jos lisätään tai kerrotaan järkevä ja irrationaalinen, tulos on irrationaalinen.

Matemaatikko egyptiläinen Abu kamil Shuja ibn Aslam on ensimmäinen hyväksyä irrationaaliluku edustaa neliöjuuri, kuutioina tai Racine n : nnen voi olla liuos, jossa on toisen asteen yhtälö tai on kerroin , joka yhtälö .

Arabimatemaatikot ovat myös ottaneet käyttöön ja parantaneet numeerisia lähentämismenetelmiä ; esimerkiksi Al-Kashi löytää $π:$ n ensimmäiset 16 desimaalipistettä geometristen menetelmien ansiosta.

Moderni aikakausi

Keskustelut irrationaalisten lukujen luonteesta

Tällä XVI : nnen vuosisadan matemaattinen yhteisö tyytyväinen jakeet . Vuonna XVII nnen vuosisadan matemaatikot käyttävät yhä enenevässä määrin desimaaleilla ja osuus on jo näitä numeroita kanssa nykymerkinnöin. Desimaalimerkinnät mahdollistavat numeeriset laskelmat irrationaaliluvuista. Vaikka niitä käytetään yleisesti, keskustelu niiden luonteesta ei ole ratkaistu. Simon Stevin ja Isaac Newton katsovat, että irrationaaliarvot, joita kutsutaan tuolloin "kuurojen numeroiksi" , ovat numeroita kuten kokonaislukuja ja rationaaliarvoja, kun taas toiset, kuten Blaise Pascal, pitävät Euclid's Elementsin tarjoamaa kehystä , jossa irrationaaliset eivät ole numeroita. Vuonna Encyclopedia , D'Alembert otetaan huomioon kaksi asentoa ja ottaa puolin ajatus, jonka mukaan irrationals eivät ole numeroita, vaan että niitä voidaan lähestyä heitä tarkkuudella tarkempi kuin haluaa.. Abraham Kästner ehdottaa sitten irrationaalilukujen algebrallisten ominaisuuksien selittämistä rationaalilukujen ominaisuuksilla, joita hän voi laajentaa irrationaalisten järjen tiheyden ansiosta .

Numeeriset lähentämismenetelmät

Isaac Newton kehittää XVII - luvun lopulla algoritmin polynomien juurien numeeriseen laskemiseen, a priori irrationaalisena. Tätä algoritmia, joka tunnetaan siitä lähtien Newtonin menetelmänä , sovitettiin sitten laskemaan ei-polynomifunktioiden nollat .

Tietyssä tapauksessa määrän $π$ , John Machin julkaistu 1706 kaava antaa $π$ käyttämällä arkustangentin toiminto :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

Parannus tämän kaavan mukaan Jurij Vega antaa hänelle vuonna 1789 laskea $π$ , jonka tarkkuus on 126 desimaalin tarkkuudella . Muut kaavat ilmaisemiseen oli näytteillä XVIII nnen vuosisadan mukaan lukien sen selvittäminen Euler Basel ongelman , joka antaa identiteetin, vähän hyötyä käytännön laskennan, joka yhdistää $π$ ja sarjan käänteinen neliöiden kokonaislukuja: $\ pi$

{\ displaystyle \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

Toinen esimerkki identiteetin, liian vähän käyttöä käytännön laskennassa, mikä mahdollistaa digitaalisen tietojenkäsittelyn $π$ on antamat Leibniz kaava , löydettiin Euroopassa XVII th -luvulla, mutta jo tiedossa itsenäisesti Intiassa kaksi vuosisatoja Kerala koulu :

{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi } {4}}}

Muiden matemaattisten vakioiden likiarvot julkaistaan, erityisesti Eulerin vakion $γ$ suhteen : tämä laskee 16 desimaalia vuodesta 1781 käyttämällä Euler-Maclaurin-kaavaa .

Uusien irrationaalisten numeroiden löytäminen

Jatkuva fraktiot (johtuen Cataldi vuonna 1613), läheisesti irrationaaliluvut otetaan huomioon Euler , joka näin osoittaa erityisesti, 1737, irrationaalisuuden $e$ ja $e 2$ .

Lambert osoittaa vuonna 1761, että $π$ ei ole järkevä. Tätä varten hän osoittaa, että minkä tahansa nollasta poikkeavan rationaalisen tangentti ja hyperbolinen tangentti ovat irrationaalisia lähestymällä niitä tiettyjen yleistettyjen jatkuvien murtolukujen tuloksena saatujen perustelujen sekvensseillä . Myöhemmin hän arvelee $π: n$ ja $e:$ n transsendenssin , mutta ei huomaa, että hänen menetelmä tarjoaa todistuksen siitä, että $π$ $2$ on myös irrationaalinen. Tämän havainnon tekee myöhemmin Legendre . Lambert osoittaa myös, että minkä tahansa nollasta poikkeavan rationaalisen eksponentti ja logaritmi (ja logaritmin tapauksessa myös erilainen kuin 1) on irrationaalinen.

Nykyaika

Reaalilukujen tarkka määrittely

Kunnes XIX : nnen vuosisadan olemassaolon ja ominaisuudet irrationaaliluvut on otettu ilman mitään ehdotettua tiukkaa määritelmää. Todellakin - toisin kuin järkevä, se on helppo rakentaa algebraically kokonaisista - käsite todellinen määrä on vielä epäselvä aikaisin jälkipuoliskolla XIX : nnen vuosisadan. Yksi ensimmäisistä yrityksistä tähän suuntaan juontaa työtä Bernard Bolzano ensimmäisellä puoliskolla XIX th luvulla, mutta nämä teokset ovat harvoin esitetty ja tuskin vaikuttaa myöhemmin rakenteita. Karl Weierstrass työskentelee myös reaalilukujen virallistamiseksi rationaalisuusrajoiksi, mutta hän ei julkaise mitään tästä aiheesta, ja tämä osa hänen työstään tunnetaan vain muistiinpanoista, jotka hänen oppilaansa Adolf Hurwitz on suorittanut kursseillaan; muistiinpanoja, jotka julkaistiin vasta 1880-luvulla.

1870-luvulla esitettiin kahdenlaisia tarkkoja reaalilukuja :

Méray , sitten Cantor ja hänen jälkeensä Heine , perustavat rakenteensa perustelujen sekvenssien analyyttisiin ominaisuuksiin ; todelliset luvut ovat ekvivalenssiluokkien Cauchyn sekvenssit järkevä määrä , jonka vastaavuus suhteessa siten, että kaksi sekvenssiä ovat suhteessa, jos ja vain jos niiden ero pyrkii kohti $0$ . Tämä lähestymistapa intuitiivisesti merkitsee määritellään realin kuin rajat rationaalisten Cauchyn jono. Meillä on siis rakentaa kuin täydellinen tila ; $\ mathbb {R}$
Dedekindin n lähestymistapa , päämäärät Nahkateollisuuden ja Kronecker , perustuu myös joukko-oppi . Todellisuus määritellään siellä Dedekindin leikkauksena , joka vastaa intuitiivisesti perusteluja, jotka aliarvioivat sen tiukasti: √ 2 vastaa siis negatiivisten tai alle 2: n neliösarjaa.

Nämä kaksi lähestymistapaa ovat samanarvoisia.

Tutkimus tietyistä irrationaalisten osajoukoista

Useat osajoukot yksilöiden irrationaaliluvut tutkitaan aikana XIX : nnen ja XX th vuosisatoja. Hänet tunnettiin jo antiikin että jotkut irrationaaliluvut kuten √ 2 ovat buildable , mutta vasta XIX : nnen vuosisadan Wantzel luonnehtii kaikkia koottavan numeroita, mikä on pienin elin vakaa neliöjuuren astiaan . Tämä tekee mahdolliseksi osoittaa, että antiikin ongelmat sekä kolmijako kulman ja päällekkäisyyttä kuution ovat mahdottomia avulla hallitsija ja kompassin yksin . $\ mathbb {Q}$

Samana ajanjaksona tutkitaan myös transsendenttilukuja , joista ensimmäiset esimerkit on esitetty Liouvillessa vuonna 1844. Hermite osoittaa vuonna 1873 $e:$ n transsendenssin ja vuonna 1882 Lindemann osoittaa $π: n$ . Tämä viimeinen tulos antaa mahdollisuuden vastata kielteisesti ympyrän neliöittämiseen , joka oli ollut avoinna Kreikan antiikin ajoista lähtien . Transsendenttiluvut ovat myös Hilbertin seitsemännen ongelman aihe , jossa kysytään, onko luku $a b$ transsendenttinen heti, kun $a$ on algebrallinen ja erilainen kuin $0$ tai $1$ ja $b$ on algebrallinen ja irrationaalinen. Kyllä, vastauksen antaa vuonna 1934 Gelfond-Schneider-lause .

XX : nnen vuosisadan näkee myös tutkimuksen maailmankaikkeuden numeroita , jotka sisältävät kaikki mahdolliset sekvenssit numerot niiden desimaalikehitelmästä sekä luonnolliset luvut , jotka ovat erityisen maailmankaikkeuden numeroita desimaalikehitelmästä jossa kaikki numerosarjoja tietyn pituuden ovat yhtä todennäköisesti . Vaikka Borel osoitti vuonna 1909, että melkein kaikki irrationaaliset luvut ovat normaaleja missä tahansa perustassa, muutamia normaalilukuja tunnetaan. Niistä, joiden normaalisuus on vahvistettu ainakin perustasolle 10 , voidaan mainita Champernownen (joka on jopa transsendenttinen) tai Copeland-Erdősin vakio . Lisäksi arvellaan, että luvut √ 2 (ja jopa kaikki irrationaaliset algebralliset numerot), $π$ ja $e$ ovat normaaleja, mutta vaikka tämä näyttää olevan totta kokeellisesti, sitä ei voitu osoittaa mihinkään näistä esimerkeistä.

Teoreettisen tietojenkäsittelytieteen kehitys 1930-luvulla on samalla johtanut laskettavien lukujen tutkimiseen , toisin sanoen johon on olemassa Turingin kone, joka kykenee laskemaan desimaalit ja kvantifioimaan likiarvon virheen. Laskettavien reaalien joukko sisältää jaksojen algebran , siten kaikki algebralliset luvut ja $π$ , ja se on stabiili eksponentin suhteen . Erityisesti kaikki ei-laskettavissa olevat luvut ovat transsendenttisia ja vielä enemmän irrationaalisia. Vaikka ei-laskettavissa olevien reaalien joukko on koodiluku , tiedämme muutamia siihen kuuluvia lukuja. Näistä löytyy esimerkiksi mikä tahansa Specker-sekvenssin raja , jonka määritelmä liittyy stop-ongelmaan .

Tietojenkäsittelytiede ja numeerinen laskenta

Ennen 1940- luvun lopun tietokonebuumia oli erittäin työlästä laskea yli muutama sata desimaalia tietystä irrationaalisesta luvusta. Esimerkiksi vuonna 1940 $tiedettiin$ vain 527 tarkkaa desimaalipistettä William Shanksin vuonna 1873 julkaistun työn ansiosta . Vuonna 1949 ENIAC- tietokone antoi 2037 70 tunnissa Machinin kaavaa käyttäen.

Kehitetään yleisiä algoritmeja, kuten nopea Fourier-muunnos, joka nopeuttaa kertolaskujen laskemista . Samanaikaisesti tietokoneiden laskentateho kasvaa eksponentiaalisesti . Niinpä vuonna 1978 $e-tunnukset olivat jo$ 116 000 desimaalia ja vuonna 2000 $laskettiin$ yli 10 12 desimaalipistettä $π$ ja yli miljoona desimaalipistettä Eulerin vakion $γ$ .

Erityiset algoritmit on suunniteltu myös erityisesti tiettyjen lukujen laskemiseen. $Π:$ n tapauksessa ensimmäiset Machinin kaavaa lähellä olevia kaavoja käyttävät algoritmit hylätään muiden tehokkaampien kaavojen hyväksi, kuten Ramanujanin vuonna 1914 saamien kaavojen hyväksi :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}

Ensimmäiset irrationaalilukujen likiarvojen laskelmat antoivat kaikki ensimmäisen desimaaliluvut ylempään tai alempaan rajaan saakka, mutta annettua desimaalia ei voitu laskea tietämättä sitä edeltäviä lukuja. Vuonna 1995 matemaatikot Simon Plouffe , David H. Bailey ja Peter Borwein löysivät BBP-kaavan , jonka avulla voidaan laskea mikä tahansa määrä $π$ : n laajenemista perustassa 16 tarvitsematta määrittää edellisiä. Ennen löytää tämän kaavan, he olivat jo todennut, että on mahdollista laskea erikseen mitään numeron binary laajentamiseen n logaritmin ja $2$ ansiosta tasa:

{\ displaystyle \ ln 2 = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n2 ^ {n}}}}

Irrationaalilukujen ominaisuudet

Desimaalilaajennus

Irationaalien luonnehdinta voidaan suorittaa niiden desimaalilaajennuksella seuraavan lauseen ansiosta, joka on esitetty yksityiskohtaisessa artikkelissa:

Lause - Reaaliluku on irrationaalinen vain ja vain, jos sen oikea desimaalilaajennus ei ole jaksollinen.

Vastaava karakterisointi osoitetaan myös laajentamalla mitä tahansa emästä (kokonaisluku ja suurempi tai yhtä suuri kuin 2).

Siksi rationaaliluvun kehityksen laskeminen on helppoa, koska sen laskemiseksi on vain rajoitettu määrä numeroita sen karakterisoimiseksi, kun taas irrationaalilukujen laajenemisen laskeminen edellyttää yleensä tekniikan matematiikan toteuttamista, mikä on edistyneempää kuin haluttu tarkkuus on korkea ( katso yllä ).

Jatkuva murtolaajennus

Jatkuvien murtolukujen avulla voidaan muun muassa luonnehtia irrationaalisuutta, tunnistaa tietyntyyppiset irrationaaliset ja tarjota järkevyydellä hyvät likiarvot.

Irrationaalisuuden karakterisointi käyttämällä jatkuvaa fraktiolaajennusta

Minkä tahansa reaaliluvun osalta sen kehityksen äärellinen tai ääretön luonne jatkuvassa murtoluvussa voidaan liittää sen rationaaliseen tai irrationaaliseen luonteeseen. Tarkemmin : $x$

Lause -

Mikä tahansa järkevä luku voidaan esittää äärellisellä yksinkertaisella jatkuvalla murtoluvulla .
Mikä tahansa ääretön yksinkertainen jatkuva murtuma yhtyy irrationaaliseen lukuun, ja mikä tahansa irrationaalinen luku voidaan yksiselitteisesti edustaa ääretön yksinkertainen jatkuva murtoluku.

Toissijaisten irrationaalisten tapaus

Irrationaalisen sanotaan olevan neliöllinen, jos se on neliöyhtälön ratkaisu kokonaislukukertoimilla.

Lagrangen lause - irrationaalinen on neliöllinen vain ja vain, jos sen jatkuva murtolaajennus on jaksoittaista.

Soveltaminen irrationaalisten lähentämiseen

Sekvenssi on vähennykset laajennuksen jatkuvaan osa irrationaaliseksi suppenee kohti "nopeasti": vähennyksen laajentamisen tarkastaa . $x$ $x$ $p / q$ ${\ displaystyle \ left | xp / q \ right | <1 / q ^ {2}}$

Esimerkiksi $π:$ n jatkuvan fraktiolaajennuksen alku on [3, 7, 15, 1, 292,…]. Tästä alusta kehitystä, löydämme kuin lähentämisestä $π$ : n virheellä alle , toisin sanoen, että meillä on vähintään 9 tarkka desimaalin tarkkuudella. ${\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {103 \; 993} {33 \; 102}} \ noin 3 {,} 14159265301}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {33 \; 102 ^ {2}}} <10 ^ {- 9}}$

On mahdollista verrata tarkkuutta, joka saadaan lähestymällä irrationaalista sen laajenemisen ensimmäisillä termeillä jatkuvassa murtoluvussa tai sen desimaalilaajennuksen ensimmäisillä numeroilla. Itse asiassa melkein kaikesta irrationaalisesta , Lochsin lause väittää, että jatkuvan murto-osuuden ensimmäiset kokonaisluvut antavat asymptoottisesti tarkat desimaalit. $x$ $m$ $x$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6 \ ln 2 \ ln 10}} m \ noin 1 {,} 03064083m}$

Irrationaalisuus

Irationaalisten luonnehdinta

Rationaalilukujen joukko on tiheä reaalilukujen joukossa. Näin ollen, mitään todellista , rationaalinen, tai irrationaaliluku, on olemassa sekvenssi rationaalilukuja joka suppenee on . Kaikki realit eivät kuitenkaan ole yhtä helposti saatavilla kuin toiset. Voimme siten määritellä minkä tahansa todellisuuden irrationaalisuuden mittarin . Tämä on reaalilukujoukon $μ$ yläraja , jolle on olemassa ääretön kokonaislukuparien kuten ja . Karkeasti tämä tarkoittaa sitä, että jos todellisella on irrationaalisuusmitta suurempi kuin todellisen , on yhtäläisellä nimittäjällä mahdollista lähestyä hienommin kuin järkevällä luvulla. $x$ $x$ $x$ $(p, q)$ ${\ displaystyle q> 0}$ ${\ displaystyle 0 <\ left | xp / q \ right | <1 / q ^ {\ mu}}$ $x$ $x '$ $x$ $x '$

Seuraava lause antaa mahdollisuuden erottaa rationaalinen irrationaalisesta niiden irrationaalisuusmittauksella:

Lause -

Minkä tahansa rationaaliluvun irrationaalisuuden mitta on yhtä suuri kuin 1.
Minkä tahansa irrationaalisen luvun irrationaalisuusmitta on suurempi tai yhtä suuri kuin 2.

Voimme vahvistaa lauseen toista kohtaa: jos reaali on irrationaalinen, taataan lukemattomien kokonaislukuparien, kuten ja, olemassaolo paitsi kaikelle myös edes . Tämä voidaan päätellä esimerkiksi irrationaalisen lähentämisestä sen jatkuvan fraktion äärettömällä reduktiosekvenssillä ( katso yllä ) tai Dirichletin approksimaatiolauseesta . $x$ $(p, q)$ $q> 0$ ${\ displaystyle \ vasen | xp / q \ oikea | <1 / q ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ mu <2}$ ${\ displaystyle \ mu = 2}$

Näitä lauseita käytetään perustana erilaisille tuloksille, joiden avulla voidaan osoittaa tietyissä olettamuksissa sellaisen sarjan summan irrationaalisuus, jonka yleinen termi on järkevä ja joka yhtyy riittävän nopeasti .

Irrationaalisuuden mittarin erityiset arvot

Minkä tahansa irrationaalisen mitta on suurempi tai yhtä suuri kuin 2; se on jopa täsmälleen 2 melkein kaikelle todelliselle. Se ei kuitenkaan ole aina helppoa laskea tarkasti. Joskus tiedetään tai ainakin arvioidaan: $x$ $\ mu (x)$

tahansa irrationaalinen algebrallinen numero , on rajallinen mukaan on Liouvillen lause , ja jopa yhtä kuin mukaisesti Roth lause ; $\ alfa$ ${\ displaystyle \ mu (\ alfa)}$ $2$
Liouville numerot , mittaus, ääretön määritelmän, ovat ensimmäinen transsendenttiluku on esillä ;
${\ displaystyle \ mu (\ mathrm {e}) = 2}$ ;
${\ displaystyle 2 \ leq \ mu (\ pi) <7 {,} 61}$ ;
${\ displaystyle 2 \ leq \ mu \ vasen (\ zeta (3) \ oikea) <5 {,} 52}$ , jossa Apéryn vakio ( ks. alla ). $\ zeta (3)$
${\ displaystyle \ mu \ vasen (C_ {10} \ oikea) = 10}$ missä merkitsee Champernowne-vakiota ( katso alla ). $C _ {{10}}$

Esimerkkejä sovelluksista

Toimenpide irrationaalisuuden voidaan käyttää osoittamaan irrationaalisuuteen tietyt numerot, kuten esimerkiksi apery vakio ( katso alla ) tai summa on sarja on käänteisesti verrannollisia Fibonacci numerot ( katso alla );
Hyödyntämällä tosiasiaa, joka on irrationaalista ( katso alla ) ja jonka irrationaalisuusmitta on sen vuoksi suurempi kuin 2, voimme osoittaa, että sarjan yleinen termi ei taipu kohti 0: ta ja siksi se eroaa . ${\ displaystyle \ textstyle {\ pi}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N ^ {*}}} {\ frac {1} {n ^ {2} \ sin ^ {2} n}}}$

Samanaikaiset likiarvot

Minkä tahansa irrationaalisen luvun irrationaalisuusmitta on suurempi tai yhtä suuri kuin 2 ( katso yllä ). Siksi, jos annamme itsellemme luvun ja irrationaalisen luvun , on mahdollista löytää kokonaisluku siten, että tulo on etäisyydellä pienempi kuin kokonaisluku. $\ varepsilon> 0$ $\ xi$ $q$ ${\ displaystyle q \ xi}$ $\ varepsilon$

Voimme itse asiassa löytää sellaisen kokonaisluvun, vaikka annamme itsellemme mielivaltaisen määrän mielivaltaisia irrationaalisia lähestyäksemme kokonaislukua mielivaltaisesti pienellä virheellä: $q$ $ei$ ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ pisteet, \ xi _ {n}}$

Dirichletin likiarvolause - Jokoirrationaaliluvut ja joko. On olemassa kokonaislukusiten, että kaikki tuotteeteroavat enintään kokonaisluvusta. ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ pisteet, \ xi _ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $q$ ${\ displaystyle q \ xi _ {1}, \ pisteet, q \ xi _ {n}}$ $\ varepsilon$

On mahdollista, tietyin rajoituksin, laajentaa tämä tulos minkä tahansa luvun likiarvoon:

Kroneckerin lause - Antaa ollamikä tahansa luku ja annaja. Let- lineaarisesti riippumattomat irrationaaliluvut. Tällöin on olemassa kokonaislukusiten, että kaikilla,eroaa kokonaisluku, joka on eniten. ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ pisteet, \ alpha _ {k}}$ $\ varepsilon> 0$ ${\ displaystyle N \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ pisteet, \ theta _ {k}}$ ${\ displaystyle n> N}$ ${\ displaystyle m \ sisällä \ {1 \ pistettä, k \}}$ ${\ displaystyle | n \ theta _ {m} - \ alfa _ {m} |}$ $\ varepsilon$

Irrationaalisten joukon ominaisuudet

Aidan ominaisuudet

ℚ Koko on rakenne on kommutatiivinen , näin voidaan päätellä yleisiä tuloksia järjettömyyden summat ja tuotteiden mukana perusteltua ja irrationaalinen. Joukko irrationals täyttää, esimerkiksi seuraavat sulkeminen ominaisuus : jos neliö (tai yleisemmin katsottuna kokonaisluku teho ) todellinen on irrationaalinen, niin tämä todellinen itse ole järkevää (jota contraposition että ehdotus, jonka mukaan mitään rationaalituote on rationaalinen). Tämän avulla, kun tiedetään irrationaalinen numero, voidaan rakentaa muiden ääretön määrä.

Voimme myös, tietäen, että mistään irrationaalinen ja kaiken järkevän numero , numerot ja ovat irrationaalisia, tekevät lineaarinen projektiiviselle ryhmän teko (tai ): $\ alfa$ ${\ displaystyle r \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ alpha + r}$ ${\ displaystyle {\ frac {r} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {PGL} (2, \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {PGL} (2, \ mathbb {Z})}$

Lause - Antaa olla irrationaaliluku. Joten kaikille järkeville ihmisille , kuten todellinen, on järjetöntä. $\ alfa$ ${\ displaystyle a, b, c, d}$ $ad-bc \ ne0$ ${\ displaystyle {\ frac {a \ alpha + b} {c \ alpha + d}}}$

Esimerkiksi :

koska se on irrationaalista ( katso alla ), ja niin ovat myös kultainen suhde; ${\ sqrt 5}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {5}}}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$
tahansa kulma siten, että on irrationaalinen, numerot , ja ovat irrationaalisia, mukaan trigonometriset identiteetit . $\ theta$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ theta)}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ $\ sin \ theta$ ${\ displaystyle \ tan \ theta}$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1 = 1-2 \ sin ^ {2} \ theta = {\ frac {1- \ tan ^ {2} \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}$

Toisaalta kahden irrationaalisen summa ja tulo voivat olla järkeviä: esimerkiksi ja . ${\ displaystyle - {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5}} = 0}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {5}} \ kertaa {\ sqrt {5}} = - 5}$

Irrationaalinen (ehdottomasti positiivinen), joka nostetaan irrationaaliseksi voimaksi, voi olla rationaalinen tai irrationaalinen, jopa transsendenttinen. Seuraavan alaluvun mukaan meillä on jopa: missä tahansa muussa todellisessa $x > 0: ssa$ kuin $1$ , $x y$ on transsendenttinen "melkein kaikille" reaaleille $y$ (kaikki lukuun ottamatta laskettavaa joukkoa), erityisesti "melkein kaikille" irrationaalisille $y: lle$ .

Kardinaali

Joukko ℝ \ ℚ on irrationals on voima jatkumon , eli se on bijektio kanssa ℝ, kuten jokin seuraavista kolme argumenttia todistaa sen, halutulla:

ℝ on lukemattomia (ja jopa ekvipotentti , että joukko osia on ℕ), kun taas ℚ on laskettavissa ;
transsendenttisista reaaleista koostuvalla set \ ℚ-osajoukolla on jo jatkumon voima, koska algebrallisten reaalien joukko on edelleen laskettavissa ;
laajentamiseen jatkuva osa irrationaalinen saannot bijektio välillä ℝ \ ℚ ja joukko ℕ ℕ kaikki sekvenssit positiivisia kokonaislukuja .

Osat ℚ ja ℝ \ ℚ ovat molemmat tiheitä tilaukselle vuonna ℝ ja varsinkin tiheä varten tavallista topologia ℝ . Kaikkien reals , on olemassa isomorfismi tilausten välillä ℚ ja ℚ (tämä on erityistapaus Cantor lauseen , välitön jos ja ovat järkeviä). Vuoteen kanoninen laajennus , tämä osoittaa, että joukko irrationals of on - siinä mielessä järjestyksen ja sitä suuremmalla syyllä , että topologinen merkityksessä - tiheä ja isomorfinen ℝ \ ℚ. $a <b$ ${\ displaystyle ~ \ cap ~] a, b [}$ $klo$ $b$ ${\ displaystyle] a, b [}$ ${\ displaystyle] a, b [}$

Kun ℝ on kytketty , irrationaalinen alatila on täysin epäjatkuva (koska se ei sisällä ei-triviaalia aikaväliä ).

In ℝ, irrationals muodostavat G δ (eli numeroituva risteyksessä aukkoja ), mutta ei F σ (eli numeroituva on suljettu ). Toisin sanoen: Funktion epäjatkuvuuspisteiden reaaliarvo voi olla yhtä suuri kuin ℚ mutta ei ℝ \ ℚ.

Vaikka metrinen tila ℝ on täydellinen , irrationaalinen alatila ei ole ( koska se ei ole suljettu ℝ: ssä). Edellä mainitun bijectionin mukaan tämä topologinen tila on kuitenkin homeomorfinen koko metriseen avaruuteen , jota kutsutaan Baire-avaruudeksi . Tämä osoittaa, että Bairen lause soveltuu myös irrationaalisten lukujen avaruuteen. ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$

Esimerkkejä irrationaalisista numeroista ja todisteet irrationaalisuudesta

Todista, että todellinen on irrationaalinen on todistaa, ettei pari kokonaislukuja niin, että kuitenkin tuloksena ei ole olemassa tietyn tapaus on yleensä paljon vaikeampi luoda kuin seurausta olemassaolon. Joten vaikka on mahdollista osoittaa, että todellista ei voida kirjoittaa muodossa, jossa ja ovat pienempiä kuin tietty vakio , se ei riitä todistamaan sen irrationaalisuutta. Esimerkiksi tiedämme, että jos Euler-Mascheronin vakio on järkevä, se voi olla vain murto-osa, jonka nimittäjässä on vähintään 242 080 numeroa, mutta vaikka tämä johtaisi oletettavasti sen irrationaalisuuteen, se ei ole todiste. On kuitenkin olemassa useita esittelytekniikoita, jotka ovat mahdollistaneet ratkaisun tiettyjen erityistapausten irrationaalisuudesta. $x$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {p} {q}}}$ $x$ ${\ displaystyle x = {\ frac {p} {q}}}$ $s$ $q$ $VS$

Selkeästi algebrallisten numeroiden irrationaalisuus

Alustava esimerkki

Luku √ 2 on osoittautunut ensimmäiseksi irrationaaliseksi. Tämä voidaan tosiasiallisesti saada perustason pariteettien perusteella :

Perusnäyttö √ 2: n irrationaalisuudesta

Me syystä kautta järjetön . Oletetaan, että tämä on rationaaliluku, silloin niiden välillä on kaksi kokonaislukua ja alkuluku , joka vastaa sen sanomista . Kokonaisluku on siis tasainen ja siten tasainen, mikä kirjoitetaan missä on kokonaisluku. Mutta sitten kuten , se seuraa sitä ja siksi ja on tasaista. $\ sqrt2$ $klo$ $b$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle 2b ^ {2} = a ^ {2}}$ $a ^ 2$ $klo$ $a = 2k$ $k$ ${\ displaystyle 2b ^ {2} = a ^ {2}}$ ${\ displaystyle b ^ {2} = 2k ^ {2}}$ $b ^ 2$ $b$

$klo$ ja ovat siten molemmat tasaisia eivätkä siksi ole ensisijaisia toisilleen. Siksi päädyimme ristiriitaan olettaen, että se oli järkevää. Siksi se on irrationaalinen luku. $b$ $\ sqrt2$

Kokonaiskertoimilla varustettujen polynomien ominaisuus

Kun algebrallinen numero on irrationaalinen, seuraava lause auttaa usein vahvistamaan sen:

Lause - Jos järkevä (laitettu pelkistämättömään muotoon ) on ratkaisu polynomikaavaan kokonaislukukertoimilla

{\ displaystyle x = {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle c_ {n} x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ pistettä + c_ {1} x + c_ {0} = 0}

,sitten jaa ja jaa .

klo

c_ {0}

b

c_ {n}

Siksi on vain rajallinen määrä mahdollisia arvoja, joita voimme kokeilla käsin . Jos mikään näistä syistä ei ole ratkaisu, mikä tahansa ratkaisu on irrationaalinen. Esimerkkejä

Polynomin , jonka juuri on kultainen suhde , äärimmäiset kertoimet ovat ja jotka ovat vain jaettavissa . Koska ja eivät ole polynomin juuret, me siis löytää ( katso edellä ), ei ole edes ratkaista toisen asteen yhtälö , joka on irrationaalinen. ${\ displaystyle X ^ {2} -X-1}$ $\ varphi$ $1$ $-1$ $\ pm 1$ $1$ $-1$ $\ varphi$
Polynomin todellinen juuri on ehdottomasti positiivinen eikä se ole osa joukkoa ( koska P (3/4) <0 < P (1) ); se on siksi järjetöntä. ${\ displaystyle P (X) = 4X ^ {5} + X-3}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}, 1, {\ frac {3} {2 }}, 3 \ oikea \}}$
Luku on polynomin juuri, jonka juurta ei ole järkeä. Sen vuoksi on algebrallinen aste 3, niin irrationaalinen ja jopa ei-rakennus (siten, että mikä tahansa kokonaisluku suhteellinen , , ja ei rakennuksen). ${\ displaystyle \ cos \ vasen (\ pi / 9 \ oikea)}$ ${\ displaystyle 8X ^ {3} -6X-1}$ $ei$ ${\ displaystyle \ cos \ vasen (2 ^ {n} \ pi / 9 \ oikea)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (2 ^ {n} \ pi / 9 \ oikea)}$ ${\ displaystyle \ tan \ vasen (2 ^ {n} \ pi / 9 \ oikea)}$

Jos edellä olevassa lauseessa on enemmän , niin siis (kokonaisluku). Toisin sanoen: mikä tahansa ei-kokonaislukuinen algebrallinen kokonaisluku on irrationaalinen. Erityisesti saamme siis yleistyksen Gaussin lemman todisteesta √ 2 : n irrationaalisuudesta : $c_n = 1$ $b = 1$ $x = a$

Seuraus - n- nnen juuren kokonaisluvun N > 0 on irrationaalinen, ellei N on n- nnen teho on kokonaisluku.

Kultainen suhde: toinen todiste

Mikä tahansa ääretön yksinkertainen jatkuva murtoluku edustaa irrationaalista, ja jos tämä jatkuva murtoluku on jaksollinen, irrationaalinen on neliöllinen ( katso yllä ).

Yksinkertaisin jatkuva osa on kultainen suhde , joka saadaan suoraan yhtälöstä : ${\ displaystyle \ varphi = 1 + {\ frac {1} {\ varphi}}}$

{\ displaystyle \ varphi = 1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ \ cdots}}}}}

Täten löydämme jälleen, että algebrallinen luku on irrationaalinen. $\ varphi$

Trigonometriset toiminnot

Lause - Jos asteinen kulma on järkevä eikä ole 30 °: n eikä 45 °: n kerroin , niin sen kosini , sini ja tangentti ovat irrationaalisia.

Se on seuraus laskenta asteen algebrallinen luku $cos ( r π)$ , $sin ( r π)$ ja $tan ( r π)$ ja järkevä $r$ , mutta se voidaan myös osoittaa esittämällä sanaton todiste käyttäen ääretön laskeutuminen menetelmän vuonna kaksiulotteinen verkkoon .

Numeroiden irrationaalisuus määritetään niiden desimaalilaajennuksella

Tietokannan kehityksen jaksottaisuus

Mikä tahansa järkevyys, jolla on määräajoin kehitystä missä tahansa tukikohdassa, riittää osoittamaan, että todellinen on irrationaalinen, osoittaa, että tietyssä perustassa sen kehitys ei ole jaksoittaista. Tämä voidaan joskus tehdä suoraan kuten seuraavan lauseen tapauksessa: $x$

Lause - vakio alkulukuja , on binary laajentamiseen , on irrationaalinen. ${\ displaystyle 0 {,} 0110101000 \ pisteet}$

Tämä lause voidaan osoittaa absurdilla, olettaen jaksottainen peräkkäisten alkulukujen erojen järjestys saamalla sitten ristiriita.

Toinen esimerkki on seuraava lause:

Lause - Prouhet-Thue-Morse vakio , jonka binaarinen laajeneminen on Prouhet-Thue-Morse-sekvenssi , on irrationaalinen. ${\ displaystyle \ tau = 0,412 ~ 454 ~ 033 ~ 640 \ ldots}$ ${\ displaystyle t = 0 ~ 1 ~ 10 ~ 1001 ~ 10010110 ~ 1001011001101001 ...}$

Voimme todellakin osoittaa, että Prouhet-Thue-Morse-sekvenssi on kuutio, toisin sanoen mikään lohko ei toistu kolme kertaa peräkkäin: sitäkin enemmän sen binäärinen kehitys on jaksoton ja siksi irrationaalinen. $\ tau$

Mielivaltaisen pituisten nollasekvenssien etsiminen laajennuksessa

Käytännössä ei-jaksollisuutta voidaan saada toteamalla mielivaltaisen pituisten äärellisten merkkijonojen olemassaolo . Itse asiassa, jos luku on jaksollinen, se ei voi sisältää jaksojen pituutta pitempiä nollasekvenssejä, ellei sillä ole rajallista desimaalilaajennusta. ${\ displaystyle 0}$

Perushakemuksen tarjoaa seuraava tulos:

Lause - vakio Champernowne on irrationaalinen. ${\ displaystyle 0 {,} 1234567891011 \ pisteet}$

Itse asiassa sen peruslaajennus ei ole jaksottaista, koska se sisältää muodon kokonaisluvut mielivaltaisesti suurille ja siten mielivaltaisesti pitkien äärellisten sekvensseille . Tämä luku on itse asiassa jopa normaali ja ylittävä. $10$ ${\ displaystyle 10 ^ {k} +1}$ $k$ ${\ displaystyle 0}$

Vähemmän triviaali esimerkki on seuraava:

Lause - Copeland-Erdős vakio on irrationaalinen. ${\ displaystyle 0 {,} 2357111317 \ pisteet}$

Copeland-Erdős-vakio määritetään missä on k- s alkuluku ja missä on sen desimaalilogaritmin kokonaislukuosa . Toisin sanoen Copeland-Erdős-vakion desimaalilaajennus on alkulukujen elementtien ketjutus. ${\ displaystyle C = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n} 10 ^ {- \ vasen (n + \ summa _ {k = 1} ^ {n} E (\ log _ {10 } {p_ {k}}) \ oikea)}}$ $p_ {k}$ ${\ displaystyle E (\ log _ {10} {p_ {k}})}$

Näytämme irrationaalisuuden esittämällä mielivaltaisesti pitkiä nollasekvenssejä. $VS$

Esittely

Tahansa luonnollinen luku mukaan lause aritmeettinen etenemisen , aritmeettinen sekvenssi sisältää ääretön alkuluvut, siis ainakin yksi. Siksi on olemassa ainakin yksi alkuluku, jonka kymmeneen peruskirjaan kirjoitetaan vähintään nollien peräkkäin , kehystettynä kahdella muulla numerolla kuin (toinen olento ). Desimaalilaajennus sisältää siten rajalliset, mutta mielivaltaisesti pitkät nollasekvenssit, mikä osoittaa, että se ei ole jaksollinen, joten se ei ole järkevää. $s$ ${\ displaystyle \ vasen (k.10 ^ {s + 1} +1 \ oikea) _ {k \ sisään \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $s$ ${\ displaystyle 0}$ $1$ $VS$ $VS$

Rationaalisuus voidaan päätellä myös yleisemmästä, mutta vaikeampaa todistaa -tuotteesta, jonka mukaan Copeland-Erdős-vakio on normaali luku perustassa 10 yhdistettynä seuraavaan perusominaisuuteen: $VS$

Ominaisuus - Mikä tahansa normaali luku ainakin yhdessä emäksessä on irrationaalinen.

Sarjan määrät

Järjettömyyden

E

Lause - Luku $e$ on irrationaalinen.

Fourier- redémontre tämä tulos Euler käyttämällä tehosarjalaajennusta on eksponenttifunktion arvioitiin : . $1$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n!}}}$

Tämän avulla hän voi osoittaa, että minkä tahansa kokonaisluvun $b > 0$ kohdalla luku $b ! e$ on nollasta murto-osa siis ei ole kokonaisluku, ja siksi $e$ ei ole järkevää.

Yleisemmin :

sama menetelmä tekee mahdolliseksi todistaa, että minkä tahansa kokonaisluvun $x > 0$ (ja siten myös minkä tahansa järkevän $x \neq 0: n$ ) kohdalla $e x$ on irrationaalinen;
minkä tahansa rajoitetun kokonaislukujakson todelliset luvut ja ovat järkeviä vain, jos sekvenssi on paikallaan 0: ssa. $(b_ {n}) _ {{n \ sisään \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {n \ geq 0} {\ frac {b_ {n}} {n!}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {n \ geq 0} {\ frac {b_ {n} 2 ^ {n}} {n!}}}$ $(b_ {n}) _ {{n \ sisään \ mathbb {N}}}$

Apéryn vakion irrationaalisuus

Se on mahdollista ( ks edellä ) osoittaa irrationaalisuuteen todellisen $x$ mukaan, jolla on sekvenssi sovitusmenetelmät suppenevat $x$ "riittävän nopeasti", toisin sanoen siten, että tietyn $μ$ $> 1$ , meillä on kaikki $n$ . On ansiosta tällainen tekniikka, joka Roger apery osoitti vuonna 1978 seuraavan tuloksen, on kuvan 3 mukaan Riemannin toiminto $ζ$ : ${\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}} \ neq x}$ ${\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}} \ right | <{\ frac {1} {q_ {n} ^ {\ mu}}}}$

Lause - vakio apery on irrationaalinen. ${\ displaystyle \ zeta (3) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {3}}} \ noin 1,202}$

Kaksinkertainen eksponentiaalinen kasvusarja

Kaksinkertaisen eksponentiaalisen kasvun omaavien sekvenssien tapauksessa meillä on seuraava lause:

Lause - Antaa ja olla kahden sekvenssin positiivisia kokonaislukuja siten, että yli tietyn listalla meillä epäyhtälö kaikille . Jos sarja lähentyy kohti järkevää lukua, niin meillä on kaikki tietyn tason ulkopuolella : laaja epätasa-arvo on itse asiassa tasa-arvo. ${\ displaystyle (a_ {k}) _ {k \ sisään \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (b_ {k}) _ {k \ sisään \ mathbb {N}}}$ $ei$ ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}} a_ {n} ^ {2} - {\ frac {b_ {n + 1}} { b_ {n}}} a_ {n} +1}$ ${\ displaystyle \ summa _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}}}$ $ei$ ${\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}} a_ {n} ^ {2} - {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}} a_ {n} +1}$

Kun otetaan huomioon vakiosekvenssi, joka on yhtä suuri kuin 1, tämän lauseen ristiriitainen mahdollistaa todistaa Mersennen kaksinkertaisten lukujen käänteiden summan irrationaalisuuden, mutta ei löytää Fermat-numeroiden käänteissarjojen irrationaalisuutta, ja niin hyvä, että sen yleinen termi kasvaa kaksinkertaisena eksponentiaalisena; tämä luku on kuitenkin varsin irrationaalinen ( katso alla ) ja jopa ylittävä , mikä osoitettiin vuonna 1967. ${\ displaystyle (b_ {k}) _ {k \ sisään \ mathbb {N}}}$

Muut sarjat

Erdős-Borwein vakio , saadaan summana sarjan käänteisesti verrannollisia ja Mersenne numeroita , ja summa sarjan käänteisesti verrannollisia Fermat'n numerot ovat irrationaalisia. Itse asiassa mielivaltaisesti pitkät nollasekvenssit on osoitettu niiden laajenemisessa emäksessä 2 . Tähän käytetty perustelu on kuitenkin paljon teknisempi kuin edellisissä esimerkeissä. ${\ displaystyle \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} -1}} \ noin 1606695}$ ${\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {n}} + 1}} \ noin 0 {,} 596}$
Apéryn menetelmän innoittamana ( katso yllä ) André-Jeannin osoitti vuonna 1989, että Fibonacci-lukujen (in) käänteiden summa on irrationaalinen.

Muita esimerkkejä

Π: n

irrationaalisuus

Lause - Luku $π$ on irrationaalinen.

Ivan Niven redémontre ristiriita , että tulos Lambert , olettaen kanssa ja kokonaislukuja ja rakentamisessa, tämän hypoteesin, ilmaisu, joka on yhtä suuri kuin kokonaisluku samalla tarkasti välillä 0 ja 1, joka on järjetöntä. Oletus, että tämä on järkevää, johtaa siis ristiriitaan ja on siksi järjetöntä. ${\ displaystyle \ pi = {\ frac {a} {b}}}$ $klo$ $b$ $\ pi$ $\ pi$

Vastaava todiste

π

2:

n irrationaalisuudesta

Hardy ja Wright osoittavat Nivenin menetelmällä $π 2:$ n irrationaalisuuden $seuraavasti$ , mikä tarkoittaa $π: n$ ( katso yllä ).

Harkitse minkä tahansa luonnollisen kokonaisluvun kohdalla polynomifunktiota , jonka määrittää . Sen johdannaiset järjestykseen saakka ottavat kokonaisluvun (ja siten myös symmetrisesti) ja seuraava johdannainen on nolla. $ei$ $f_n$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {x ^ {n} (1-x) ^ {n}} {n!}}}$ $2n$ ${\ displaystyle 0}$ $1$

Oletetaan, että kanssa ja tarkasti positiivisia kokonaislukuja ja asettaa . Yllä olevasta ja ovat kokonaislukuja. ${\ displaystyle \ pi ^ {2} = {\ frac {a} {b}}}$ $klo$ $b$ ${\ displaystyle G_ {n} (x) = \ summa _ {k \ sisään \ mathbb {N}} (- b) ^ {k} a ^ {nk} f_ {n} ^ {(2k)} (x) }$ ${\ displaystyle G_ {n} (0)}$ ${\ displaystyle G_ {n} (1)}$

Lisäksi ( teleskoopilla ) ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vasen (G_ {n} '(x) \ sin (\ pi x) - \ pi G_ {n} (x) \ cos (\ pi x) \ oikea) = \ vasen (G_ {n} '' (x) + \ pi ^ {2} G_ {n} (x) \ oikea) \ sin (\ pi x) = \ pi ^ {2} a ^ {n} f_ {n} (x) \ sin (\ pi x)}$

{\ displaystyle \ pi \ int _ {0} ^ {1} a ^ {n} \ sin (\ pi x) f_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ left [{\ frac {G_ { n} '(x) \ sin (\ pi x)} {\ pi}} - G_ {n} (x) \ cos (\ pi x) \ oikea] _ {0} ^ {1} = G_ {n} (0) + G_ {n} (1) \ sisään \ mathbb {Z}}

Kuitenkin , toiminto on jatkuva ja tiukasti välillä ja siksi . $] 0,1 [$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ sin (\ pi x) f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n!}}}$ ${\ displaystyle 0 <\ pi \ int _ {0} ^ {1} a ^ {n} \ sin (\ pi x) f_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x <\ pi {\ frac {a ^ {n}} {n!}}}$

Lisäksi riittävän suurille, ( sarja $exp ($ $a$ $)$ on jopa lähentyvä ). Luku on silloin ehdottomasti välillä ja , mikä on järjetöntä. $ei$ ${\ displaystyle \ pi {\ frac {a ^ {n}} {n!}} <1}$ ${\ displaystyle G_ {n} (0) + G_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle 0}$ $1$

Kokonaislukulogaritmit

Koska (lukuun ottamatta $e 0 = 1$ ) mikä tahansa $e: n$ järkevä voima on irrationaalinen ( katso yllä ), minkä tahansa positiivisen järkevän $x$ $\neq 1:$ n luonnollinen logaritmi $ln x$ on irrationaalinen. Numero $log$ $10$ $2$ on myös irrationaalinen, koska ei ole kokonaislukua a, b ≠ 0 siten, että 2 a = 10 b ; yleisemmin, $log$ n m = $ln m / ln n$ on irrationaalinen kaikille kokonaisluvuille m, n > 1, joilla ei ole samoja alkutekijöitä (tai jälleen: sama radikaali ). Esimerkiksi: $log 10 15$ ja $log 2 6$ ovat irrationaalisia.

Avoimet ongelmat

Ei tiedetä, ovatko luvut $π + e$ ja $π - e$ irrationaalisia. Oletamme kuitenkin, että $π$ , $e$ ja $1$ ovat linear- lineaarisesti riippumattomia .

Emme tiedä, ovatko $2 e$ , $π e$ , $π \sqrt 2$ , Khintchinen vakio vai Euler-Mascheronin vakio $γ$ irrationaalisia. Ohitamme myös parittomalle kokonaisluvulle $n > 3$ riippumatta siitä, onko $ζ ( n )$ irrationaalinen. Parittomien positiivisten kokonaislukujen osalta vain Apéryn lauseen ansiosta tiedetään vain tapaus $ζ (3)$ . On kuitenkin osoitettu, että $ζ$ saa irrationaalisen arvon äärettömälle parittomille numeroille, mukaan lukien ainakin yksi neljästä numerosta $5$ , $7$ , $9$ tai $11$ . Lisäksi erittäin tarkat laskelmat tekevät kaikkien näiden lukujen irrationaalisuudesta ja jopa ylityksestä erittäin todennäköisen.

Jotkut matematiikan muilta alueilta tulevat avoimet ongelmat voidaan ilmaista irrationaalisuusongelmina. Esimerkiksi jos Brun vakio olivat järjettömiä, se edellyttäisi arveluihin alkulukupari numeroita .

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Irrational number " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Huomautuksia

Tässä artikkelissa "jaksollinen" tarkoittaa "jaksollista tietystä luokasta".
Nämä ominaisuudet ilmoitetaan tässä modernilla muotoilulla, eikä $π: tä$ eikä neliöjuuria pidetä tiukasti antiikin Kreikassa.
Rationaaliluvut, jotka mahdollisesti ovat tietyn polynomin juuret, ovat rajallisia, eivätkä ne vaadi likimääräisen laskennan tunnistamista ( katso alla ).
Katso lisätietoja artikkelista ” Machinin kaava ”.
Katso lisätietoja artikkelista “ Leibnizin kaava ”.
Itse asiassa ei ole osoitettu, että Eulerin vakio γ on irrationaalinen, mutta laajat numeeriset laskelmat viittaavat siihen, että näin on todellakin ( katso alla ).
Katso artikkelin ”Jatkuva jae ja diofantiinin lähentäminen” osio ”Esimerkki: luku e” .
Katso artikkelin "Jatkuva fraktio ja diofantiinin lähentäminen" -osio "Irrationaalisuus" .
Tämä tulos johtaa Eulerin 30 vuotta aikaisemmin laskeman summan irrationaalisuuteen , jonka huomaan tänään $ζ (2)$ . ${\ displaystyle \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$
Katso yksityiskohtainen artikkeli " Reaalilukujen rakentaminen ".
Katso artikkeli “ Wantzelin lause ”.
Transsendenttien lukujen olemassaolo ei kuitenkaan ollut varmaa tuon ajan matemaatikoille.
Katso artikkeli " Liouvillen lukumäärä ".
Katso artikkeli ” Hermite-Lindemannin lause ”.
Katso artikkeli " Normaali numero ".
Shanks antoi tosiasiallisesti 707 desimaalia, mutta sen käsin tehty laskelma oli väärä 528 : n jälkeen .
Vastaavaa kaavaa kymmenelle ei tunneta vuonna 2017.
Katso ”voimassaoloaika” artikkelin ”Jatkuva murto toisen asteen irrationaalinen ” .
Lause Hurwitz jalostaa tämän toteamalla, että jokaista irrationaalinen $X$ , on olemassa ääretön rationaalisen $s / q$ sellainen ja että vakio √ 5 on optimaalinen: suuremmalla vakiolla lause on väärä joillekin luvuille, esimerkiksi kultaiselle suhteelle . Lisätietoja on artikkelissa Lagrange-spektristä . ${\ displaystyle \ textstyle {\ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2} {\ sqrt {5}}}}}}$
Yleisemmin, luvut, jotka ovat analogisia Champernownen vakion kanssa missä tahansa perustassa irrationaalisuuden mittarilla, joka on yhtä suuri kuin . $b$ $b$
Määritämme esimerkiksi kokonaisluvun siten , että sitten on kaksi kokonaislukua ja sellainen ja siten tulos. ${\ displaystyle q_ {1} \ sisään \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {1}}} <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle q> q_ {1}}$ $s$ ${\ displaystyle \ vasen | \ xi - {\ frac {p} {q}} \ oikea | <{\ frac {1} {q ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle | q \ xi -p | <{\ frac {1} {q}} <{\ frac {1} {q_ {1}}} <\ varepsilon}$
Rajoittamalla toiminnan , löydämme kaikki irrationaaliset, jotka vastaavat annettua irrationaalista. ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$
Esimerkiksi $e ln 2 = 2,$ kun $e$ ja $ln 2$ ovat irrationaalisia ( katso alla ).
Gelfond-Schneider lause aikaansaa koko perheen esimerkkejä.
Katso Georg Cantoria käsittelevän artikkelin ”Teokset” -osa .
Itse asiassa perustelut muodostavat F σ: n, mutta eivät G δ : katso artikkelin "Borelin hierarkia" osio "Perusominaisuudet" .
Katso vastaavuus tästä artikkelin "Epäjatkuvuuksien luokittelu" osiosta "Funktion epäjatkuvuuksien joukko" .
Tämä pätee esimerkiksi Thomae-toimintoon .
Katso artikkelin ”Euler-Mascheroni-vakio” kohta ”Arvioitu arvo ja ominaisuudet” .
Tämä todiste on perinteisesti annettu Pythagorasille , vaikka ei tiedetä, onko se häneltä vai onko se ehdotettu ensimmäiseksi ( katso yllä ).
Katso "Ilmeisen juuren" artikkelin osio "Esimerkki irrationaalisuudesta" .
Tämä on pääteltävissä trigonometriset identiteetit standardi koskee kaikkia todellisia : , ja , Tai rakennettavuuden puolittajien . $klo$ ${\ displaystyle \ cos (2a) = 2 \ cos ^ {2} a-1}$ ${\ displaystyle \ cos ^ {2} a + \ sin ^ {2} a = 1}$ ${\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} a = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} a}}}$
Katso suoraa esittelyä yleisemmissä puitteissa artikkelin ”Euclid's Lemma” osiosta ” Täysi sulkeminen ” .
Tämän lauseen ovat jälleen osoittaneet monet kirjoittajat, erityisesti Niven: katso Nivenin lause (en) ja Niven 1956 , seuraus 3.12 ja muistiinpanot, s. 41 .
Katso todisteen yksityiskohdat yksityiskohtaisesta artikkelista .
Voimme itse asiassa osoittaa, että Prouhet-Thue-Morse-vakio on transsendenttinen luku; lisätietoja on yksityiskohtaisessa artikkelissa .
tapauksessa alkuluku vakio ( ks edellä ), voitaisiin myös ovat osoittaneet irrationaalisuuden alkuluku vakiona käyttämällä se, että mikä tahansa kokonaisluku , peräkkäisen kokonaisluvun ovat kaikki yhdiste. $n \ ge2$ $n-1$ ${\ displaystyle n! +2, \ pistettä, n! + n}$
Tietyt ei-jaksolliset laajennukset eivät kuitenkaan välttämättä sisällä mielivaltaisesti pitkiä 0-sekvenssejä. Esimerkiksi Thue-Prouhet-Morse -vakion ( katso yllä ) binäärilaajennus on ilman kuutiota, emme koskaan löydä kolmea peräkkäistä 0: ta.
Sylvester-sekvenssin termien käänteissarja on esimerkki tällaisesta sarjasta, joka lähentyy järkevään, koska se lähentyy arvoon 1.
Todellakin kaikesta, mitä meillä on ja siksi . $ei$ ${\ displaystyle M_ {M_ {n}} ^ {2} -M_ {M_ {n}} + 1 = \ vasen (2 ^ {2 ^ {n} -1} -1 \ oikea) ^ {2} -2 ^ {2 ^ {n} -1} + 1 + 1 = 2 ^ {2 ^ {n + 1} -2} -2 ^ {2 ^ {n}} - 2 ^ {2 ^ {n} -1} +3}$ ${\ displaystyle M_ {M_ {n}} ^ {2} -M_ {M_ {n}} + 1 <2 ^ {2 ^ {n + 1} -1} -1 = M_ {M_ {n + 1}} }$
Kaikille meillä todellakin on ja siksi . Fermatin luvut eivät tyydytä lauseen hypoteesia, joten emme voi päätellä. $ei$ ${\ displaystyle F_ {n} ^ {2} -F_ {n} + 1 = \ vasen (2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ oikea) ^ {2} -2 ^ {2 ^ {n}} -1 + 1 = 2 ^ {2 ^ {n + 1}} + 2 ^ {2 ^ {n}} + 1}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} = 2 ^ {2 ^ {n + 1}} + 1 <F_ {n} ^ {2} -F_ {n} +1}$
Suite A051158 of OEIS .
Nimetty vahingossa "Constante de Prévost" (en) Gérard Michon, " Numerical Constants " , Numericana ,2005, kun taas Marc Prévostin tätä aihetta käsittelevä artikkeli ei ole peräisin vuodelta 1977, vaan vuodelta 1998.
Gelfond-Schneider lausetta sitten voimme päätellä, että $ln m / ln n$ on jopa transsendenttinen.
Tiedämme kuitenkin, että ainakin yksi näistä kahdesta luvusta on irrationaalinen ja jopa transsendenttinen, koska niiden summa $2π$ on; tiedämme myös, että toinen kahdesta luvusta $s = π + e$ ja $p = πe$ on transsendenttinen, koska $π$ ja $e$ ovat polynomin $X 2 - sX + p$ juuret .
Ja vaikka ( vrt Schanuel konjektuuri ) että $π$ ja $e$ ovat ℚ- algebraically riippumaton .
Kuvat positiivisten kokonaislukujen jopa funktio $ζ$ ovat ylivertainen.
Lisätietoja on artikkelin Apéryn lause kohdassa ” Yleistykset”.
Rationaalisten termien rajallinen summa on todellakin järkevä ( katso yllä ). Mukaan contraposition , jos sarja käänteislukujen alkulukupari suppenee järjenvastaiseen numero, sitten se käsittää ääretön ei-nolla suhteen, ja on näin ollen ääretön alkulukupari.

Viitteet

Jotkut historioitsijat ovat arvioineet, että Śulba-Sutras , vaikeasti tasalla tutkielmia, jotka on kirjoittanut 800 ja 200 eaa. AD , todistaisi tuolloin Intian irrationaalisuuden tuntemuksesta ; ne perustuvat rakentaminen neliön lävistäjällä, jotka voidaan tulkita (hyvä) järkevä lähentämisestä √2 sekä maininnan, että tämä rakenne ei ole tarkkaa, katso (in) Bibhutibhusan Datta , tiedettä Sulba : Tutkimus varhaisen hindu-geometrian alalta ,1932( lue verkossa ) , s. 195-202. Mutta muille tämä on "perusteetonta spekulaatiota", joka jättää huomiotta sekä irrationaalisuuden todellisen merkityksen että Śulba-Sūtras (en) SG Danin "Geometry in the Śulvasūtras" , CS Seshadri, Studies in the History of Indian, käytännön kohteen. Matematiikka , Hindustan Book Agency, coll. "Matematiikan kulttuuri ja historia",2010( ISBN 978-93-86279-49-1 , luettu verkossa ) , s. 9-38.
Szabó 1978 , s. 25.
Szabó 2000 .
(in) Euclid ( käännetty muinaiskreikasta), The Elements ( lue verkossa ) , osa X, määritelmä 3.
Platon , The Laws [ yksityiskohdat painoksista ] [ lue verkossa ] , VII, 820 a - c.
Benoît Rittaud, " Le Fabuleux destin de √ 2 ", Gazette des mathématiciens , n o 107,tammikuu 2006, s. 28-37 ( lue verkossa ).
(in) Kurt von Fritz , " löytö janan monikertoja mukaan Hippasos on Metapontum " , Ann. Matematiikka. , voi. 46, n ° 21945, s. 242-264 ( JSTOR 1969021 ).
(De) Oskar Becker , " Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente " , Quellen und Studien sur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik , b, voi. 3,1936, s. 533-553.
(de) Árpád Szabó ”Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? » , Julkaisussa J. Christianidis, Kreikan matematiikan historian klassikot , Springer,2004, 461 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4020-2640-9 , luettu verkossa ) , s. 45-80.
(in) Thomas Heath , matematiikka Aristoteleella [ "Matematiikka Aristoteles"], Oxford,1949, 310 Sivumäärä ( ISBN 978-1-317-38059-7 , online-esitys ) , osa III, luku. 1 ("Lävistäjän (sivunsa kanssa olevan neliön) vertaamattomuus").
Katso eri mahdollisten menetelmien kuvaus: Caveing 1998 .
" Ainoa varmuus irrationaalisuuden löytymisestä on, että Kyrenen Theodorus osoitti, että $\sqrt n$ (kun n = 3, ..., 17 eikä täydellinen neliö) on irrationaalinen. » - (en) Árpád Szabó (de) , Kreikan matematiikan alku , Springer ,1978, 358 Sivumäärä ( ISBN 978-90-277-0819-9 , luettu verkossa ) , s. 35, vetoamalla (de) Walter Burkertiin , Weisheit und Wissenschaftiin ,1962, s. 439.
Hardy ja Wright 2007 , luku. 4.
(in) Victor Pambuccian, " aritmeettinen parillisten ja outoa " , tarkistamisesta Symbolic Logic , vol. 9, n o 22016, s. 359-369 ( DOI 10.1017 / S1755020315000386 ).
J.-L.Périllié, Äärettömän mittaamaton ja huimaus, konferenssin transkriptio16. toukokuuta 2001julkaisussa Grenoble, s. 14 .
Tässä esitetyssä muodossa legenda arvostellaan. Tärkein Kertoja, Jamblique , on sekä myöhäinen ja epätarkka hänen todistuksensa. Seuraava viite täsmentää: "Kun siis myöhäiset kirjoittajat, kuten Iamblichus, väittävät kunnianhimoisesti Pythagoraan tiedettä […], meillä on tilaisuutta epäillä. » , Vrt. (en) Wilbur Richard Knorr , Euklidisen elementin kehitys: Tutkimus vertailukelpoisten suuruuksien teoriasta ja sen merkityksestä Kreikan varhaisessa geometriassa , D. Reidel ,1975( lue verkossa ) , s. 5.
J.-L. Périllié, op. cit. .
Paul Nahkatehdas, Kreikan geometria, miten sen historia tuli meille ja mitä tiedämme siitä. , Pariisi, Gauthier-Villars ,1887( lue verkossa ).
(in) Wilbur Knorr, " vaikutus modernin matematiikan antiikin matematiikka " , matematiikka History Review , vol. 7,2001, s. 121-135 ( lue verkossa ).
Hans Freudenthal , " Onko antiikin matematiikan perustuksissa ollut kriisi? », Bulletin of the Mathematical Society of Belgium , voi. 18,1966, s. 43-55 ( lue verkossa ).
(in) John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson , "arabia matematiikka: unohdettu loistoa? " , MacTutor History of Mathematics -arkistossa , University of St Andrews ,1999( lue verkossa )..
(en) Galina Matvievskaya , " Toissijaisen irrationaalisuuden teoria keskiaikaisessa itämaisessa matematiikassa " , Annals of the New York Academy of Sciences , voi. 500 "From Deferent to Equant: A Volume of Studies on the History of Ancient and Medieval Near East in ES Kennedyn kunniaksi " ,1987, s. 253-277 (254) ( DOI 10.1111 / j.1749-6632.1987.tb37206.x ).
(in) Jacques Sesiano, "islamilainen matematiikka" , vuonna Helaine Selin, matematiikka Across Cultures: The History of Non-Western Matematiikka , Springer ,2000( ISBN 1-4020-0260-2 , lue verkossa ) , s. 148.
(vuonna) Mohammad K. Azarian , " al-al-Risāla muhītīyya: A Summary " , Missouri Journal of Mathematical Sciences , Voi. 22, n ° 22010, s. 64–85 ( lue verkossa ).
Cousquer 1998 , s. 174.
D'Alembert, The Encyclopedia ( lue Wikilähteestä ) , "Incommensurable".
D'Alembert, Tietosanakirja ( lue Wikilähteestä ) , "Numero".
" Kuinka Euler laskettu ζ (2) ", Special Edition Tangentekin , n o 29,2007.
Jean-Pierre Demailly , " Eulerin vakion numeerisesta laskemisesta ", Gazette des mathématiciens , voi. 27,1985( lue verkossa ).
(Se) Pietro Cataldi , Trattato del Modo brevissimo di trovare la Radice quadra Delli numeri ja Regole da approssimarsi di continuo al Vero nelle Radici de 'numeri ei quadrati, con le syy & invenzioni Loro ,1613.
(en) Eli Maor , E: Numeron tarina , Princeton University Press ,1994( ISBN 0-691-05854-7 , lue verkossa ) , s. 192.
AM Legendre , geometrian elementit , Pariisi,1802( lue verkossa ) , ”Huomautus IV. Jos osoitetaan, että kehän suhde halkaisijaan ja sen neliöön on irrationaalilukuja ".
Katso kuitenkin (in) Rolf Wallisser , "We Lambertin todiste $π:$ n irrationaalisuudesta " julkaisuissa Franz Halter-Koch ja Robert F. Tichy, Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998) , Berliini, Walter Gruyer2000( lue verkossa ) , s. 521-530.
Boniface 2002 .
(De) L. Kronecker, " Ueber den Zahlbegriff " , J. kuningatar angew. Matematiikka. , voi. 101,1887, s. 337-355 ( lue verkossa ).
(sisään) David H. Bailey ja Richard Crandall, " Perinteisten jatkuvien laajennusten satunnaisesta luonteesta " , kokeellinen matematiikka , voi. 10,2001, s. 175-190 ( lue verkossa ).
.
(in) Steve Wozniak , " Impossible Dream: Computing e on 116000 Paikat henkilökohtaisen tietokoneen kanssa " , Byte Magazine ,Kesäkuu 1981, s. 392 ( luettu verkossa , kuultu 12. joulukuuta 2017 ).
(in) Xavier Gourdon ja Pascal Sébah, " Eulerin vakio: $γ$ " on numerot, ja laskenta vakio (näytetty 12 päivänä joulukuuta 2017 ) .
Hardy ja Wright 2007 , luku. 9.
Hardy ja Wright 2007 , luku. 10.
Hardy ja Wright 2007 , luku. 11.
(in) Yann Bugeaud Distribution modulo one ja Diophantine approksimaatio , Cambridge, Cambridge University Press , coll. "Cambridge Juosteet matematiikka" ( n o 193)2012( ISBN 978-0-521-11169-0 , DOI 10.1017 / CBO9781139017732 , zbMATH 1260.11001 ) , s. 246, lause E.2.
(in) Daniel Duverney, " irrationaalisuuteen Fast Converging Sarja Rational numerot " , J. Math. Sci. Univ. Tokyo , voi. 8,2001, s. 275-316 ( lue verkossa ).
(in) George Rein ja Carlo Viola, " ryhmä rakenne ζ (3) " , Acta Arithmetica , voi. 97, n ° 3,2001, s. 269-293 ( lue verkossa ).
(en) Masaaki Amou, " Lähestyminen joihinkin transsendentaalisiin desimaalimurtolukuihin algebrallisilla numeroilla " , J. Theor Number , voi. 37, n ° 21991, s. 231-241 ( DOI 10.1016 / S0022-314X (05) 80039-3 ).
Xavier Gourdon, matematiikka mielessä: analyysi ,2008, 2 nd ed. ( 1 st toim. 1994), 432 s. ( ISBN 978-2-7298-3759-4 ) , luku . 4 (“Sarjat ja sarjat”), s. 275-276, Numero n o 7.
Hardy ja Wright 2007 , luku. 23.
Niven 1961 , luku. 4, s. 52 .
Niven 1961 , luku. 5 (“ Trigonometriset ja logaritmiset numerot ”), s. 68 .
Xavier Gourdon, Matematiikka mielessä , t. Analyysi, ellipsit ,2008, 2 nd ed. ( 1 st toim. 1994), 432 s. ( ISBN 978-2-7298-3759-4 ) , "Bairen lause ja sovellukset", s. 406.
Niven 1961 , . 4, § 3 ("Polynomikaavojen yhtälöt"), s. 57-62 ; se on yksinkertaisempi muunnos Eisensteinin kriteeristä .
(sisään) RS Underwood, " Joidenkin trigonometristen toimintojen irrationaalisuudesta " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 28, n ° 10,1921, s. 374-376 ( JSTOR 2972160 )ja (en) RS Underwood, " Lisähuomautus tiettyjen trigonometristen toimintojen irrationaalisuudesta " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 29, n o 9,1922, s. 346 ( JSTOR 2298729 ).
(sisään) [video] Mathologer , mitä tämä todistaa? Jotkut kaikkein upea visuaalinen "kutistua" todisteita koskaan keksitty on YouTubessa , lause on todistettu 19'52 '' päässä menetelmistä esitetään alussa videon.
(in) [video] Numberphilesta , todiste siitä, että e on irrationaalinen päällä YouTubessa .
Niven 1956 , luku. 2 (" Yksinkertaiset irrationaalisyydet "), s. 23-24 .
Pascal Boyer, pieni kumppani numeroista ja niiden sovelluksista , Calvage ja Mounet,2019, 648 Sivumäärä ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. Aritmeettinen ℤ, luku . 5 (“Reaaliluvut”), s. 77.
(in) Catalin Badea , " lause, on irrationaalisuuteen ääretön sarja ja sovelluksia " , Acta Arithmetica , voi. 63,1993, s. 313-323
(in) Schwarz, W.: Huomioita irrationaalisuuteen ja transsendenssin joitakin sarjassa. Matematiikka. Scand. 20, 269–274 (1967)
(in) Solomon W. Golomb , " On the summa reciprocals Fermat'n numerot ja niihin liittyvät irrationalities " , Canad. J. Math. , voi. 15,1963, s. 475-478 ( lue verkossa ).
Richard André-Jeannin, " Tiettyjen toistuvien sekvenssien käänteissummien irrationaalisuus ", CR Acad. Sci. Paris , i Math., Vuosikerta 308,1989, s. 539-541 ( lue verkossa ).
Katso (in) Eric W. Weisstein , " vastavuoroinen Fibonacci Constant " päälle MathWorld ja A079586 ( desimaalikehitelmästä ) ja A079587 ( ketjumurtoluku ).
Niven 1956 , luku. 2 (" Yksinkertaiset irrationaalisyydet "), s. 19-20 .

Katso myös

Bibliografia

: tämän artikkelin lähteenä käytetty asiakirja.

Matemaattiset näkökohdat

GH Hardy ja EM Wright ( englanniksi kääntänyt François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Johdatus numeroteoriaan [“ Johdanto numeroiden teoriaan ”] [ yksityiskohdat painoksesta ], erityisesti luvut 4 ("Irrationaaliluvut"), 9 ("Lukujen desimaalikirjoitus"), 10 ("Jatkuvat murtoluvut") ja 11 ("Irationaalien lähentämiset järjen mukaan").
(en) Ivan Niven , irrationaaliset numerot , Cambridge University Press ,1956( lue verkossa ).
(en) Ivan Niven, Numbers: Rational and Irrational , The LW Singer Company, kokoonpano "Uusi matemaattinen kirjasto",1961, 136 Sivumäärä ( ISBN 978-0-88385-601-7 ).

Historialliset näkökohdat

Jacqueline Boniface, Reaalilukujen rakenteet analyysin aritmetoinnin liikkeessä , ellipsit ,2002( ISBN 978-2-7298-1142-6 ).
Maurice Caveing , Matemaattisen ihanteellisuuden tyyppi kreikkalaisessa ajattelussa , voi. 3: Irrationaalisuus kreikkalaisessa matematiikassa Euclidiin saakka , Presses Universitaires du Septentrion ,1998, 343 Sivumäärä ( ISBN 2-85939-539-3 , ilmoitusta BNF n o FRBNF36971590 , online-esityksen ).
Éliane Cousquer, Numeroiden upea historia , Diderot-multimedia, coll. "Tiedepuutarha",1998, 259 Sivumäärä ( ISBN 2-84352-114-9 ) , luku . 9 ("irrationaalisesta todelliseksi").
Édouard des Places , " Epinomisin matemaattinen kohta (990 c 5-991 a 4) ja irrationaalisten teoria ", Revue des Études Grecques , t. 48, n ° 228Loka-joulukuu 1935, s. 540-550 ( lue verkossa )
Árpád Szabó (de) ( kääntänyt saksaksi Michel Federspiel), Kreikan matematiikan aamunkoitto [“ Entfaltung der grieschischen Mathematik ”], Vrin ,2000( 1 st toim. 1993), 367 s. ( ISBN 2-7116-1279-1 , lue verkossa ) , osa III, "Matemaattinen irrationaalisuus".

Ulkoinen linkki

(en) Eric W. Weisstein , ” Irrationaaliluku ” , MathWorldissa