Ricci-tensori
Yhteydessä yleisen suhteellisuusteorian , painovoiman kenttä tulkitaan muodonmuutos tila-aika . Tämä kanta ilmaistaan käyttämällä Ricci-tensoria .
Ricci tensor on tensorikenttä järjestyksessä 2, saatu jälki on täydellinen kaarevuus tensor . Voimme pitää sitä kuin Laplace on Riemannin metrinen tensori ollessa kyseessä Riemanian manifolds .
Ricci-tensorilla on tärkeä paikka erityisesti Einsteinin yhtälössä, yleisen suhteellisuusteorian pääyhtälössä . Se on myös erilainen geometrian perusobjekti .
Historia
Kaimansa on Ricci tensori on italialainen matemaatikko Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925), joka esitteli hänet artikkeleissa, jotka hän kirjoitti yhdessä opiskelijansa Tullio Levi-Civitan kanssa (1873-1941). Tensori esiintyy ensimmäistä kertaa Ricci-Curbastron artikkelissa, joka julkaistiin vuonna1903.
Tensori tunnetaan myös nimellä Ricci-kaarevuustensori, koska sen jälki on Ricci-kaarevuus .
Esitys
Määritelmä, merkinnät ja ilmaisu
Ricci tensori määritellään supistuminen on Riemannin kaarevuus tensor :
Rμv=∑λRλμvλ=Rλμvλ{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = \ summa _ {\ lambda} {R ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu \ lambda} = {R ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu \ lambda}}.
Ominaisuudet
Ricci-tensori on 2. luokan tensori.
Se on symmetrinen :
Rμv=Rvμ{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = R _ {\ nu \ mu}}.
Soveltaminen suhteellisuusteoriaan
On yleisen suhteellisuusteorian , tyhjiö on alueen tila-aika, jossa energia-vauhtia tensor katoaa:
Tμv=0{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = 0}.
Tyhjössä ja ilman kosmologista vakiota Einsteinin yhtälöstä tulee:
Rμv-12Rgμv=0{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} Rg _ {\ mu \ nu} = 0},
On :
Rμv=0{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 0}.
Tilaa, jossa Ricci-tensori katoaa, kutsutaan joskus Ricci-tasaiseksi.
Matemaattinen rakenne
Ricci tensor saadaan Riemannin kaarevuus tensor , joka ilmaisee kaarevuus ja jakoputken (tapauksessa yleisen suhteellisuusteorian , tila-aika), käyttäen vähentäminen tensor indeksit.
R{\ displaystyle R}
Se voidaan ilmaista erityisesti Christoffelin symboleilla , jotka edustavat perusvektoreiden evoluutiota pisteestä toiseen avaruudessa aika-alueen kaarevuuden vuoksi. Nämä kertoimet riippuvat sitten suoraan (lajikkeen) tilan metriikasta , joka on matemaattinen työkalu, jonka avulla voidaan määrittää etäisyydet avaruudessa.
Matemaattisesta näkökulmasta päästään seuraaviin tuloksiin käyttämällä Einsteinin summausmenetelmää .
Christoffelin symbolit ilmaistaan:
Γyaβ=12gy5(∂agβ5+∂βga5-∂5gaβ){\ displaystyle {\ Gamma ^ {\ gamma}} _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} g ^ {\ gamma \ delta} (\ osittain _ {\ alpha} g _ {\ beta \ delta} + \ osittainen _ {\ beta} g _ {\ alfa \ delta} - \ osittainen _ {\ delta} g _ {\ alfa \ beta})}Näitä kertoimia käytetään erityisesti geodeettisen yhtälön , toisin sanoen lyhimmän polun kahden kaarevan avaruuspisteen väliin kirjoittamiseen - mikä ei aina ole suora viiva:
d2xads2+Γaβydxβdsdxyds=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x ^ {\ alpha}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + {\ Gamma ^ {\ alpha}} _ {\ beta \ gamma} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ beta}} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ gamma}} {\ mathrm {d} s}} = 0}Kaarevuustensori ilmaistaan näistä samoista Christoffel-kertoimista:
R5aβy=∂βΓ5ay-∂yΓ5aβ+Γ5βeΓeay-Γ5yeΓeaβ{\ displaystyle {R ^ {\ delta}} _ {\ alpha \ beta \ gamma} = \ osittainen _ {\ beta} {\ Gamma ^ {\ delta}} _ {\ alfa \ gamma} - \ osittainen _ {\ gamma} {\ Gamma ^ {\ delta}} _ {\ alpha \ beta} + {\ Gamma ^ {\ delta}} _ {\ beta \ varepsilon} {\ Gamma ^ {\ varepsilon}} _ {\ alfa \ gamma } - {\ Gamma ^ {\ delta}} _ {\ gamma \ varepsilon} {\ Gamma ^ {\ varepsilon}} _ {\ alpha \ beta}}Lopuksi saamme Ricci-tensorin pelkistämällä (kiinnitä huomiota indeksien järjestykseen):
Raβ=Ryayβ{\ displaystyle R _ {\ alpha \ beta} = {R ^ {\ gamma}} _ {\ alpha \ gamma \ beta}}Tämän jälkeen skalaarinen kaarevuus päätetään käyttämällä uutta pelkistystä:
R=gaβRaβ{\ displaystyle R = g ^ {\ alpha \ beta} R _ {\ alpha \ beta}}Ero on Einstein tensor
on nolla:
Raβ-12gaβR{\ displaystyle R ^ {\ alpha \ beta} - {\ tfrac {1} {2}} g ^ {\ alpha \ beta} R}
[Raβ-12gaβR]aβ=0{\ displaystyle \ left [R ^ {\ alpha \ beta} - {\ frac {1} {2}} g ^ {\ alpha \ beta} R \ right] _ {\ alpha \ beta} = 0}Tämä perusyhtälö osoitetaan tuomalla peliin metrisen tensorin kovariaattijohdannaisen mitätöinti .
Tunnistamalla Einstein-tensorin ja energia-momentti-tensorin saamme Einstein-yhtälön, joka on yleisen suhteellisuusteollisuuden perusta.
Pinnan tensorit Riemannin koordinaateissa
Riemannin tensori
Gauss löysi kaavan pinnan kaarevuudelle K melko monimutkaisella, mutta yksinkertaisemmalla laskennalla Riemannin koordinaateissa, missä se on yhtä suuri kuin Riemannin tensori, joka sitten kirjoitetaan kahteen ulottuvuuteen.
Rxyxy{\ displaystyle R_ {xyxy}}
Rxyxy=-12(∂2gxx∂y2+∂2gyy∂x2){\ displaystyle R_ {xyxy} = - {\ frac {1} {2}} \ vasen ({\ frac {\ osittainen ^ {2} g_ {xx}} {\ osittainen y ^ {2}}} + {\ frac {\ osittainen ^ {2} g_ {yy}} {\ osittainen x ^ {2}}} \ oikea)}missä ja mitat ovat kertoimet Riemannin koordinaateissa, ts. paikalliset suorakulmaiset koordinaatit. Esimerkiksi, emme voi käyttää samaa koordinaatistoa Australiassa ja Ranskassa, muuten australialaiset saisivat pään alas (meille)! Ricci-tensori muodostuu käänteismittarin ( ylemmät indeksit) ja ns. "Täysin kovariittisen" Riemannin tensorin (alemmat indeksit) funktiona yleisen suhteen avulla.
gxx{\ displaystyle g_ {xx}}gyy{\ displaystyle g_ {yy}}gij{\ displaystyle g ^ {ij}}Rijkl{\ displaystyle R_ {ijkl}}
Ricci-tensori
Rik=gmeiRmieik=ΣgmeiRmieik{\ displaystyle R_ {ik} = g ^ {mn} R_ {minkki} = \ Sigma g ^ {mn} R_ {minkki}}
gxx=1/gxx{\ displaystyle g ^ {xx} = 1 / g_ {xx}}ja ovat suoran metriikan käänteismittarin elementtejä, myös diagonaalisia. Einsteinin käytäntö on poistaa Σ-merkki tietyin rajoituksin. Kahdessa ulottuvuudessa nämä suhteet voidaan selittää seuraavasti:
gyy=1/gyy{\ displaystyle g ^ {yy} = 1 / g_ {yy}}Rxx=gxxRxxxx+gyyRxyxy{\ displaystyle \ left.R_ {xx} = g ^ {xx} R_ {xxxx} + g ^ {yy} R_ {xyxy} \ oikea.}Ryy=gxxRxyxy+gyyRyyyy{\ displaystyle \ left.R_ {yy} = g ^ {xx} R_ {xyxy} + g ^ {yy} R_ {yyyy} \ oikea.}Riemannin tensorin Bianchi-identiteetti on kirjoitettu:
Rklobvs.d=-Rbklovs.d=-Rklobdvs.{\ displaystyle R_ {abcd} = - R_ {bacd} = - R_ {abdc}}Siitä tulee, kun a = b = c = d = x (tai y):
Rxxxx=-Rxxxx=-Ryyyy=0{\ displaystyle R_ {xxxx} = - R_ {xxxx} = - R_ {yyyy} = 0}Joten meillä on
Rxxxx=Ryyyy=0{\ displaystyle R_ {xxxx} = R_ {vvvv} = 0}Kahdessa ulottuvuudessa se pysyy
Rxx=gyyRxyxy=1gyyRxyxy{\ displaystyle R_ {xx} = g ^ {yy} R_ {xyxy} = {\ frac {1} {g_ {yy}}} R_ {xyxy}}
Ryy=gxxRxyxy=1gxxRxyxy{\ displaystyle R_ {yy} = g ^ {xx} R_ {xyxy} = {\ frac {1} {g_ {xx}}} R_ {xyxy}}
Diagonaalisen metrisen pinnan Ricci-tensorissa on siis kaksi erilaista komponenttia, vaikka Riemannin tensorissa on vain yksi, nollasta poikkeava ja merkkiin asti.
Huomautuksia ja viitteitä
-
(en) " Suhteellisuusteoria " , www.astrosurf.com (katsottu 14. syyskuuta 2010 )
-
Barrau ja Grain 2016 , luku. 5 , § 5.3 , s. 84.
-
Heyvaerts 2012 , luku . 8 , lahko. 8,7 , § 8.7.3 , s. 173.
-
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2009 , luku . 7 , 7.11 § , s. 159-160.
-
Penrose 2007 , luku. 19 , § 19.6 , s. 446.
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv tensor of Ricci, s. 722, col. 2 .
-
Auffray 1999 , s. 227.
-
Fré 2018 , luku. 7 , lahko. 7.3 , § 7.3.4 , s. 180.
-
Fré 2018 , viite , s. 318, sv 151.
-
Luminet 2000 , s. 41, pylväs 1 .
-
Luminet 2011 , s. 157.
-
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv kaarevuus Ricci, s. 173, pylväs 2 .
-
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2009 , luku . 7 , § 7.1 , s. 159.
-
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2009 , luku . 8 , § 8.5 , s. 181.
-
Taillet, Villain ja Febvre 2018 , sv Einstein (yhtälöt d '), s. 250, col. 1 .
-
Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2009 , luku . 8 , § 8.5 , s. 181 (8,16).
-
Penrose 2007 , luku. 19 , § 19.6 , s. 448.
-
Tämän käytännön mukaan toistuvat indeksit ovat summaindeksejä:
xμxμ=∑μ=03xμxμ{\ displaystyle \ textstyle x _ {\ mu} x ^ {\ mu} = \ sum _ {\ mu = 0} ^ {3} x _ {\ mu} x ^ {\ mu}}
-
Tarkkaan ottaen tässä tulisi käyttää u: ta ja v: tä x: n ja y: n sijasta, koska ne ovat Gaussin koordinaatteja (katso Riemannin tensori )
Katso myös
Bibliografia
-
[Auffray 1999] J.-P. Auffray , Einstein ja Poincaré: suhteellisuusteollisuuden jalanjäljissä , Pariisi, Le Pommier , coll. "Vastavirtaa vastaan",Maaliskuu 1999, 1 st ed. , 1 til. , 301 Sivumäärä , sairas. , 20 cm ( ISBN 2-746-50015-9 , EAN 9782746500150 , OCLC 300915605 , ilmoitusta BNF n o FRBNF36974863 , SUDOC 045211701 , lukea verkossa ).
-
[Barrau ja Grain 2016] A. Barrau ja J. Grain , Yleinen suhteellisuusteoria: kurssit ja korjatut harjoitukset , Malakoff, Dunod , coll. "Sciences Sup. / Fysiikka ",elokuu 2016, 2 nd ed. ( 1 st ed. elokuu 20111 til. , VIII -231 Sivumäärä , 24 cm ( ISBN 978-2-10-074737-5 , EAN 9782100747375 , OCLC 958388884 , ilmoitusta BNF n o FRBNF45101424 , SUDOC 195038134 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Fré 2018] (en) PG Fré , Avaruuden ja symmetrian käsitteellinen historia : Platonista supermaailmaan , Cham, Springer , hors coll. ,Lokakuu 2018, 1 st ed. , 1 til. , XVI -319 Sivumäärä , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-3-319-98022-5 ja 978-3-030-07440-1 , EAN 9783319980225 , OCLC 1064943543 , DOI 10.1007 / 978-3-319-98023-2 , SUDOC 230542409 , online-esityksen , lue verkossa ).
-
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts , Astrofysiikka: tähdet, maailmankaikkeus ja suhteellisuusteoria: kurssit ja korjatut harjoitukset , Malakoff, Dunod , coll. "Sciences Sup. / Fysiikka ",Elokuu 2012, 2 nd ed. ( 1 st ed. Syyskuu 20061 til. , X -384 Sivumäärä , sairas. , kuva. ja kaavio. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-058269-3 , EAN 9782100582693 , OCLC 816556703 , ilmoitusta BNF n o b42740481q , SUDOC 163817030 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Hobson, Efstathiou ja Lasenby 2009] MP Hobson , GP Efstathiou ja Lasenby ( trans. Of Engl amerikkalaiseen malliin .. By L. konna , rev. By R. Taillet ,) suhteellisuusteorian [ " Yleinen suhteellisuusteoria: johdanto fyysikolle » ], Bryssel, De Boeck Univ. , coll. "Fysiikka", Joulu 2009, 1 st ed. , 1 til. , XX -554 Sivumäärä , sairas. , 28 cm ( ISBN 978-2-8041-0126-8 , EAN 9782804101268 , OCLC 690272413 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42142174 , SUDOC 140535705 , online-esitys , lukea verkossa ) , chap. 7 ("Aika-ajan vastaavuuden ja kaarevuuden periaate"), § 7.11 ("Ricci-tensorin ja skalaarin kaarevuus"), s. 159-160.
-
[Luminet 2011] J.-P. Luminet , "Uusi kosmologia: aika-ajan vaahdosta rypistyneeseen maailmankaikkeuteen" , julkaisussa Illuminations: cosmos et esthetic , Paris, O. Jacob , coll. "Sciences",Syyskuu 2011, 1 st ed. , 1 til. , 487- [16] s. , sairas. , 24 cm ( ISBN 978-2-7381-2562-0 , EAN 9782738125620 , OCLC 780211696 , ilmoitusta BNF n o FRBNF42279998 , SUDOC 155577441 , online-esitys , lukea verkossa ) , s. 154-166, tulosta uudelleen alkaen:
-
[Penrose 2007] R. Penrosen ( käännetty mistä Englanti by C. Laroche ), lakien selville maailmankaikkeuden: Hämmästyttävää historia matematiikan ja fysiikan [" Tie todellisuuteen: täydellinen opas lakien Maailmankaikkeuden ”], Paris, O. Jacob , Coll. "Sciences",Huhtikuu 2007, 1 st ed. , 1 til. , XXII -1061 Sivumäärä , sairas. ja kuva. , 24 cm ( ISBN 978-2-7381-1840-0 , EAN 9782738118400 , OCLC 209307388 , ilmoitusta BNF n o FRBNF41131526 , SUDOC 118177311 , online-esitys , lukea verkossa ).
-
[Ricci 1904] (it) G. Ricci , " Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque : nota " , Atti R. Inst. Veneto , voi. 53, n ° 21904, s. 1233-1239.
Sanakirjat ja tietosanakirjat
-
[Sidorov 1995] (en) LA Sidorov , ” Ricci tensor ” , julkaisussa M. Hazewinkel ( toim. ), Encyclopaedia of mathematics , t. IV : Monge-Ampèren yhtälö - renkaat ja algebrat , Dordrecht ja Boston, Kluwer Academic,1995, 1 st ed. , 1 til. , IV -929 Sivumäärä , sairas. , 30 cm ( ISBN 978-0-7923-2976-3 , DOI 10.1007 / 978-1-4899-3791-9 , SUDOC 030253195 , online-esitys , lue verkossa ) , s. 873, pylväs 2.
-
[Taillet, Villain ja Febvre 2018] R. Taillet , L. Villain ja P. Febvre , Fysiikan sanakirja , Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup. , paitsi coll. ,Tammikuu 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Toukokuu 20081 til. , X -956 Sivumäärä , sairas. ja kuva. 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , SUDOC 224 228 161 , online-esitys , lukea verkossa ) , sv Ricci tensor, s. 722, col. 2.
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">