Schröderin yhtälö

Schröder yhtälö on funktionaaliyhtälö yhden muuttujan, se on saanut nimensä matemaatikko Ernst Schröder .

Olkoon funktio h ja vakio s sellainen, että s ≠ 0 ja s ≠ 1, etsi funktio f siten, että:

f(h(x))=sf(x){\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

{\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

Schröder-yhtälö on koostumusoperaattorin C h ominaisarvon yhtälö, joka yhdistää funktion f komposiittifunktioon f • h. Sillä on keskeinen rooli toiminnallisten yhtälöiden alalla: se on yksinkertainen lineaarinen yhtälö ja sen ratkaisuja käytetään usein monimutkaisempien yhtälöiden ratkaisujen rakentamisessa. Sitä voidaan käyttää funktionaalisten neliöjuurien laskemiseen .

Ratkaisut

Sovellukset

Funktionaalisten yhtälöiden linearisointi

Antaa olla muodon lineaarinen funktionaalinen yhtälö:

f(g(x))=h(x)f(x)+F(x){\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

{\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

missä f : I → I on tuntematon, g , h , F tunnetaan ja g ( I ) sisältyy I: ään .

Jos funktio σ on ratkaisu funktion g ja vakion s Schröder-yhtälöön , muuttujan muutos:

{y=σ(x)f¯(y)=f(x){\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

johtaa seuraavaan yhtälöön, joka on helpompi ratkaista:

f¯(sy)=h¯(y)f¯(y)+F¯(y){\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)} ${\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)}$ Kanssa . ${\ displaystyle {\ bar {h}} (y) = h (\ sigma ^ {- 1} (y)), \; {\ bar {F}} (y) = F (\ sigma ^ {- 1} (y))}$

Suhde muihin funktionaalisiin yhtälöihin

Schröder-yhtälö kuuluu muodon konjugaattiyhtälöiden ( "konjugaattiyhtälöt" ) perheeseen :

f(h(x))=H(f(x)){\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

{\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

samalla tavalla kuin Abelin ja Böttcherin yhtälöt .

Katso myös

Viitteet

(de) Schröder, Ernst, ” Ueber iterirte Functionen ” , matematiikka. Ann , n o 3 (2)1870, s. 296–322 (doi: 10.1007 / BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Johdanto funktionaalisiin yhtälöihin. ,2010( lue verkossa ) , sivu 247