Basset - Boussinesq - Oseen-yhtälö

Nesteen mekaniikan Basset - Boussinesqin - Oseen yhtälö kuvaa kohdistama voima hiukkasen epävakaa, pieni Reynoldsin luku kokoonpuristumattomia virtaus . Tämä yhtälö on nimetty Alfred Barnard Bassetin (1888), Joseph Boussinesqin (1885) ja Carl Wilhelm Oseenin (1927) teoksen mukaan .

Sen avulla voidaan vapauttaa virtauksen laskemisesta mikroskooppisessa mittakaavassa korvaamalla paikalliset vaikutukset erilaisilla korjaavilla termeillä yksinkertaiselle vetämiselle.

Formulaatio

Pallopartikkeliin vaikuttava voima

halkaisijaltaan $d_ {p}$
tiheys , ${\ displaystyle \ rho _ {p}}$
massa , ${\ displaystyle m_ {p} = {\ frac {\ pi} {6}} \ rho _ {p} d_ {p} ^ {3}}$
nopeuden ${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {p}}$

pienen nopeuden nestevirtauksessa

tiheys , ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$
nopeus , ${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {f}}$
jossa ominaispituudet (tiheyden, nopeuden vaihtelu jne. ) ovat samaa suuruusluokkaa kuin hiukkasen koko

annetaan seuraavalla lausekkeella:

{\ displaystyle m_ {p} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V} _ {p}} {\ mathrm {d} t}} = \ underbrace {3 \ pi \ mu d_ {p} (\ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p})} _ {\ text {vedä (Stokes)}} + \ underbrace {{\ frac {m_ {f}} {2}} \, {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} \ vasemmalle (\ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p} \ oikea)} _ {\ teksti {lisätty massa}} + \ alatuki {{\ frac {3} {2}} d_ {p} ^ {2} {\ sqrt {\ pi \ rho _ {f} \ mu}} \ int _ {t_ { _ {0}}} ^ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {t- \ tau}}} \, {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} \ tau} } \ vasen (\ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p} \ oikea) \, {\ text {d}} \ tau} _ {\ text {Basset force}} + \ underbrace {(m_ {p} -m_ {f}) \ mathbf {g}} _ {\ text {Arkhimedean työntövoima}}}

missä on hiukkasen syrjäyttämän nesteen massa. ${\ displaystyle m_ {f} = {\ frac {\ pi} {6}} \ rho _ {f} d_ {p} ^ {3}}$

Lisätyn massan termi on inertitermi, joka liittyy siihen, että hiukkasen kanssa kosketuksessa olevalla nesteellä on sama kiihtyvyys kuin jälkimmäisellä.
Basset voima liittyy nesteen kiihtymisestä pitkin hiukkasen liikerata (historia aikavälin välillä ja ). $t_ {0}$ $t$

Tämä lauseke on voimassa kentällä, jonka rajoittaa:

matala Reynoldsin luku

{\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {f} \ max \ left \ {\ left | \ left | \ mathbf {V} _ {f} - \ mathbf {V} _ {p} \ right | \ right | \ right \} \, d_ {p}} {\ mu}} \, <\, 1}

homogeeninen virtaus hiukkasen ympärillä, erityisesti ilman irtoamista

{\ displaystyle d_ {p} \, <\, {\ frac {l_ {K}} {6}}}

missä on Kolmogorov-asteikko .

{\ displaystyle l_ {K}}

Yleistys

Tämä ilmaisu yleistettiin myöhemmin seuraavien seikkojen huomioon ottamiseksi:

Faxénin korjaus vetoon ottaen huomioon paikalliset epähomogeenisuudet hiukkasen ympärillä

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {8}} \ mu d_ {p} ^ {3} \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} _ {f}}

missä on vektori Laplacian ,

\ nabla ^ 2

suurempi Reynoldsin numero,
ei-pallomaiset hiukkaset, joilla on hissi,
kokoonpuristuva väliaine.

Pyörinnälle voidaan kirjoittaa myös yhtälö, joka voi esiintyä jopa pallomaisessa hiukkasessa, johtuen nopeuden kaltevuudesta tasossa, joka on kohtisuorassa liikeradan suuntaan.

Viitteet

(in) Alfred Barnard Basset , " Treatise Hydrodynamics " , Deighton, Bell and Company ,1888
Joseph Boussinesq , " Resistenssistä, jonka määrittelemätön neste vastustaa levossa kiinteän pallon vaihtelevalle liikkumiselle ", Proceedings of the Academy of Sciences , voi. 100,1885, s. 935-937 ( lue verkossa )
(lähettäjä) Carl Wilhelm Oseen , " Hydrodynamik " , Akademische Verlagsgesellschaft ,1927
(in) Martin R. Maxey ja James J. Riley, " yhtälö liikkeen pienen jäykkä pallo, joka ei ole tasainen virtaus " , Physics of Fluids , voi. 26,1983, s. 883-889
(in) Parmar, A. ja S. Balachandar HASELBACHER, " liikeyhtälö pallo ei-yhtenäinen puristettavissa virtoja " , Journal of Nesteet Mechanics , voi. 699,2012, s. 352-375