Joukko-oppi on haara matematiikan luoma matemaatikko saksalaisen Georg Cantor vuoden lopulla XIX : nnen vuosisadan.
Joukkoryhmälle annetaan primitiivinä joukon ja jäsenyyden käsitteet , joista se rekonstruoi matematiikan tavalliset kohteet: funktiot , suhteet , luonnolliset , suhteelliset, rationaaliset kokonaisluvut , reaaliluvut, kompleksit ... Siksi joukko- teoria . joukko-teoriaa pidetään perustekijänä, jonka Hilbert voisi sanoa olevan "paratiisi", jonka Cantor loi matemaatikoille.
Sen lisäksi, että Cantor tarjosi perustan matematiikalle, se esitteli radikaalisti uusia käsitteitä joukko-teorian kanssa, mukaan lukien ajatus siitä, että on olemassa useita erilaisia äärettömyyksiä , joita voidaan mitata ja verrata uusilla numeroilla ( ordinaalit ja kardinaalit ).
Nykyaikaisuutensa vuoksi joukko-teoria oli katkerasti kiistanalainen, etenkin koska se oletti äärettömien joukkojen olemassaolon ristiriidassa rakentavan tai intuitionistisen matematiikan tiettyjen periaatteiden kanssa .
Alussa XX : nnen vuosisadan useat tekijät johtivat matemaatikot kehittämään itsestään selvää että joukko-oppi: löytämisen paradokseja kuten paradoksi Russell , mutta erityisesti kyseenalaistaa ympäri kontinuumihypoteesi joka vaaditaan täsmällistä määritelmää käsitteelle koko. Tämä muodollinen lähestymistapa johti useisiin selviö järjestelmiin , tunnetuin ollessa aksioomat ZF , mutta myös teorian luokat ja von Neumann tai teorian tyypit ja Russell .
Kanttori on tärkein luoja joukko-oppi, jonka hän esitteli 1880-luvun alussa. Se oli työskennellessään ongelmiin ainutlaatuisuus trigonometriset sarjassa vuonna 1870, että Cantor johti määritellä käsite johtaminen. Sarjaa todellisia lukuja : annetaan joukko on reaaliluvut, sen johdannainen on se, josta kaikki eristetyt pisteet on poistettu . Esimerkiksi jos otamme joukon, kukin numero on eristetty niin, että on yksinkertaisesti . Tämä viimeinen joukko voidaan puolestaan johtaa ja sen johdannainen on tyhjä joukko.
Jos nyt otamme, kukin on eristetty sisään , mutta ne eivät ole enää, joten johdannainen on . Siksi voimme nähdä, että kokonaisuus voidaan erottaa kolmesti.
Iteroimalla tätä prosessia, joten voimme rakentaa joukko todellisia numeroita, jotka ovat peräisin lukemattomia kertoja seuraavassa mielessä: jos merkitään nnen johdannainen sitten ne muodosta laskevaa sarjaa (yksitellen) sarjaa; loputon johdannainen on kaikkien merkitsemiemme leikkauspiste . Mutta se ei lopu tähän: Cantor huomasi olemassa olevien reaalijoukkojen olemassaolon sellaisina, jotka sisältävät eristettyjä pisteitä, joten se on silti erilainen. On siis joukkoa, joista voimme johtaa ääretön + 1 aika, ääretön + 2 kertaa, ..., 2 kertaa ääretöntä jne. Siksi näytti olevan äärettömyyden aritmeettista, ja selittämällä tämän Cantor kehitti joukko-teorian.
Perusajatuksena oli määritellä ekvipotenssi : kaksi joukkoa A ja B ovat potentiaalisia tai niillä on sama kardinaalisuus (sama määrä elementtejä, kun ne ovat äärellisiä), jos A: n jokaisen elementin kanssa on tapa yhdistää yksi ja vain yksi elementti ja B ja päinvastoin. Voimme siis osoittaa, että joukko luonnon kokonaislukuja on yhtä mahtavia kuin joukko on rationaaliluvut , vaikka se on osajoukko on . Näiden kahden sarjan sanotaan olevan loputon . Toisaalta reaalilukujoukolla ei ole samaa kardinaalisuutta kuin tai , mutta korkeampi kardinaalisuus, jota kutsutaan jatkuvuuden voimaksi . Cantor antoi kaksi todistetta siitä, mikä on laskematonta, ja toinen, joka käyttää Cantorin diagonaaliargumenttina tunnettua argumenttia , on ollut erittäin vaikuttava ja sillä on ollut monia ja erilaisia sovelluksia logiikassa ja matematiikassa.
Cantor syvensi teoriaa ja rakensi äärettömien joukkojen, järjestysnumeroiden ja kardinaalien äärettömät hierarkiat . Nämä rakenteet olivat hänen aikanaan kiistanalaisia, oppositiota johti finitisti Leopold Kronecker ; mutta nykyään suurin osa matemaatikoista hyväksyy ne.
Joukon kardinaalisuuden käsite sai Cantorin esittämään kysymyksen, josta oli tarkoitus tulla perustava: onko olemassa joukkoa reaaleja, jotka eivät ole laskettavissa (niillä on ehdottomasti enemmän elementtejä kuin ), mutta joilla ei ole myöskään jatkuvaa voimaa (niillä on ehdottomasti vähemmän elementtejä) kuin )? Tämä kysymys (mahdollinen kielteinen vastaus, joka tunnetaan jatkuvuushypoteesina ), ei saanut vastausta Cantorin elinaikana (vasta Gödelissä vuonna 1938 oli vastauksen ensimmäinen puoli), mutta se sai vastauksen. erityisesti aksiomaattisen joukko-teorian kehittäminen.
Cantorin teoriaa pidetään " naiivina ", koska siinä ei vielä käytetä tarkkaa aksiomaattista tietoa , ja koska hänelle oli olemassa vain yksi joukko teoria, yksi odotettu joukko universumi, kun taas joukko-teoreetikot taistelevat eri universumeilla.
Tosiasiallisesti voisimme yksinkertaistaa, riittävän epäoikeudenmukaisesti Cantorille, tiivistämällä hänen teoriansa laaja-alaisuuden aksioman hiljaiseen käyttöön ja liian vahvaan versioon ymmärryksen aksiomajärjestelmästä, mikä antaisi meille sisällön kaikki objektit, jotka tarkistavat tämän ominaisuuden millä tahansa omaisuudella. Tällainen teoria, jota emme omista Cantorille, on ristiriitainen. Se johtaa kahteen paradoksiperheeseen. Jotkut, kuten Berryn tai Richardin paradoksi , liittyvät siihen, että kieltä ei ole määritelty hyvin, toiset, kuten Russellin tai suurimman kardinaalin paradoksi , liian laajaan kielenkäyttöön. Ymmärtäminen : kun yritämme rakentaa joukkoa S = {A | A∉A} kaikista ryhmistä, jotka eivät kuulu itsellemme, kohtaamme ristiriidan. Zermelon ehdottama nykyinen ymmärryksen aksiomien järjestelmä on rajoitettu tämän paradoksin välttämiseksi.
Cantor tiesi ennen Russellin paradoksin löytämistä monimutkaisempia, mutta samanluonteisia paradokseja, kuten Burali-Forti- paradoksi tai suurimman kardinaalin paradoksi . Monet setti teoreetikot ovat yhtä mieltä siitä, että sopivin axiomatization teorian kehittämä Cantor on ZFC teoriaa perustamassa Axiom (katso alla), tai luokan teoria ja von Neumann , Gödel ja Bernays. , Joka on tietyssä mielessä (joka voi tarkennettava), vastaava.
Vuoden vaihteessa, Cantor yhä haittaavat hänen hermostunut kunnossa, mutta sen ratkaisuja paradoksit kiertämään kirjeenvaihtoa ja ovat tiedossa lopulla XIX : nnen vuosisadan päässä Richard Dedekind ja Göttingen sekä David Hilbert ja teki jonka Ernst Zermelo . Monille tuon ajan matemaatikoille paradoksaat kuitenkin asettavat epäilyn joukko-teorian pätevyydestä, Cantorin ehdottamat ratkaisut ovat liian epävirallisia vakuuttamaan niitä tuntevat. Jotkut ovat siirtymässä kohti aksiomaattista menetelmää, jonka Hilbert havainnollistaa samanaikaisesti geometrian perusteisiin (1899).
Näin ollen 1908 , Ernst Zermelo rakennettu järjestelmä aksioomia varten joukko-opin. Laajennuksen aksiooman lisäksi voidaan nähdä, että nämä aksioomat rajoittavat ymmärtämisen aksiomajärjestelmän ristiriitaista versiota tiettyihin hyödyllisiin tapauksiin, jotka eivät salli paradoksien johtamista. Tässä järjestelmässä hän sisältää myös valinnan aksiooman (jolla ei ole mitään tekemistä ymmärtämisen kanssa), aksiooman tuolloin hyvin kiistanalaisena, jolla hän osoitti (vuonna 1904) hyvän järjestyksen teoreeman ja jota myös implisiittisesti käytti Kanttori. Zermelon järjestelmän valmistuivat 1920-luvulla Abraham Adolf Fraenkel ja Thoralf Skolem , jotka lisäsivät korvaavan aksiomajärjestelmän (toinen rajoittamattoman ymmärryksen erityistapaus) ja antaisi teoriaa, joka tunnetaan nykyään nimellä ZF (ilman valittavaa aksiomia ) tai ZFC (aksiomalla valinta). Muut kirjoittajat ovat sittemmin työskennelleet joukko-teorian aksiomatisointiongelman parissa, erityisesti John von Neumann, joka määritteli erittäin mielenkiintoisen vaihtoehdon ZF : lle: luokan teoria .
Valinta-aksiooma ilmestyi nimenomaisesti eräässä julkaisussa Ernst Zermelo 1904, eli ennen julkaisemista hänen axiomatization set theory. Valinnan aksioma on todellakin erilaista kuin myöhemmin esitetyt joukko-teorian aksioomat, ja ne johtuvat suurimmaksi osaksi rajoittamattoman ymmärryksen huolellisesta analyysistä . Valinnan aksioma ei todellakaan anna selkeää määritelmää muodostetulle joukolle (valintajoukko tai valintatoiminto versiosta riippuen). Toisaalta Zermelo osoittaa vuoden 1904 artikkelissaan valitulla aksiomalla kuuluisan lauseensa, jonka mukaan mikä tahansa joukko voidaan järjestää hyvin, ehdotus, jolla ei ole mitään intuitiivisesti ilmeistä, ellei vain 'reaalien joukolle. Ainakin Georg Cantor käytti hiljaisesti valitsemiaan aksiomia , mutta Zermelon julkaisu herätti kiivasta keskustelua tuolloin matemaatikoiden keskuudessa.
Valinnan aksioma liittyy lisäksi hyvin matemaattiseen äärettömyyteen, itse asiassa valinta-aksioma on intuitiivisesti totta rajalliselle määrälle valintoja, ja lisäksi täysin todistettavissa tässä tapauksessa joukko-teorian muista aksiomeista. Olemme kuitenkin noin vuoden 1904 keskellä paradoksien löytämisen aiheuttamaa kiistaa. Erilaiset käsitykset matemaattisesta äärettömyydestä ovat sitten ristiriidassa. Tämä menee niin pitkälle kuin radikaali kyseenalaistamista perustan matematiikan mukaan Luitzen Egbertus Jan Brouwer , perustaja intuitionismi , joka hylkää periaatteen ulkopuolelle kolmannen osapuolen , joka sijaitsee hyvin ylävirtaan aksioomasta valinta. Kuitenkin tuolloin jotkut matemaatikot, jotka eivät menneet niin pitkälle ja hyväksyivät tiettyjä ei-rakentavien päättelymuotojen muotoja, olivat varovaisia valinnan aksiomasta. Émile Borel kirjoitti uudelleen vuonna 1950: ”Zermelon aksiooman vastustajat ovat jo saaneet tärkeän tuloksen, että kaikki, jotka myöntävät tämän aksioman, huolehtivat uuden lauseen saamisen yhteydessä määrittääkseen, edellyttääkö tämän lauseen todistaminen Zermelon aksioman käyttö. Tämä aksioma loi siten erillisen matematiikan haaran; tämän haaran merkitys ja kiinnostus päättävät sen kohtalon. " Voimme edelleen sanoa, että nykyään, juuri nähtyään sen käyttö tärkeillä matematiikan aloilla, valinta-aksioma on laajalti hyväksytty.
Tämä on sitäkin enemmän, koska tiedämme Gödelin työstä, että valinnan aksiooman myöntäminen ei ole "riskialttiinta" siinä mielessä, että se osoittaa, että jos ZFC-teoria oli epäjohdonmukainen, myös ZF-teoria (katso kohta riippumattomuustuloksista alla).
Olemme myös tunnistaneet valinnan aksiooman rajoitukset, kuten laskettavissa olevan valinnan aksiooman (mikä antaa mahdollisuuden esimerkiksi osoittaa, että laskettavien joukoiden laskettava unioni on laskettavissa), mikä itsessään on seurausta laskettavien joukoiden aksiomasta . riippuvainen valinta (jonka avulla voidaan esimerkiksi osoittaa äärettömän laskevan sekvenssin olemassaolo perusteettomalle suhteelle ). Siten Robert Solovay julkaisi vuonna 1970 ZF + -teorian + riippuvaisen valinnan aksioman + minkä tahansa reaalilukujen osajoukon johdonmukaisuus on Lebesgue-mitattavissa, minkä vuoksi teoria on ristiriidassa valinnan aksioman kanssa kaikessa sen yleisyydessä, suhteessa ZF + -teoriaan. kardinaali, jota ei voida käyttää (vahvistaminen teoreettiselle ZF: lle, jonka avulla voidaan osoittaa ZF: n johdonmukaisuus). Laskettavissa olevan valinnan aksioma on kuitenkin riittämätön algebrallisessa geometriassa, koska algebrallisesti suljettujen kenttien käsittely vaatii Zornin lemmaa, joka vastaa valittua aksiomia; siksi lause, jonka mukaan mikä tahansa kenttä voidaan upottaa algebrallisesti suljettuun kenttään, perustuu yleisen valinnan aksiomaan.
Yksi parhaista esimerkkeistä oudoista, joihin valinnan aksioma johtaa, on vuonna 1924 julkaistu Banach-Tarski-paradoksi , joka valinnan aksiomia käyttäen toteaa, että pallo voidaan leikata lopulliseksi määräksi paloja, siirtää ne sarjaan jäykkiä liikkeitä ( kääntäminen ja kierto ), jolloin tietyt kappaleet kulkevat muiden läpi ja tuovat ne yhteen muodostaen kaksi kopiota alkuperäisestä pallosta. Tämä näyttää olevan ristiriidassa fyysisen intuition kanssa äänenvoimakkuuden käsitteestä, mutta Banach-Tarski-paradoksi sisältää mitattavissa olevia osia.
Aksiomaattis järjestelmät joukko-oppi, ZF , luokka teoria , tyyppi teoria vastaavat ainakin siinä mielessä, että ne kaikki mahdollistavat edustamaan olennaiseen matematiikka. Niiden joukossa ZF on yleisin, ja siksi sille annetaan epävirallinen kuvaus.
Teoriaa, joka perustuu alkuperäisiin Zermelo-aksiomeihin, kutsutaan Zermelo- teoriaksi tai Z-teoriaksi . Jos täydennämme sen Fraenkelin korvaavan aksiooman avulla , saadaan Zermelo-Fraenkel-teoria tai yksinkertaisemmin ZF- teoria , vaikka aksioomien lopullinen muoto johtuu Skolemista. Kun lisäämme siihen valitun aksiooman, saadaan ZFC- teoria ("C" tarkoittaa "valintaa").
Tärkeä näkökohta ZF-teoriassa on, että kaikki objektit, joita se käsittelee, ovat joukkoja ja voivat olla vain joukkoja. Erityisesti kukin joukon elementti on itse joukko. Muut tutut matemaattiset objektit, kuten numerot, on siis määriteltävä joukkoina.
Tarkkaan ottaen ZF: n aksioomat ovat yksinkertaisesti lausuntoja egalitaarisen ensimmäisen asteen predikaattien laskemisesta kielellä, jolla on vain yksi jäsenyyden primitiivinen symboli ( binaarisuhde ). Siksi seuraavaa tulisi pitää vain pyrkimyksenä ilmaista näiden aksiomien odotettu merkitys ranskaksi. Lisäksi erotuksen (tai ymmärtämisen) aksioma ja korvaamisen aksioma ovat itse asiassa äärettömät aksiomakaaviot.
Ensimmäiset merkittävät riippumattomuustulokset joukko-teoriasta ovat Kurt Gödelin tulokset, jotka osoittavat, että valinnan aksioma on yhteensopiva ZF-teorian kanssa, toisin sanoen jos ZF-teoria on johdonmukainen , niin myös ZFC-teoria on johdonmukainen. Se osoittaa myös saman tuloksen jatkuvuushypoteesille ZF: n tai ZFC: n suhteen. Gödel käyttää menetelmää, jota kutsutaan, koska menetelmä sisustus malleja , se merkitsee rakentaa, esimerkiksi malli ZF eivät välttämättä täytä selviö valinta, alaluokka se joka on uusi suhde jäsenyyden tyydyttää selviö valinta. ZFC-teorian ristiriita johtaa siis ZF-teorian ristiriitaan.
Paul Cohen , vuonna 1963, osoittaa, että jatkumahypoteesin (HC) negaatio on yhteensopiva ZFC-teorian kanssa: jos ZFC-teoria on johdonmukainen , niin myös ZFC + -teoria (ei HC) on johdonmukainen. Menetelmällä, jonka hän esitteli pakottaen , oli oltava valtava menestys joukko-teoriassa. Uudelleen muotoiltu, laajennettu, toistettu (sisään) , se antoi mahdollisuuden osoittaa monia riippumattomuuden tuloksia.
Aikaisemmat riippumattomuustulokset perustuvat tuloksiin équicohérence (tai équiconsistance) , esimerkiksi ZF-teorian johdonmukaisuus tuo koherenssin ZF + AC (päinvastoin on ilmeistä). Mutta muiden aksioomien, kuten suurten kardinaalien aksioomien, kohdalla tämä ei ole asia: ZFC + -teoriassa "on olemassa kardinaali, johon ei pääse", voimme osoittaa ZFC-mallin olemassaolon, ts. tämä teoria. Gödelin toisen epätäydellisyyslausekkeen avulla voimme päätellä, että pääsemättömän kardinaalin olemassaoloa ei voida todistaa ZFC: ssä (olettaen tietysti, että tämä viimeinen teoria on johdonmukainen). Toinen epätäydellisyyslause mahdollistaa siten myös riippumattomuustulosten osoittamisen. Sitä käytetään laajemmin teorioiden vertaamiseen, yksi teoria on "vahvempi" kuin toinen, jos se voi osoittaa sen johdonmukaisuuden.