Neliöjuuri kaksi , merkitään √ 2 (tai joskus 2 1/2 ), määritellään vain positiivinen todellinen määrä , joka, kun kerrotaan itse, antaa numero 2 , toisin sanoen √2 × √2 = 2 . Se on irrationaaliluku , jonka arvo likimääräiseksi arvoksi 10–9 on:
.Likimääräisen √2-arvon laskeminen on ollut matemaattinen ongelma vuosisatojen ajan. Tämä tutkimus on mahdollistanut neliöjuurien uuttamisen laskemisen algoritmien parantamisen . Tietojenkäsittelytieteessä tätä tutkimusta jatkettiin näiden algoritmien optimoimiseksi vähentämällä laskenta-aikoja ja muistin kulutusta.
Geometrisesti, √2 on suhde lävistäjä neliö sen puolelle, joka tunnetaan myös suhde hypotenuusan olevan tasakylkisen oikeus kolmiota yksi puolin suorassa kulmassa, joka on erikoistapaus Pythagoraan lauseen .
Luku √2 on ollut tiedossa jo kauan: Mesopotamiassa kirjanoppineet tiesivät jo laskea erittäin tarkan likimääräisen arvon toisen vuosituhannen eKr .
Oletettavasti V - luvulle eKr. Eaa . Kreikkalaiset matemaatikot osoittivat, että neliön ja sen sivun lävistäjä olivat mittaamattomia , mikä tarkoittaa sitä, että √2 on irrationaalinen . Vertailukyvyttömyyden tutkimuksella oli tärkeä rooli kreikkalaisen matematiikan kehityksessä. Kreikkalaisille murtoluvut tai irrationaaliluvut eivät ole numeroita. Tämä vaihe on otettu mukaan arabien matemaatikot klo alkuperän algebran .
Tätä numeroa käytetään jokapäiväisissä sovelluksissa:
Ilmaus " neliöjuuri " tulee eurooppalaisesta geometrisesta merkinnästä, joka vallitsi ennen algebrallista merkintää , ja erityisesti yhdestä √2: n rakenteista, joka esitetään historialle omistetussa osiossa ; todellakin, matemaattiset ongelmat on usein esitetty geometrisessa muodossa, ennen kuin ne on supistettu algebrallisiksi lausekkeiksi. Käytettiin myös termiä "kahden radikaali".
√2 löytyy joskus nimellä Pythagorean vakio , mahdollisesti legendan takia, jonka mukaan √2: n irrationaalisuuden löytäminen johtuu Pythagorean koulusta .
Pohjois-Amerikan ulkopuolella yleisesti käytetyn ISO 216 -standardin paperikoot A, B ja C on suunniteltu varmistamaan merkittävä ominaisuus: yksi arkki, joka on leikattu kahteen yhtä suureen osaan leveyden mukaan, tuottaa kaksi arkkia, samanlainen kuin alkuperäinen; toisin sanoen samalla pituus / leveys-suhteella. Pinta-alaa pienennetään kertoimella 2 , tämä on mahdollista vain, jos tämä suhde on yhtä suuri kuin √2; käytännössä mitat pyöristetään.
Alla ovat likimääräiset koot A0 - A5 funktiona √2.
muoto | pituus (m) | leveys (m) | pinta-ala (m 2 ) |
---|---|---|---|
A0 | √√2 | √√2 ⁄ √2 | 1 |
A1 | √√2 ⁄ √2 | √√2 ⁄ 2 | 1 / 2 |
A2 | √√2 ⁄ 2 | √√2 ⁄ (2√2) | 1 / 4 |
A3 | √√2 ⁄ (2√2) | √√2 ⁄ 4 | 1 / 8 |
A4 | √√2 ⁄ 4 | √√2 ⁄ (4√2) | 1 ⁄ 16 |
Sarjat B ja C eroavat sarjoista A vastaavasti kertoimella √√2 (~ 1,19) ja √√√2 (~ 1,09).
Kopiokoneiden tarjoamat suurennuskertoimet 200%, 141%, 71%, 50% ovat likimääräisiä arvoa (√2) n, jotka mahdollistavat suuremman tai pienemmän paperikoon muuttamisen - joko fyysisesti tai tulostamalla 2 n sivua per arkki.
Huomaa, että matematiikassa me helpommin merkitsemme ja .
Välillä tasaviritys on rakennettu seuraavalla tavalla: taajuus suhde välillä äärimmäisen muistiinpanoja oktaavin on 2; ja asteikko on jaettu kahteentoista puolitoneeseen, joiden taajuussuhde on sama. Taajuussuhde korkeimman ja matalin nuotin välillä on siis ƒ 12 , mikä on yhtä suuri kuin edellä on esitetty. Puolisävyn suhde thus = 2 1/12 .
tehdä | tee ♯ | re | d ♯ | puolivälissä | fa | fa ♯ | maahan | maa ♯ | la | ♯ | jos | tehdä |
1 | 2 1/12 | 2 1/6 | 2 1/4 | 2 1/3 | 2 5/12 | √2 | 2 7/12 | 2 2/3 | 2 3/4 | 2 5/6 | 2 11/12 | 2 |
Tässä järjestelmässä korotettu neljäs ( C - F ♯) ja pienennetty viides (C-G ♭) ovat yhtä suuret ja niiden arvo on kuusi puolisävyä; niiden taajuussuhde on √2. Gregoriaaninen laulu käyttää tätä väliajan tritonusaiheen , mutta lopussa on keskiajalla se järjestelmällisesti välttää, koska pidetään liian dissonoivien. Sitten hän sai lempinimen " Diabolus in Musica ".
On sähkö , tehollinen jännite U eff on yksi - vaihe sinimuotoista vaihtovirtaa - esimerkiksi 110 V tai 220 V kotitalouden nykyinen - liittyy amplitudin U max mukaan
U max = U eff √2, huomioitu myös Û = U√2,tai yleisimmissä sovelluksissa:
U eff = 0,7 U maks .Tämä on yleisesti voimassa rms-arvo lineaarisen määriä sini aalto . Huomaamme myös sen
20 log (U / √2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2) 20 ) = 20 log U - log 1024 ≃ 20 log U - 3 .Puhumme kaistanleveydestä −3 desibeliä.
Aukot on kameroiden noudattaa standardia sekvenssi f / 1.4, f / 2 f / 2,8 f / 4 f / 5,6 f / 8 f / 11 f / 16 f / 22, f / 32, jne. Kahden peräkkäisen aukon suhde on lähellä √2 olevaa arvoa, joka on valittu siten, että valovirran suhde on 2 (virtaus = halkaisija²). Pienentämällä aukkoa "lovella" vaadittu valotusaika kaksinkertaistuu tai vaaditun kalvon herkkyys pienenee kertoimella 2 .
Käytännössä ilmoitettu aukko on pyöristys; todellinen aukko voi tarttua lähimpään . Nykyaikaisissa laitteissa on alajaotteita, usein raporteissa tai .
Avaaminen | f / 1,4 | f / 2 | f / 2,8 | f / 4 | f / 5.6 | f / 8 | f / 11 | f / 16 | f / 22 | f / 32 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Halkaisija | d | d / √2 | d / 2 | d / 2√2 | d / 4 | d / 4√2 | d / 8 | d / 8√2 | d / 16 | d / 16√2 |
Flux | Minä | I / 2 | I / 4 | I / 8 | I / 16 | I / 32 | I / 64 | I / 128 | I / 256 | I / 512 |
Neliön kopioiminen vastaa neliön rakentamista, jonka pinta-ala on kaksinkertainen tietyn neliön pinta-alaan. Oletetaan, että meillä on neliö pinta-alalla 1 ja yritämme muodostaa neliön pinta-alan 2. Määritelmän mukaan alueen 1 neliön sivun pituus on 1 ja alueen 2 neliöllä on sama pinta kuin kahden neliön neliöllä. alueen 1.
On kaksi helppoa tapaa saada selville. Suorinta on tutkia vasemmalla olevaa kuvaa. Neliö, jonka sivu 1, koostuu kahdesta kolmiosta, yksi, jonka sivu on merkitty √2, koostuu tarkalleen neljästä samantyyppisestä kolmiosta, joten sen pinta-ala on kaksinkertainen. Toinen tapa toteuttaa kuvan neliöiden pinta-alojen välinen suhde on Pythagoraan lauseen käyttö . Tasakylkinen oikea kolmio lyhyen sivun pituuden 1 on hypotenuusa neliön 1 + 1 = 2 Tämä hypotenuusa on lävistäjä neliö, jonka sivun pituus on 1.
Neliön pinta-ala saadaan kertomalla sivun pituus itse. Alueen 2 neliön sivun pituus kerrottuna itsestään on siis sama kuin 2. Määritelmän √2 määritelmän mukaan tämän sivun pituus on √2.
On myös mahdollista kopioida ympyrää neliö muuttamatta sen suuntaa. Suurta neliötä vastapäätä olevassa kuvassa on kaksinkertainen alue pienestä neliöstä. Tämän vakuuttamiseksi riittää, että pientä neliötä kierretään kahdeksannella kierroksella. Siksi kahden neliön sivujen suhde on √2. Vasemmalla oleva kuva havainnollistaa tuleville matemaatikoille kahden neliöjuuren esiintymistä kierroksen kahdeksannen sini- ja kosinissa.
cos (45 °) = sin (45 °) = 1 / √2 = √2 / 2Myöhemmin tätä ulkoasua vietteli monia arkkitehdit kuten Andrea Palladio hänen Villa Rotonda tai Pyöreä kirkko on Preslav . Se löytyy Cahorsin katedraalin luostarista, jossa sisäpihan pinta on yhtä suuri kuin sitä ympäröivän gallerian pinta tai Villard de Honnecourtin muistikirjoissa .
Tässä on muutamia todisteita siitä, että √ 2 on irrationaalinen . Useat heistä käyttävät vain hyvin vähäistä laskutietoa, toiset yleistetään korvaamalla √ 2 luvulla √ n, jos luonnollinen luku n ei ole täydellinen neliö (katso artikkeli " Asteittainen irrationaalinen "). Jotkut muotoilevat uudelleen nykyisiä matemaattisia käsitteitä ja kieltä muinaisista tai oletetuista todisteista ( vrt. § Historia ).
He etenevät usein absurdilla , olettaen, että √ 2 on päinvastoin järkevä , toisin sanoen se voidaan kirjoittaa muodossa p / q tietyille kokonaisluvuille q > 0 ja p , sitten johtamalla ristiriita tämä hypoteesi √ 2 = p / q , joka kirjoitetaan myös p 2 = 2 q 2 .
Olkoon p pienin ehdottomasti positiivinen kokonaisluku siten, että p 2 on neliön kaksinkertainen arvo, ja olkoon q positiivinen kokonaisluku siten, että p 2 = 2 q 2 . Sitten p > q (koska p 2 > q 2 ) ja p on tasainen (koska sen neliö on) . Toteamalla p = 2 r ja yksinkertaistaa 2, yhtälö on kirjoitettu uudelleen q 2 = 2 r 2 , jossa 0 < q < p , joka on ristiriidassa minimality valinnassa s .
Variantti koostuu harjoitellaan äärettömän laskeutumisen päässä (hypoteettinen) liuos p 2 = 2 q 2 : me rakentaa r kuten edellä, sitten s , t , jne. siten, että p 2 = 2 q 2 , q 2 = 2 r 2 , r 2 = 2 s 2 … ja p > q > r > s >… , mikä on järjetöntä, koska positiivisten kokonaislukujen tiukasti laskevaa ääretöntä sekvenssiä ei ole .
Annetaan jälleen p ja q kokonaisluvut> 0 siten, että p / q = √ 2, kun pq on mahdollisimman pieni tai, mikä tarkoittaa samaa, q niin pieni kuin mahdollista. Johdamme p 2 = 2 q 2: sta, että p ( p - q ) = p 2 - pq = 2 q 2 - pq = (2 q - p ) q , joten asettamalla
r = p - q ja s = 2 q - p :p / q = s / r , mikä on ristiriidassa q: n minimiarvon kanssa , koska 0 < r < q .
Yhteenvetona: olkoon q pienin kokonaisluku> 0 siten, että q √ 2 on kokonaisluku, sitten q √ 2 - q on edelleen sellainen kokonaisluku, joka on ehdottomasti pienempi kuin q , joten ristiriita.
(Voimme, kuten aikaisemmin, muuttaa tämän päättelyn loputtomaksi laskeutumiseksi.)
√2: n irrationaalisuuden osoittaminen tarkoittaa osoittamista, että tietyn yksikön kohdalla ei ole oikeaa tasakylkistä kolmiota, jonka sivut ovat kumpikin kokonaislukumäärä.
Jos tällainen kolmio on olemassa, on välttämättä pienempi, jonka sivut ovat myös täyspitkät (sen rakenne on esitetty vastakkaisessa piirustuksessa ja yksityiskohtaisesti alla). Kuitenkin, jos tällainen kolmio on olemassa, on välttämättä olemassa minimi, jolla on tämä ominaisuus (esimerkiksi se, jonka suorakulman puoli on minimaalinen ) siitä, mistä ristiriita.
Olkoon ABC suorakulmainen tasasivuinen kolmiopiste B: ssä, jossa on kokonaiset sivut. Sitten ympyrä, jonka keskipiste on A: ssa ja jonka säde on lyhyt sivu AB, leikkaa hypotenuusin [AC] pisteessä B 'siten, että B'C on edelleen täyspitkä, koska AC ja AB' ovat. Kohdan B 'kohdalla hypotenuusaan [AC] johtava kohtisuora leikkaa sivun [BC] kohdasta A'. Kolmio A'B'C on suorassa tasaisuudessa B ': ssä, koska kulma B: ssä on oikea ja kulma C: ssä on alkuperäisen kolmion kulma. Suorat (A'B) ja (A'B ') ovat tangentteja A'sta ympyrään, jonka keskipiste on A ja säde AB = AB', ja siksi A'B = A'B ', joten A'B = A 'B' = B'C, ja A'C on täyspitkä. Voidaan myös tulkita rakennetta kuten kolmion ABC taittumista, jossa hypotenuusan sivu [AB] tuodaan takaisin.
Voimme selittämällä kolmion sivujen laskutoimitukset antaa puhtaasti aritmeettisen version tästä todisteesta, joka on sitten edellisen kappaleen versio (ota p = AC ja q = AB = BC).
Olkoon q pienin kokonaisluku> 0 siten, että luku p : = q √ 2 on kokonaisluku, sitten q on alkuluku p : llä tai se jakaa p 2 . Siksi se on yhtä suuri kuin 1 ja p 2 = 2, mikä on mahdotonta. Se on, erityisesti 2, yleinen argumentti, joka osoittaa, että kokonaisluvun neliöjuuri, joka ei ole täydellinen neliö, on irrationaalinen.
Pari ( p , q ) siten, että p 2 = 2 q 2 ovat tällä kertaa mielivaltainen (eli q ei välttämättä vähintään), ristiriita tulee siitä, että hajottamalla tuote alkutekijät , p 2 on parillinen määrä tekijät ja 2 q 2 pariton luku. Yksi muunnelma on laskea vain tekijät, jotka ovat yhtä suuria kuin 2. Tämä argumentti sopii jälleen kerran kokonaisluvun neliöjuurelle, joka ei ole täydellinen neliö.
Kun p ja q alkavat toisilleen kuten yllä, joten molemmat eivät ole jaettavissa 3: lla, p 2 - 2 q 2 eivät voi olla nollia, koska moduuli 3, se on yhtäpitävä arvojen 0 - 2 - 2 × (± 1) 2 tai (± 1) kanssa 2 - 2 × 0 2 tai (± 1) 2 - 2 × (± 1) 2 , ts. ± 1. ( Modulaarisen käänteiskäsitteen avulla voimme tässä menetelmässä korvata 3 millä tahansa alkuluvulla P siten, että 2 ei ole modulo P- neliö , ts. P yhtenevä arvoon 3 tai 5 moduuli 8 ).
Kuten kaikki kokonaislukujen neliöjuuret, √2 on konstruoitavissa viivaimen ja kompassin kanssa ; päinvastoin , näin ei ole esimerkiksi kuution juurella 2.
Kun otetaan huomioon yksikön pituinen segmentti AB, tässä on eri vaiheet pituuden √2 rakentamiseksi luokittelemattomalla viivaimella ja kompassilla :
Tässä vaiheessa rakennetaan segmentti [BC], jonka pituus on √2.
Kuten mikä tahansa numero, joka voidaan rakentaa viivaimella ja kompassilla, √2 voidaan rakentaa pelkästään kompassilla . Mahdollisen rakentamisen vaiheet ovat:
Tässä vaiheessa rakennetaan segmentti [AC], jonka pituus on √2.
Todistuselementit: IC = IG = √3, koska Pythagorean lauseen mukaan sivun 1, IHA: n ja HAG: n tasasivuisten kolmioiden korkeudet I: ssä ja G: ssä ovat kohtisuoran puolikkaan (H, A), on pituus √3 / 2. Rakentamisen (A ja C BI: n kohtisuorassa puolittimessa) (AC) on kohtisuorassa (AI): n kanssa, ja IAC: n Pythagorean lause antaa AC² = 2 .
Paleo-babylonialaisen ajan matemaattinen kulttuuri on ennen kaikkea algoritminen. Siinä on numerointijärjestelmä, jossa on sijaintikoodi . Jotkut tabletit, kuten mainittu BM 13901 , osoittavat hyvät tiedot toissijaisista kysymyksistä , jotka todennäköisesti käsitellään yksinkertaisia geometrisia menetelmiä käyttäen, kopioimalla ja liittämällä suorakulmaisia alueita. Sen lisäksi, että babylonialaiset käyttävät ratkaisumenetelmiä, he osaavat laskea neliöjuurien likiarvot. YBC 7289 tabletti , kirjoitettu ensimmäisen kolmanneksen toisen vuosituhannen BC, antaa lähentäminen √2, tulkita suhde neliön lävistäjällä sivulle, seuraavassa muodossa:
Tämä kirjoitus vastaa √2: n parasta mahdollista likiarvoa neljällä merkittävällä luvulla babylonialaisessa numeroinnissa ( perusta 60). Lähentäminen on tarkka miljoonasosaan. Se tarkoittaa tietoa neliöjuuren approksimaatioalgoritmista, mutta ei tiedetä kumpi. Se voisi olla Heronin menetelmä , joka on edelleen yksi tehokkaimmista nykyään.
Śulba-sutrien , Intian rituaali tekstejä päässä Vedic aikana esitetyt geometriset rakentamista koskevat uhrautuva alttareita. niiden koostumuksen päivämäärää on vaikea määrittää, vanhin olisi voitu säveltää välillä 800-500 eKr. JKr . He antavat lausunnon siitä, mitä nyt kutsumme Pythagoraan lauseeksi , mukaan lukien neliön lävistäjän erityistapaus, joka sallii sen alueen kaksinkertaistamisen. Ne tarjoavat myös säännön tämän diagonaalin pituuden laskemiseksi sivun funktiona, mikä vastaa huomattavan tarkkaa rationaalista likiarvoa √2:
,tai noin 1,4142157 , arvo, joka on tarkalleen hieman yli 2 miljoonasosaa. Yksi Śulba-sūtrasta, Kātyāyanan, täsmentää, että tämä on vain likimääräinen arvo. Tutkimuksissa ei anneta viitteitä siitä, miten tämä kaava on johdettu, vaikka historioitsijat ovat ehdottaneet useita menetelmiä.
Matemaatikot antiikin Kreikka ovat löytäneet ja osoittaneet järjettömyyden √2 kerrallaan on vaikea määritellä, viimeistään vuonna ensimmäisinä vuosikymmeninä IV : nnen vuosisadan eaa. JKr. , Eikä todennäköisesti ennen V - vuosisataa eKr. JKr . He eivät ilmaisseet sitä tällä tavalla: heidän mielestään kyse ei ole luvusta √2, vaan diagonaalin ja neliön sivun välisestä suhteesta (suhteessa), ja he osoittavat, että nämä - nämä ovat mittaamattomia , toisin sanoen ei löydy yksikösegmenttiä, vaikka se olisikaan pieni, jolla mitataan tarkalleen nämä kaksi pituutta.
Irrationaalisuuden löytäminen, sen päivämäärä, siihen johtaneet olosuhteet, seuraukset, ensimmäisten mielenosoitusten luonne ... kaikki tämä on synnyttänyt paljon työtä historioitsijoiden keskuudessa ilman, että nämä kuitenkin saavuttaisivat loppu. yksimielisyys.
Meillä ei ole arkeologisia todisteita analoginen savitauluissa babylonialaiset, että matematiikka antiikin Kreikassa , mutta tekstit lähetetään perinteen, kopioi ja recopy. Ensimmäinen saavuttaneen meille ovat peräisin IV : nnen vuosisadan eaa. JKr . Teoksissa, joiden matematiikka ei ole ensisijainen tavoite, Platonin , sitten Aristoteleen kirjoitukset .
Platon ja AristotelesMenon tunnetussa kohdassa Platon kuvaa Sokratesia, joka saa nuoren orjan löytämään neliön päällekkäisyydet rakentamalla neliön diagonaalille. Sokrates haluaa vakuuttaa Menon siitä, että nuori orja löytää tiedon, joka on jo hänessä. Mutta David Fowlerille, joka on kirjoittanut tekstin vuodelta 385 eKr. JKr . Se on myös ensimmäinen merkittävä suora todistus kreikkalaisen matematiikan harjoittamisesta.
Ensimmäinen tunnettu maininta vertailukelpoisuudesta johtuu myös Platonista, myöhemmässä teoksessa The Theaetetus , jossa hän kuvailee Kyrenen Theodorusta selittäen, mikä vastaa lukujen 3 - 17 neliöjuurien irrationaalisuutta, jotka eivät ole täydellisiä neliöitä. Me päätellä tästä kohdasta, että järjettömyyden √2 on hyvin tiedossa silloin, kun Platon kirjoitti, vaikka sellainen, jossa Theodore on tarkoitus opettaa, olla ensimmäisinä vuosikymmeninä IV : nnen vuosisadan eaa. JKr .
Vuonna Organon , Aristoteles ottaa esimerkkinä päättelyä ristiriita , joka johtaa sen janan monikertoja lävistäjä, ja määritellään (kaksi paikkaa), että hypoteesi commensurability johtaa parillinen määrä on yhtä suuri kuin yksi. Pariton numero. Osoite on epätarkka, mutta se on vanhin mielenosoitus. Aristoteles ottaa säännöllisesti esimerkkinä teoksissaan diagonaalin mittaamattomuuden sivulle.
EuclidKun elementit on Euclid - ensimmäinen matemaattinen tutkielma selvinneen, kirjoitettu noin -300 - hoito janan monikertoja on jo hyvin kehittynyt. Janan monikertoja on määritelty ja käsitellään Book X , ja Proposition 2 antaa luonnehdinta sen prosessin vuorotellen vähennyksiä, anthypheresis , analoginen mitä me nyt kutsumme Euklideen algoritmi on aritmeettinen (jako voidaan nähdä sarjan vähennyksiä) ja jatkui osa on todellinen määrä (määrät ovat mitattavissa, jos on aina jakojäännöksen, prosessi jatkuu määräämättömän ajan). Lausunto 9 sallii suhteen VII tai VIII kirjassa käsiteltyihin aritmeettisiin ominaisuuksiin . Tietyt X-kirjan vanhat versiot liittävät ehdotuksen (joskus numeroituna 117), joka käsittelee suoraan √2: n irrationaalisuutta (neliön ja sen sivun lävistäjän suhteettomuutta) argumentilla pariteetti ja ääretön laskeutuminen. Mutta tämä ei sovi muuhun tekstiin, se olisi voitu lisätä historiallisen kiinnostuksensa vuoksi ja hyvin todennäköisesti Eukleidin jälkeen. Hän näyttää olevan toisensa jälkeen mielenosoituksen, perustuu aina tasa argumentti annettu kommentti johonkin kanavista Aristoteleen Mainituista mennessä Aleksanteri Afrodisiaslainen vuonna II th luvulla ( jKr. JKr. ), Vanhin täydellinen ja todella datable joka on tullut alas meille (neliön ja sen sivun lävistäjän mittaamattomuuden vuoksi).
Hypoteesit ja rekonstruoinnitSe, mitä voi tietää irrationaalisuuden löytämisestä, riippuu näiden elementtien lisäksi myöhempien kirjoittajien muinaisten tekstien katkelmista, erityisesti Aristoteleen, Rodoksen Eudemoksen ja yleisemmin oppilaiden (kadonneesta) tarinasta . myöhäisiä historiallisia tekstejä, joiden luotettavuus ei ole ilmeistä.
On myös useita teesejä sekä vertailukyvyttömyyden löytämisen kontekstista että syistä, ja sen ensimmäisistä demonstraatioista, joissa historioitsijat pelkistetään näiden uudelleenmuodostamiseen tavalla, joka on yhdenmukainen ajan oletetun ajan kanssa. Nämä spekulatiivinen jälleenrakentamiseen kehitettiin myöhään XIX : nnen vuosisadan ja XX : nnen vuosisadan ovat kaukana yhtenevät ja keskustellaan edelleen.
Parillinen ja paritonUseimmiten √2 (neliön lävistäjä) ottaa ensimmäisen roolin, erityisesti siksi, että pariteettitodistus (periaate on edellä olevan ensimmäisen irrationaalisuuden todisteen periaate) vaatii vain aritmeettista tietoa parillisten ja parittomien lukujen välistä kahtiajakoa, ja voi toipua aritmeettinen tietäen, että historioitsijat uskovat ehkä niitä Kreikan matemaatikot V : nnen vuosisadan eaa. JKr . Silloin Aristoteles viittaa tähän.
AnthypheresisToinen mahdollisuus on luottaa Euclidin ehdotukseen X, 2 (mainittu edellä), joka voisi todistaa antiikin erityisistä irrationaalisuuden esittelyistä antryfereesillä (vaihtoehtoiset vähennykset, kuten Euclidin algoritmi). Tällaisia mielenosoituksia ei kuitenkaan esiinny Eukleidesissa eikä missään muinaisessa kreikkalaisessa tekstissä, joka on tullut meille. Matemaattisesti periaate on se, joka paljastetaan yllä toisessa (aritmeettinen versio) ja kolmannessa esittelyssä (geometrinen versio) . Tosiasia, että sama kuvio löytyy geometrisesta versiosta, osoittaa, että vastavuoroisten vähennysten prosessi jatkuu siis loputtomasti lopuksi ehdotuksella X, 2. On kuitenkin myönnettävä, että segmentti on jaettava äärettömyydessä, ja siksi Euclid perustaa ehdotus X, 2 ehdotuksessa X, 1 (joka käsittelee dikotomia ), ja käyttää " Archimedean aksiomia ", joka on annettu Eudoxukselle ja joka on läsnä alkuaineissa. Tällainen toisto tapahtuu missä tahansa neliöllisessä irrationaalisessa tilassa , se vastaa sen jatkuvan osan jaksollista kehitystä . Tämä jaksollisuus tekee euklidisen karakterisoinnin operatiiviseksi näitä lukuja vastaaville suhteille. √2: n tapauksessa se on välitön, yhdessä vaiheessa, ja se on helppo havainnollistaa geometrisesti. Tämä pätee myös äärimmäisen ja keskimääräisen syyn osuuteen ( kultainen suhde), joka on diagonaalin ja viisikulmion sivun suhde , mikä on saanut jotkut historioitsijat ajattelemaan, että tämä suhde johti pikemminkin irrationaalisuuden löytämiseen.
Nämä mahdollisuudet eivät välttämättä ole ristiriitaisia, koska irrationaalisuus on löydetty neliön ja / tai viisikulmion diagonaalin suhteen prosessilla, joka on samanlainen kuin antryfereesi, ja vertaisryhmän ja pariton suorittama ensimmäinen (t) esitys (t).
Kahden juuren historia sulautuu sitten neliöjuuren ja yleisemmin irrationaalisten historiaan muutamassa rivissä:
Dedekind pystyi näin vahvistamaan vuonna 1872, kun hän julkaisi tutkielmansa reaalien rakentamisesta, että siihen saakka tasa-arvoa √2 × √3 = √6 ei ollut koskaan osoitettu tiukasti.
Normaalius on käsite perustuu jakeluun numeroa desimaalin kehittämistä irrationaaliluku, eli jos kaikki numerot 0 9 näkyvät tätä kehitystä ja samalla taajuudella. √2: n suhteen ei tiedetä, onko se normaalia desimaalijärjestelmässä vai missä tahansa muussa numerointipohjassa .
√ 2 on asteen 2 algebrallinen luku , jota kutsutaan toisen asteen kokonaisluvuksi , koska toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisu kokonaislukukertoimilla x ² - 2 = 0 ja hallitsevan monomin, jonka kerroin on 1, mutta ei yhtään astetta 1, koska se on irrationaalisuus. Tiedämme siis, että on vaikea lähestyä järkevällä sekvenssillä p n / q n ; virhe on parhaimmillaan
Kuten minkä tahansa irrationaalisen algebrallisen numeron kohdalla , sen irrationaalisuusmitta on 2.
√2: n kokonaislukuosa on 1 ja sen desimaaliosa on siis √2 - 1 tai uudestaan11 + √2. Voimme kirjoittaa tämän tuloksen muodossa:
Korvaamalla √2 oikealla puolella 1 +: lla11 + √2, saamme peräkkäin
Tämä antaa jaksollisen jatkuvan fraktion laajenemisen √2
samoin kuin joitakin tämän luvun likimääräisiä arvoja: 3/2, 7/5, 17/12
√2 liittyy tiettyyn määrään laajennuksia jaksottaisissa murto- osissa, neliöllisten kokonaislukujen ominaisuuden perusteella .
Ja , b tiukasti positiivisia kokonaislukuja niin, että 2 - 2 b 2 = -1, olemme seuraavat laajennus
Tämä kehitys havaitaan yleisesti tiiviimmin:
b √ 2 = [ a ; 2 a , 2 a , 2 a …].Saamme seuraavat arvot √ 2 :
√ 2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14…], √ 2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82…].Yleisemmin , b tiukan positiivista kokonaislukua niin, että 2 - 2 b 2 = k , meillä on seuraavat yleistynyt ketjumurtoluku :
jonka huomaamme suppeammassa muodossa
b √ 2 = [ a ; - k , 2 ; - k , 2 ; - k , 2 a ;…]Johdamme siitä seuraavan √2: n kehityksen:
√ 2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; −1, 6;…] √ 2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34; −1, 34;…] √ 2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180; −1, 180;…]Todistavat tekijät: anna sekvenssi ( u n ) määritellään toistumisen suhteen u n + 1 = - k / (2 + u n ) ja antaa ε n = | u n - ( b √ 2 - a ) |. Sitten voimme osoittaa, että ε n +1 < Kε n , kun 1 / | 1 + 2 a / ( b √ 2 - a ) | < K <1, jos u n on riittävän lähellä b √ 2 - a .
Identiteetin cos (π / 4) = sin (π / 4) = 1 / √2 ja esityksen, sellaisena kuin äärettömän tuote on sini ja kosini johtaa seuraavan kehityksen
Viimeinen tuote voidaan kirjoittaa vastaavalla tavalla:
SarjaLuku voidaan myös arvioida sarjana käyttämällä trigonometrisen funktion Taylor-laajennusta :
Voimme käyttää myös toimintoa √ 1 + x yhdessä:
Viimeisen sarjan lähentymistä voidaan kiihdyttää Euler-muunnoksen avulla, jolloin saadaan:
√ 2 on noin 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Lisää desimaalia, katso jatkaminen A002193 ja OEIS .
Likimääräisen arvon √ 2 laskeminen on ollut matemaattinen ongelma vuosisatojen ajan. Tämä tutkimus on mahdollistanut algoritmien täydentämisen neliöjuurien uuttamisen laskemiseksi. Tietojenkäsittelytieteessä tätä tutkimusta jatkettiin näiden algoritmien optimoimiseksi vähentämällä laskenta-aikoja ja muistin kulutusta.
Lukuun ottamatta varren algoritmin , numeeriset lähentäminen menetelmiä esitetään jäljempänä on tarkoitettu laskettaessa suuri määrä desimaalin tarkkuudella. Ne perustuvat yleensä rationaalilukujen yhtenevään sekvenssiin ; täten iteraatio vapautetaan liukulukujen laskentakustannuksista - joiden tarkkuuden olisi myös oltava etukäteen tiedossa . Parhaimmat likiarvot järkevällä sekvenssillä p n / q n antavat virheen 1 / q n2: ssä , joka on neliöllisten kokonaislukujen diofanttisen approksimaation ominaisuus .
Tämä ikivanha menetelmä (todetaan Kiinassa Yhdeksän luvut koskevat Matemaattinen Art in III th luvulla ja Intian Aryabhatiya V : nnen vuosisadan) määrää luovuttamaan peräkkäisten numeroa neliöjuuren, mutta divisioonien tarkoitus toteuttaa nopeasti koon kasvu. Alla hirsipuualgoritmi √ 2: n viiden ensimmäisen desimaalin laskemiseksi .
2 | 1.41421 | |||||||||||
- | 1 | 1 × 1 = 1 | ||||||||||
1 | 0 | 0 | ||||||||||
- | 9 | 6 | 2 4 × 4 = 96 | |||||||||
4 | 0 | 0 | ||||||||||
- | 2 | 8 | 1 | 28 1 × 1 = 281 | ||||||||
1 | 1 | 9 | 0 | 0 | ||||||||
- | 1 | 1 | 2 | 9 | 6 | 282 4 × 4 = 11296 | ||||||
6 | 0 | 4 | 0 | 0 | ||||||||
- | 5 | 6 | 5 | 6 | 4 | 2828 2 × 2 = 56564 | ||||||
3 | 8 | 3 | 6 | 0 | 0 | |||||||
- | 2 | 8 | 2 | 8 | 4 | 1 | 28284 1 × 1 = 282841 | |||||
1 | 0 | 0 | 7 | 5 | 9 |
Olemme Smyrnan Theonille velkaa nämä kaksi induktiolla määriteltyä sekvenssiä ( p n ) ja ( q n ):
p n + 1 = p n + 2 q n , p 0 = 1; q n + 1 = p n + q n , q 0 = 1.Näillä sekvensseillä on ehdottomasti positiivinen kokonaislukuarvo, joten ne kasvavat tiukasti induktiolla, ja tarkista
p n ² - 2 q n ² = (−1) n ( p 0 ² - 2 q 0 ²)niin, että p n / q n pyrkii olemaan √2.
Ei tiedetä, aikooko Theyr of Smyrna laskea likimääräisen arvon √2.
Diophantine-yhtälön a ²− 2 b ² = k ratkaisutYhtälön a ² - 2 b ² = k kokonaislukuratkaisut muodostetaan induktiolla
a m + 1 = 3 a m + 4 b m b m + 1 = 2 a m + 3 b malkuarvoista ( a 0 , b 0 ) = (1, 1) k = −1 ja (3, 2) k = 1.
Tämä menetelmä johtuu Théonin menetelmästä: kukin nykyisen iteraatio vastaa kahta sen iteraatiota. Siten a n / b n pyrkii lineaarisesti kohti √2.
Ensimmäiset ratkaisut ovat:
Annamme itsellemme ( a , b ), joka on saatu Theonin menetelmällä, joka on siis ratkaisu jompaan kumpaan kahdesta edellisestä Diophantine-yhtälöstä 2b 2 = a 2 - k = K, k = ± 1 ja K> 1. Voimme sitten kirjoittaa
√2 = ( a / b ) √ K / (K + k )Sekvenssit p n ja q n, jotka on määritelty
p n + 1 = (2K + k ) p n + 2K q n , p 0 = 1; q n + 1 = (2K + 2 k ) p n + (2K + k ) q n , q 0 = 1.tarkistaa
(K + k ) p n + 1 2 - K q n + 1 2 = (K + k ) p n 2 - K q n 2 =… = k ,ja siksi samalla tavalla kuin edellä, sekvenssi p n / q n yhtenee arvoon √ K / (K + k ) = ( b / a ) √ 2 . Lisäksi, jos k = 1, tämä sekvenssi kasvaa, lähestyy oletusarvoisesti tätä arvoa ja jos k = –1, pienenee siis lähestyy tätä arvoa ylimäärällä.
Voimme käyttää tätä suhdetta estimaatin arvioimiseksi:
ε n + 1 ≃ ε n (4K + 3 k ) −2ja se on lisäys, jos k = 1. Konvergenssi on siis lineaarinen : se säästää likimäärin vakion määrän desimaaleja kullakin iteraatiolla.
Tämä menetelmä vastaa edellisen kappaleen menetelmän yleistämistä radikaalille √ K / (K + k ) . Suuremmalle K: lle sekvenssi ( q n ) kasvaa nopeammin, joten lähentyminen kiihtyy.
iterointi | murto-arvo | tarkat desimaalit |
0 | 1 | 1 |
1 | 19 601/13 860 | 1,414 213 56 |
2 | 22619537/15994428 | 1.414 213562373 09 |
3 | 26102 926 097/18 457556052 | 1414216362373055048 80 |
4 | 301227544060401/2100003689580 | 14142163623730954048801688 72 |
Toinen menetelmä koostuu lähestymisestä b √2 - a sen yleistetyn jatkuvan jakeen avulla ( a , b ) diofantiinin yhtälön 2 b 2 = a 2 - k liuokselle , kun k = ± 1:
b √2 - a = [0; - k , 2 ; - k , 2 ; - k , 2 a …] arvioidaan käyttämällä toistosuhteen määrittelemää sekvenssiä ( p n / q n ) p n + 1 = q n q n + 1 = 2 aq n + kp nVirhe tarkistetaan asymptoottisesti
ε n + 1 <| b √2 - a | / (2 a - 1) ε niterointi | murto-arvo | tarkat desimaalit |
0 | 1 | 1 |
1 | 114 243/80 782 | 1 414 213 562 |
2 | 54 608 393/38 613 965 | 1.414 213562373 09 |
3 | 26102 926 097/18 457556052 | 1414216362373055048 80 |
4 | 12 477 253 282 759/8 822 750 406821 | 14142163623730955048801688 7 |
Annamme itsellemme ( a , b ) diofantiinikaavan 2b 2 = a 2 - k = K ratkaisun, kun k = ± 1. Voimme sitten kirjoittaa √ K / (K + k ) sarjan summana (1+ z ) -½ : n kokonaislukusarjojen laajennuksen kautta (tai yleistetyn binomikaavan , yksinkertaisen variantin ekspositiosta).
ja käytä √2 = ( a / b ) √ K / (K + k ) .
Jossa = 7, b = 5 (eli K = 50, k = 1) ja näin ollen √2 = (7/5) √ 50/49 , ensimmäisen sarjan termejä ovat erityisen yksinkertaisia, Kuten Leonhard Euler vuonna 1755 :
iterointi | murto-arvo | tarkat desimaalit |
0 | 1 | 1 |
1 | 239/169 | 1.414 2 |
2 | 6 238 763 163 557/4 411 471739 168 | 1414216362373 09 |
3 | 712 741 258 857 407 103/503 984 177 369 508 992 | 1.414 213562373055048 |
4 | 3257056495076225000000000 000/230 308673 437608 750 000 000 | 14142163623730954048801688 |
On mahdollista lähestyä √2 puolittamalla . Tällä menetelmällä on hidas lineaarinen konvergenssi: yksi saa kolme desimaalipistettä kutakin kymmenen iteraatiota kohden.
Newton menetelmää sovelletaan neliöjuuren funktio laskee likiarvo √2 iteratiivisesti neliöllisen lähentymisen, eli, määrä kaksinkertaistui desimaalin tarkkuudella kunkin iteraation. Toistumisella on muoto
u n + 1 = u n / 2 + 1 / u nTätä algoritmia kutsutaan Heronin menetelmäksi tai Babylonian menetelmäksi, koska se näyttää olevan se, jota babylonialaiset käyttävät neliöjuurien likimääräisten arvojen löytämiseen.
Jos olemme kiinnostuneita peräkkäisistä murtolukuista, jotka alkavat alkuarvosta p 0 ja q 0 , toistin osoittajalla ja nimittäjällä on
p n + 1 = p n ² + 2 q n ² q n + 1 = 2 p n q niterointi | murto-arvo | tarkat desimaalit |
0 | 1 | 1 |
1 | 3/2 | 1 |
2 | 12/17 | 1.41 |
3 | 577/408 | 1.414 21 |
4 | 665 857/470 832 | 1,414 213562 37 |
5 | 886 731 088 897/627 013 566048 | 14142163623730954048801 68 |
Menetelmä Halleyn on esimerkki kuutiometriä menetelmän. Se etsii nollan arvosta ƒ ( x ) = x ² - 2 käyttämällä kahta ensimmäistä johdannaista . Toistuva ratkaisu on
x n + 1 = x n × ( x n ² + 6) / (3 x n ² + 2)tai asettamalla x n = p n / q n :
p n + 1 = p n ( p n ² + 6 q n ²) q n + 1 = q n (3 p n ² + 2 q n ²)Tämä menetelmä on kuutio-lähentyminen: tarkkojen desimaalien määrä kolminkertaistuu kullakin iteraatiolla.
iterointi | murto-arvo | tarkat desimaalit |
0 | 1 | 1 |
1 | 7/5 | 1.4 |
2 | 1393/985 | 1 414 213 |
3 | 10812186007/7 645 370 045 | 1.414 213562373055048 |
4 | - | 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 100000 6 718 753 769 480 731 000 000 |
Householderin iteraatio soveltaa ƒ ( x ) = 1 / x ² - 1 / √2 antaa sekvenssin lähestyy 1 / √2:
x n + 1 = x n + x n / 8 × (2 x n ² - 1) (6 x n ² - 7)Käytämme muokattua Newton-menetelmää nollan löytämiseksi ƒ ( x ) = 1 / x ² - 1/2. Tämä antaa toistuvan sekvenssin:
x n + 1 = x n + x n / 16 × (8 h n + 6 h n ² + 5 h n ³)kanssa
h n = 1 - x n2 / 2Tällä menetelmällä on kvartaalinen konvergenssi , ts. Järjestys 4: oikean merkitsevän numeron määrä nelinkertaistuu (asymptoottisesti) kussakin iteraatiossa.
iterointi | murto-arvo | tarkat desimaalit |
0 | 3/2 | 1 |
1 | 23 169/2 14 | 1.414 |
2 | 57367317478181 000 000 000 000 000 000 000/2 105 | 1414216362373 09 |
3 | - | 1414 213 562 373 09 5 048 801 688 724 209 6 980 785 696 718 753 76 948 073 176 679 737 |
Korkeamman asteen menetelmiä on etenkin talonhaltijoiden keskuudessa.
Ludmila Duchêne ja Agnès Leblanc, Rationnel mon Q , Hermann ,2009( online-esitys ) (osoitus 2: n juuren irrationaalisuudesta)