Helmholtz-yhtälö

Helmholtzin yhtälön (sen jälkeen, kun fysiikan Hermann von Helmholtz ) on elliptinen osittainen ero yhtälö , joka näkyy, kun etsivät harmoninen ratkaisuja ja D'Alembertin aallon etenemisnopeus yhtälö , jota kutsutaan "ominaismuodot"., Toimialueen : $\ Omega \ osajoukko \ mathbb {R} ^ n$

$\ kaikki \ vec {r} \ Omega, \ quad (\ Delta \ + \ k ^ 2) \ \ phi (\ vec {r}) \ = \ (\ nabla ^ 2 \ + \ k ^ 2) \ \ phi (\ vec {r}) \ = \ 0$

Jotta matemaattinen ongelma olisi hyvin asetettu , on tarpeen määrittää rajaehto kentän reunalle , esimerkiksi: $\ osittainen \ Omega$

Dirichlet'n ehdon ,
Neumann kunnossa ,
kahden edellisen yhdistelmä jne.

Kun toimialue on kompakti , Laplacian spektri on erillinen, ja ominaismoodit muodostavat loputtoman laskettavan joukon: $\ Omega$

$\ forall \ vec {r} \ in Omega, \ quad (\ Delta \ + \ k_n ^ 2) \ \ phi_n (\ vec {r}) \ = \ 0, \ qquad (0 \ le k_0 ^ 2 \ le k_1 ^ 2 \ le k_2 ^ 2 \ le \ dots \ le + \ infty)$

Helmholtz yhtälö yleistyy on ei-euklidisen geometrian korvaamalla Laplacen, että Laplace-Beltrami operaattori on Riemannin moninaiset .

Sovellus meteorologiassa

Tätä yhtälöä käytetään myös meteorologiassa kuvaamaan vuoren aaltoja, jotka muodostuvat alavirtaan vuorista kovassa tuulessa. Nämä aallot mallinnetaan Scorer-yhtälöllä, joka on Helmholtz-yhtälön erityinen muoto .

Katso myös